22.34 实际问题与二次函数（巩固篇）（人教版）.docx

专题22.34 实际问题与二次函数（巩固篇）（专项练习） 一、单选题 类型一：图形问题 1．已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（       ） A．12 B．11 C．6 D．3 3．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（       ） A．最小值247 B．最小值266 C．最大值247 D．最大值266 类型二：图形运动问题 4．如图，中，，，，动点P沿折线运动，到点B停止，动点Q沿运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为，的面积为S，则S与对应关系的的图象大致是（       ）． A． B．C． D． 5．如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，点P，Q从边长为2的等边三角形的点B出发，分别沿着，两边以相同的速度在的边上运动，当两点在边上运动到重合时停止．在此过程中，设点P，Q移动过程中各自的路程为x，所得的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（       ） A． B． C． D． 类型三：拱挢问题 7．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 8．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（             ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 9．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（       ）． A． B． C． D． 类型四：销售问题 10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（       ） A．45.51万元 B．45.56万元 C．45.6万元 D．45.606万元 11．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（       ） A．55 B．56 C．57 D．58 12．某商品的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣x2+8x+9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是（　　） A．16元 B．21元 C．24元 D．25元 类型五：掷球问题 13．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（     ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … A．足球距离地面的最大高度超过20m B．足球飞行路线的对称轴是直线 C．点（10，0）在该抛物线上 D．足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降． 14．如图，一小球从斜坡点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．则下列结论错误的是（       ） A．当小球达到最高处时，它离斜坡的竖直距离是 B．当小球落在斜坡上时，它离点的水平距离是 C．小球在运行过程中，它离斜坡的最大竖直距离是 D．该斜坡的坡度是： 15．把一个距离地面1米的小球竖直向上抛出，该小球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为，若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a（米），则a的取值范围（       ） A． B． C． D． 类型六：喷水问题 16．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（        ） A． B． C． D． 17．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（   ） A．柱子的高度为 B．喷出的水流距柱子处达到最大高度 C．喷出的水流距水平面的最大高度是 D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外 18．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为（       ） A．0.5米 B．米 C．米 D．0.85米 类型七：增长率问题 19．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（       ） A． B． C． D． 20．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（   　） A．y＝x2+a B．y＝a(x－1)2 C．y＝a(1－x)2 D．y＝a(l+x)2 21．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（        ） A． B． C． D． 类型八：其他问题 22．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第5秒与第7秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（   ） A．第5.1s B．第5.8s C．第5.9s D．第6.9s 23．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲，S乙．由此可以推测（　　） A．甲车超速 B．乙车超速 C．两车都超速 D．两车都未超速 24．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（　　） A．252元/间 B．256元/间 C．258元/间 D．260元/间 二、填空题 类型一：图形问题 25．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，轴，与抛物线交于点，轴，与射线交于点，，则_______． 26．一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是____cm． 27．如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则抛物线的解析式为____，正方形EFGH的边长为____． 类型二：图形运动问题 28．如图，矩形中，，，点从点出发，沿边向点以1cm/s的速度移动；点从点出发，沿边向点以2cm/s的速度移动．，同时出发，分别到，后停止移动，则的最小面积是______． 29．如图，在中，，mm， mm，动点从点开始沿边向以1mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，那么经过_______________________秒，四边形的面积最小． 30．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________． 类型三：拱挢问题 31．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．则当水位下降m=________时，水面宽为5m？ 32．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段上离中心处5米的地方，桥的高度是___________米． 33．某桥梁的桥洞可视为抛物线，，最高点C距离水面4m，以AB所在直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为，已知点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平C行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系时，该物线的表达式为___________． 类型四：销售问题 34．北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱．有一草莓种植大户，每天草莓的采摘量为300千克，当草莓的零售价为22元/千克时，刚好可以全部售完．经调查发现，零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，则当草莓零售价为___元时，该种植户一天的销售收入最大． 35．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式为_______________________ 36．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表所示．已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元． 第x天 售价（元/件） 日销售量件 （1）y与x的函数解析式为_______________； （2）日销售的最大利润为_________元． 类型五：掷球问题 37．斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为，第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度，若，则为________． 38．为了在体育中考中取得更好的成绩，小豪积极训练，体育老师对小豪投掷实心球的录像进行技术分析，如图，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小豪此次投掷的成绩是______m． 39．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米． 类型六：喷水问题 40．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y（x﹣5）2＋6 （1）雕塑高OA的值是____m； （2）落水点C，D之间的距离是____m． 41．