22.39 二次函数-销售与利润问题（基础篇）（人教版）.docx

专题22.39 二次函数专题-销售与利润问题（基础篇） （专项练习） 【专题说明】用二次函数解决销售与利润问题是中考的常考点，也是热点，解答这类问题最常用的方法之一是建立二次函数模式，利用二次函数的最大值或最小值。 运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤： （1） 设自变量x和函数y； （2） 求出函数解析式和自变量的取值范围； （3） 化为顶点式，求出最值；检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内，并作答。 相关等量关系： （1） 利润=售价一进价； （2） 总利润、单件利润、数量的关系； （3） 总利润=单件利润×数量。 一、单选题 1．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润（元）与降价金额（元）之间的关系是，则获利最多为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．某旅行社有100张床位，每张床位每晚收费10元时，客床可全部租出，若每张床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每张床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位的租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每张床每晚应提高(   ) A．4元或16元 B．4元 C．6元 D．8元 3．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　） A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 4．某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（       ） A． B． C． D． 5．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝100（1﹣x）2 B．y＝100（1+x） C．y＝ D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2 6．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润和月份之间的函数关系式为，则该企业一年中应停产的月份是（     ） A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月 7．某海滨浴场有100把遮阳伞，每把每天收费10元时，可全部租出，若每把每天收费提高1元，则减少5把伞租出，若每把每天收费再提高1元，则再减少5把伞租出，……，为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费（       ） A．7元 B．6元 C．5元 D．4元 8．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．60 B．65 C．70 D．75 9．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（元）（　　） A．3元 B．4元 C．5元 D．8元 10．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件．若想获得最大利润，则定价x应为（       ） A．35元 B．45元 C．55元 D．65元 11．某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 12．数量关系： （1）销售额＝ 售价×____________； （2）利润＝ 销售额－总成本＝___________×销售量； （3）单件利润＝售价－__________． 13．某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系应表示为_____． 14．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是_________元，销售利润_______元． 15．进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为______，每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为__________．（以上关系式只列式不化简）． 16．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，当出售价格是__________元时，才能使利润最大． 17．随着新冠疫情逐渐好转，某口罩厂将减少口罩的出厂量，6月份的出厂量为20000只，若口罩出厂量每月下降百分率为x，8月份的出厂量为y只，则y关于x的函数解析式为 ___． 18．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是____________． 19．为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．则该工艺厂将每件的销售价定为________元时，可使每天所获销售利润最大． 20．某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每周利润最大化，并确定x的取值范围？ 【销售最大利润问题】先通过价格与利润关系得到二次函数的关系式，根据函数图象及性质求最大值． （1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖______件，实际卖出________件，此时每件产品的销售价为________元，每周产品的销售额__________元，此时每周产品的成本_______元，因此周利润合计为： y＝（60＋x）（300－10x）－40×（300－10x） ＝−10x2＋100x＋6000 ＝−10（x−5） 2＋6250 当产品单价涨价5元，即售价_____元，利润最大，最大利润为______元 （2）设每件降价x元，则此时每星期多卖______件，实际卖出_________件，此时每件产品的销售价为______元，每周产品的销售额__________元，此时每周产品的成本________元，因此周利润合计为： y＝（60－x）（300＋20x）－40×（300＋20x） ＝−20x2＋100x＋6000 ＝−20（x−2.5）2＋6125 当产品单价降价2.5元，即售价______元，利润最大，最大利润为_____元 当产品单价涨价5元，即售价65元，利润最大，最大利润为6250元． 当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，利润最大，最大利润为6125元． 综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元 21．某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人．当每日销售收入最大时，票价下调_______元． 22．学子书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y ＝－3x＋108（29 ≤ x ≤ 36）．如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么在这种关系下销售单价定为________元时，每天获得的利润最大？ 23．某商品进价为26元，当每件售价为50元时，每天能售出40件，经市场调查发现每件售价每降低1元，则每天可多售出2件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低______元． 