22.1 二次函数（知识讲解）（人教版）.docx

专题22.1 二次函数（知识讲解） 【学习目标】 1、理解二次函数的概念，识别二次函数； 2、根据二次函数表达式求参数； 3、能根据生活实际写出二次函数表达式。 【要点梳理】 【知识点1】二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零。 二次函数的定义域是全体实数。 【知识点2】二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。 ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 【典型例题】 类型一、二次函数的判断 1．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 【答案】(1). m≠0且m≠1.(2). m＝0.(3). 不可能 解：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案； （2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案； （3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数． 试题解析：(1)∵这个函数是二次函数， ∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0， ∴m≠0且m≠1. (2)∵这个函数是一次函数， ∴∴m＝0. (3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2， ∴不可能是正比例函数． 举一反三： 【变式1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义判断即可； 解：y＝2x﹣1是一次函数； y＝﹣2x2﹣1是二次函数； y＝3x3﹣2x2不是二次函数； ④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数； y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数； 故二次函数有1个； 故答案选A． 【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键． 【变式2】二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 【答案】          -2x ,     1 【分析】函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 解：∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 ∴ 中，二次项系数为，一次项是-2x，常数项是1. 故答案是：; -2x;1. 【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 类型二、根据二次函数定义求参数 2．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）． （1）若这个函数是一次函数，求k的值； （2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？ 【答案】（1）k＝1；（2）k≠0且k≠1 【分析】 （1）由一次函数的定义求解可得； （2）由二次函数的定义求解可得． 解：（1）若这个函数是一次函数， 则k2﹣k＝0且k≠0， 解得k＝1； （2）若这个函数是二次函数， 则k2﹣k≠0， 解得k≠0且k≠1． 【点拨】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键． 举一反三： 【变式1】 当函数 是二次函数时，的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可． 解：∵函数 是二次函数， ∴a-1≠0，=2， ∴a≠1，， ∴， 故选D． 【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键． 【变式2】 定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______． 【答案】 【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 解：由题意得 解得 ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”． 类型三、 列二次函数解析式 3、 如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求： （1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，求线段PQ的长； （3）当t为何值时，？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t为2或3时，． 【分析】 （1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可； （2）当时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ； （3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可． 解：（1）由条件可得：，， ∴， ∴，； （2）当时，，， ∴； （3）由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴当t为2或3时，． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键． 举一反三： 【变式1】 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解． 解：每件的利润为（x-21）， ∴y=（x-21）（350-10x） =-10x2+560x-7350． 故选B． 【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润． 【变式2】 如果二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足与互为相反数，与相等，与互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数的“亚旋转函数”为_________． 【答案】 解：∵－1的相反数是1，－2的倒数是，∴函数的“亚旋转函数”为．故答案为．