各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为，如果在离水面竖直距离为h（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程s（单位：）与h的关系式为，则射程s最大值是_______．（射程是指水流落地点离小孔的水平距离） 42．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________． 类型七：增长率问题 43．农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的关系表示为___________． 44．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解式是______． 45．某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y万元，与平均年增长率x之间的函数关系式是______________． 类型八：其他问题 46．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为______． 47．已知，二次函数，规定，若使的正数x有且只有三个，则a的取值范围是______． 48．如图，小球从长度为8m的斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1m/s，则下列说法：①小球每秒滚动1米；②由静止开始经过1秒，小球滚动了0.5米；③小球滚动到斜面底端时需要4秒；④小球滚动的距离S与经过的时间t的关系为；其中说法正确的是__________．（填写序号） 三、解答题 49．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B． (1)求抛物线的对称轴和点B的坐标； (2)当a＝1，时，求出y的取值范围； (3)P是抛物线上的一点，若满足△PAB的面积为1的P点有4个，求a的取值范围． 50．如图，抛物线与直线交于点和点C． (1)求a和b的值； (2)求点C的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向右平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围． 51．跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底、相距20cm，头顶离地175cm，相距60cm的双手、离地均为80cm．点、、、、在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底、两点，且甩绳形状始终保持不变． (1)求经过脚底、时绳子所在抛物线的解析式． (2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由． 52．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”．某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） 12 13 14 15 16 y（件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求y与x的函数关系式； (2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件． ①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； ②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围． 53．小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标． (1)请求出b和n的值； (2)小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标； (3)点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当点P的坐标为何值时？的面积最大，最大面积是多少？ 54．如图，从m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高点M离墙1m时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离OB． 55．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元． 销售单价(元 3.5 5.5 销售量(袋 280 120 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 56．因为疫情，参加中考的学生进入考点需要检测体温，防疫部门为了了解学生进入考点进行体温检测的情况，调查了某个考点上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，并绘制了如图所示图像． (1)研究发现9分钟内考生进入考点的累计人数是时间的二次函数，请求出9分钟内y与x之间的函数关系式； (2)如果考生一进考点就开始排队测量体温，体温监测点有2个，每个监测点每分钟检测20人，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？ 参考答案 1．D 【分析】 连接AC，BD，得到ΔABC为等边三角形，设AP＝a，AE＝CFa， 从而求出EF=6-a，求出PQ=,即可得出S与a的函数关系式,即可得到答案. 解：如图： 连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F． ∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∠ABD＝30°， ∴AC＝AB＝6． ∵矩形MNQP， ∴PQ∥BD，PM＝EF，PQ⊥AC． ∴∠APE＝∠ABD＝30°， 设AP＝a，AE＝CFa， ∴EF＝PM＝6﹣a． 由勾股定理得：PE． ∴PQ＝2PEa． ∴S矩形PMNQ＝PM•PQa×（6﹣a）（﹣a2+6a） （a﹣3）2+9． ∵0， ∴当a＝3时，矩形面积有最大值9． 故选：D． 【点拨】本题考查了菱形的性质，矩形的性质以及二次函数的性质，正确利用a表示出矩形PMNQ的面积是关键． 2．A 【分析】 首先由求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入抛物线方程，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=4，所以可知杯子高度． 解：∵， ∴D点的坐标为(1,6)，抛物线的对称轴为x=1， ∵AB=4， ∴CB=CA=2， ∴B点的横坐标为：2+1=3， 代入B点横坐标即可求出B点的纵坐标， ∴当x=3时，， ∴B点纵坐标为14， ∵D点的纵坐标为6， ∴CD=14-6=8， ∴CE=CD+DE=8+4=12， 则杯子的高度为12， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键． 3．A 【分析】 设小径的宽为xm，阴影部分的面积为ym2，根据面积可以列出y与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质及x的取值范围即可解答． 解：设小径的宽为xm，阴影部分的面积为ym2 由题意得，y=(20−x)(14−x)=x2−34x+280=(x-17)2-9(0<x≤1) 有最小值，对称轴为直线x=17，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 当x=1时，y有最小值，最小值为：y= (1-17)2-9=247 故选：A 【点拨】本题考查了二次函数的实际应用及性质，利用二次函数的性质是解题的关键． 4．B 【分析】 分别求出当时，时和时S关于t的函数解析式，再根据解析式判断函数图象即可． 解：由题意得：AB， 当时，点P在AC上，点Q在AB上， 则AP＝AC－CP＝4－2t，AQ＝AB－BQ＝5－2.5t， 如图，过点Q作QM⊥AC于M， ∴sin∠A＝，即， ∴， 此时， 当时，点P在AB上，点Q在AC上， 则AP＝2t－4，AQ＝2.5t－5， 如图，过点P作PN⊥AC于N， 同理可得：， 此时， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，函数图象为二次函数的图象的一部分， 当时，点Q与点C重合，点P在AB上， 此时， ∴当时，函数图象为直线的一部分， 故选：B． 【点拨】此题考查了动点问题的函数图象，正确表示出的面积并能够根据函数解析式选择相应的函数图象是解题的关键． 5．B 【分析】 根据题意，得出，，在中，根据面积公式得到的面积与点P的运动时间之间的函数关系，利用顶点式得出当时，有最大值为，从而求出运动时间是，求出，根据勾股定理即可得出结论． 解：设运动时间，，则，， 在中，，，，则， 当时，有最大值为， 解得，即， 根据的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知， 抛物线与轴交于和两点，即运动时间是， ， 在中，，， 根据勾股定理可得， 故选：B． 【点拨】本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题，涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点，看懂题意，将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键． 6．A 【分析】 分0≤x≤2和2＜x≤3两部分讨论，当0≤x≤2时，得到，由于当2＜x≤3时，四个选项图象相同，根据二次函数图象与性质即可求解． 解：如图，当0≤x≤2时，作QD⊥BP，垂足为D， 由题意得△BPQ是等边三角形， ∴BD=BP=x， ∴QD， ∴， ∴当0≤x≤2时，y是x的二次函数，且开口向上，对称轴为y轴， 由于当2＜x≤3时，图象相同， ∴A选项符合条件． 故选：A 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的图象与性质等知识，理解题意，分类讨论，得到y与x的函数关系式进而确定图象是解题关键． 7．B 【分析】 以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点拨】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 8．D 【分析】