24．某体育用品商店购进一批涓板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块，设每块滑板降价x元，商店一星期销售这种滑板的利润是y元，则y与x之间的函数表达式为_____． 25．某企业研发出了一种新产品准备销售，已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，据调查年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为： ，则当该产品的售价x为________．（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大． 三、解答题 26．某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为60元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系y＝－20x＋2800． (1)若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利24000元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？ (2)为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的50%．设该款卫衣每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润？最大利润是多少元？ 27．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． (1)求y关于x的一次函数解析式； (2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． 28．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某超市用2400元购进一批冰墩墩玩偶出售．若进价降低20%，则可以多买50个．市场调查发现：当每个冰墩墩玩偶的售价是20元时，每周可以销售200个；每涨价1元，每周少销售10个． (1)求每个冰墩墩玩偶的进价； (2)设每个冰墩墩玩偶的售价是x元（x是大于20的正整数），每周总利润是w元． ①求w关于x的函数解析式，并求每周总利润的最大值； ②当每周总利润不低于1870元时，求每个冰墩墩玩偶售价x的范围． 29．某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中， （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 30．为响应国家提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个的生产成本为18元，投放市场进行试销，经过调查得到每月销售量（万/个）与销售单价（元/个）之间的部分数据如下： 销售单价（元/个） … 20 25 30 35 … 每月销售量（万/个） … 60 50 40 30 … (1)试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)设每月的利润为（万元），求与之间的函数关系式； (3)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不高于50%），请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？求出最大利润． 参考答案 1．D 【分析】 利用配方法即可解决问题． 解：对于抛物线， ， 时，有最大值，最大值为， 故选：D． 【点拨】本题考查二次函数的应用、配方法等知识，解题的关键是熟练掌握配方法，学会利用二次函数的性质解决最值问题． 2．C 【分析】 首先设为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高x个2元,获得最大利润为y元,然后根据题意可得函数解析式:y=(10+2x)(100-10x),再利用配方法可求得当x取何值时,y最大,因为此题中x取整数,根据二次函数的性质即可求得答案. 解：设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元, 根据题意得: y=(10+2x)(100-10x) =-20x2+100x+1000 =-20(x-)2+1125, ∵x取整数, ∴当x=2或3时,y最大, 当时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少, ∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元. 所以C选项是正确的. 【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意找出数量关系，列出二次函数关系式是解答本题的关键. 3．A 【分析】 设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案． 解：设获得的利润为y元，由题意得： ∵a＝﹣1＜0 ∴当x＝150时，y取得最大值2500元． 故选A． 【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键． 4．B 【分析】 根据降价x元，则售价为（30−x）元，销售量为（200＋20x）本，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可． 解：设每本降价x元，则售价为（30−x）元，销售量为（200＋20x）本， 根据题意得，y＝（30−x）（200＋20x）， 故选B． 【点拨】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式． 5．D 【分析】 直接表示出2016年，2017年的产量进而得出y关于x的函数关系式． 解：设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为：y＝100+100（1+x）+100（1+x）2． 故选：D． 【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出2017年的产量是解题关键． 6．C 【分析】 根据解析式，求出函数值y等于0时对应的月份，依据开口方向以及增减性，再求出y小于0时的月份即可解答． 解：∵ ∴当y=0时，n=2或者n=12． 又∵抛物线的图象开口向下， ∴1月时，y＜0；2月和12月时，y=0． ∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月． 故选：C． 【点拨】本题考查二次函数的应用．能将二次函数由一般式化为顶点式并理解二次函数的性质是解决此题的关键． 7．C 【分析】 设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，每个每天应收费（10+x）元，每天的租出量为（100-5x）个，由此列出函数解析式即可解答． 解：设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，由此可得， S=（10+x）（100-5x）， 整理得S=-5x2+50x+1000， =-5（x-5）2+1125， ∵-5＜0 ∴当x=5时,S最小, 即为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费5元 故选C． 【点拨】此题考查运用每天的利润=每个每天收费×每天的租出量列出函数解析式，进一步利用题目中实际条件解决问题． 8．C 【分析】 根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价． 解：每顶头盔降价x元，利润为w元， 由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000， ∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键． 9．B 【分析】 设每件降价元，每天获得的利润为元，根据销售问题的数量关系表示出与之间的关系式，转化为顶点式即可． 解：设每件降价元，每天获得的利润为元， 则 ． ， 时，， 故选：B． 【点拨】本题考查了利润问题的数量关系的运用，二次函数的运用，二次函数的性质的运用，解题的关键是求出二次函数的解析式． 10．D 【分析】 设所获得的利润为W，根据利润=（售价-进价）×数量，列出W关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 解：设所获得的利润为W， 由题意得， ∵， ∴当时，W有最大值1225， 故选D． 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意列出利润关于售价的二次函数． 11．C 【分析】 设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，根据“总利润=每件衬衫的利润×销售量”列出一元二次方程，解方程后根据题意取舍即可得． 解：设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件， 根据题意，得， 故选：C． 【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系，列出一元二次方程． 12．     销售量     单件利润     进价 略 13．y=20(x+1)2 解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍， ∴一年后产品是：20（1+x）， ∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2． 故答案为y=20（x+1）2. 【点拨】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 14．     18000     6000 略 15．     y＝2000－5（x－100）     w＝[2000－5（x－100）]（x－80） 略 16．65 【分析】 本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 解：设最大利润为w元， 则w=（x-30）（100-x）=-（x-65）2+1225， ∵-1＜0，0＜x＜100， ∴当x=65时，二次函数有最大值1225， ∴定价是65元时，利润最大． 故答案为：65． 【点拨】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 17．y=20000（1-x）2 【分析】 根据降低率的特点即可得到8月份的出厂量与6月份的出厂量的关系，故可求解． 解：若口罩出厂量每月下降百分率为x，则8月份的出厂量y关于x的函数解析式为y=20000（1-x）2， 故答案为：y=20000（1-x）2． 【点拨】此题主要考查列二次函数，解题的关键是根据题意找到数量关系列函数． 18． 【分析】 根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件，依据每件利润，销售数量，总利润之间的关系可得函数关系式，根据每件售价不能高于72元，可得自变量的取值范围． 解：根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件， ∴， ∵每件售价不能高于72元， ∴， 故答案为：． 【点拨】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键． 19．80 【分析】 根据每天获得利润=单件利润×销售量列出二次函数即可求解． 解：设销售单价降低x元时，则销售单价是（100-x）元时，每天获利y元． 根据题意，得 y=（100-50-x）（50+5x） =-5x2+200x+2500 =-5（x-20）2+4500 ∵-5＜0，当x=20时，y有最大值， 即100-x=80，80＞50， 答：当销售单价是80元时，每天获利最多． 故答案为80． 【点拨】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系． 20．     10x     60＋x     300－10x（）     （60＋x）（300－10x）     40（300－10x）     65     6250     20x     60＋x     300＋20x（）     （60－x）（300＋20x）     40（300＋20x）     57.5     6125 略 21．6 【分析】 设总利润为y元，根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出函数关系式，转化为顶点式就可以求出结论． 解：总利润为y元，票价下调x元，根据题意得 = ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当x=6时，函数胡最大值 ∴当每日销售收入最大时，票价下调6元 故答案为6 【点拨】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 22．29 【分析】 由利润=每本书的利润×数量就可以得出解析式，再根据函数的性质即可得到最大利润． 解：由题意得 ∵且， ∴当x=29时，y最大=189， 故答案为：29． 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意得到p关于x的二次函数表达式． 23．2 【分析】 设每件商品售价降低元，则每天的利润为：，然后求解计算最大值即可． 解：设每件商品售价降低元 则每天的利润为：， ∵ ∴当时，最大为968元 故答案为2． 【点拨】本题考查了一元二次函数的应用．解题的关键在于确定函数解析式． 24． 【分析】 根据销售利润为销量每件利润进而得出答案． 解：由于每块滑板降价元，商店一星期销售这种滑板的利润是元， 则与之间的函数表达式为： ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，解题的关键是掌握利用利润销量每件商品利润进而得出利润与定价之间的函数关系式． 25．50 【分析】 设企业销售该产品获得的年利润为w元，根据题意分别列出当时和当时的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 解：设企业销售该产品获得的年利润为w元，根据题意得： 当时， ， ∵-2<0， ∴当x=50时，w有最大值，最大值为800； 当时， ， ∵-1<0， ∴当x>55时，w随x的增大而减小， ∴当x=60时，w有最大值，最大值为600； ∵800>600， ∴当x=50时，w有最大值， 即当该产品的售价x为50（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大． 故答案为：50 【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 26．(1)80(2)售价定为90元时，服装店可获得最大利润，最大利润是30000元 【分析】 （1）由总利润=每件利润×数量列出方程，解方程取符合题意的解即可； （2）先算出x的范围，再根据总利润=每件利润×数量列出函数关系式，根据二次函数性质可得答案． (1)解：根据题意得： （x-60）（-20x+2800）=24000， 解得x1=120或x2=80， ∵尽量给顾客实惠， ∴x=120，不符合题意，舍去， 答：售价应定为80元； (2)解：∵每件利润不允许超过每件进价的50%， ∴x-60≤60×50%，解得x≤90， ∴60≤x≤90， 根据题意得 W=（x-60）（-20x+2800）=-20x2+4000x-168000=-20（x-100）2+32000， ∵-20<0， ∴当x≤100时，W随x