24.9 弧、弦、圆心角（巩固篇）（人教版）.docx

专题24.9 弧、弦、圆心角（巩固篇）（专项练习） 一、单选题 类型一、圆心角概念 1．已知下列命题： ①长度相等的两条弧所对的圆心角相等． ②直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴． ③平分弦的直径垂直于这条弦． ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等． 其中错误命题的个数为（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知△ABC内接于⊙O，若∠AOB=120°，则∠C的度数是(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150° 3．如图， AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（ ） A．40° B．60° C．80° D．100° 类型二、圆心角与它所对弧的度数 4．如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是（　　） A．12° B．15° C．18° D．20° 5．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是，，若与互补，弦，则弦CD的长为（       ） A．6 B．8 C． D．5 类型三、用弧、弦、圆心角关系求解 7．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，，弦于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则的度数为（　　） A．18° B．21° C．22.5° D．30° 8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，==，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，则AB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 类型四、用弧、弦、圆心角关系证明 10．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（     ） A．， B．， C．， D．， 11．在锐角ABC中，，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（       ） A． B． C． D．点M关于AC的对称点一定在ABC的外接圆上 12．如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（       ） A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE 二、填空题 类型一、圆心角概念 13．在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是__________________． 14．把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______. 15．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________． 类型二、圆心角与它所对弧的度数 16．如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________． 17．已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD＝，则∠AOD＝________，∠COD＝_________． 18．如图，是的直径，弦连接并延长交于点连接交于点若则的度数是________________． 类型三、用弧、弦、圆心角关系求解 19．如图，点A、B、C、D均在上，若，，则∠B的度数为______． 20．如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为______度． 21．如图，⊙O的直径AB过的中点A，若∠C＝30°，AB、CD交于点E，连接AC、BD，则＝________________． 类型四、用弧、弦、圆心角关系证明 22．如图，AB、CE是圆O的直径，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，点M是AB上一动点，下列结论：正确的数是___（写出所有正确结论的序号） ①∠CED＝∠BOD； ②DM⊥CE； ③CM+DM的最小值为4； ④设OM为x，则S△OMC＝x． 23．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________． 24．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__． 三、解答题 25．如图是半径为2的圆， （1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度， （2）求第三个扇形AOC的面积． 26．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长． 27．阅读与应用 请阅读下列材料，完成相应的任务： 托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程． 如图1，四边形ABCD内接于． 求证：． 证明：如图2，作交BD于点E． ∵，∴．（依据） ∴．∴．． … ∴． ∴．∴． ∵， ∴． ∴． 任务： (1)证明过程中的“依据”是______； (2)补全证明过程； (3)如图3，的内接五边形ABCDE的边长都为2，求对角线BD的长． 28．如图，在⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为M，F是上的一点，且，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN． (1)求证：DE＝DF； (2)若⊙O的半径为8，∠BAF＝22.5°，求线段MN的长． 参考答案 1．D 【分析】 根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可． 解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误 直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题②错误 平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③错误 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题④错误 综上，错误命题的个数为4个 故选：D． 【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理是解题关键． 2．C 【分析】 根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论即可. 解：①当点C与线段AB位于圆心的两侧时， ∠C= ∠AOB=60°； ②当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补； 即此时的∠C=120°． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键. 3．C 【分析】 利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出∠DOB=∠COB，最后即可得出答案. 解：∵∠A=20°， ∴∠COB=2∠A=40°， ∵CD⊥AB，OC=OD， ∴∠DOB=∠COB=40°， ∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°. 故选：C. 【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 4．B 【分析】 如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，∠BAC＝50°，由圆周角定理可求∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，可求∠AOD＝30°，即可求解． 解：如图，连接AO，BO，CO，DO， ∵AB＝AC，∠ACB＝65°， ∴∠ABC＝∠ACB＝65°， ∴∠BAC＝50°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°， ∵点C是弧BD的中点， ∴， ∴∠BOC＝∠COD＝100°， ∴∠AOD＝30°， ∵∠AOD＝2∠ACD， ∴∠ACD＝15°， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键． 5．D 【分析】 连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案． 解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图， ∵，是的中点， ∴∠COE=45°， ∵，， ∴CE⊥OB， ∴∠OCE=∠COE=45°， ∴CE=OE=， ∴BE=OB－OE=， ∵OA=OB，， ∴∠ABO=45°， ∴∠BDE=∠ABO=45°， ∴EB=ED=， ∴CD=CE－DE=． 故选：D． 【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键． 6．A 【分析】 延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得． 解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE， 则∠AOB+∠BOE=180°， 又∵∠AOB+∠COD=180°， ∴∠BOE=∠COD， ∴BE=CD， ∵AE为⊙O的直径，则AE=10， ∴∠ABE=90°， ∴CD=； 故选择：A. 【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理． 7．D 【分析】 由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解． 解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠CAB=90°， ∵， ∴∠CAB=2∠ABC， ∴∠ABC=30°，∠CAB=60°， ∵CD⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠ACE=30°， ∵点H是AG的中点，∠ACB=90°， ∴AH=CH=HG， ∴∠CAH=∠ACE=30°， ∵∠CAF=∠CBF， ∴∠CBF=30°， 故选：D． 【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键． 8．B 【分析】 根据==和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④． 解：∵==，点E是点D关于AB的对称点， ∴=， ∴∠DOB=∠BOE=∠COD=×180°=60°，∴①错误； ∠CED=∠COD=×60°=30°=∠DOB，即∠DOB=2∠CED；∴②正确； ∵的度数是60°， ∴的度数是120°， ∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°， ∵∠CED=30°， ∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误； 作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长， 连接CD， ∵===，并且弧的度数都是60°， ∴∠D=×120°=60°，∠CFD=×60°=30°， ∴∠FCD=180°-60°-30°=90°， ∴DF是⊙O的直径， 即DF=AB=10， ∴CM+DM的最小值是10，∴④正确； 综上所述，正确的个数是2个． 故选：B． 【点拨】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键． 9．D 【分析】 圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；连接OA，求出OC，根据勾股定理求出AC，可得结论． 解：连接OA， ∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D， ∴OCr＝6（cm），OC⊥AB， ∴AC＝CB3（cm）， ∴AB＝2AC＝6（cm）， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 10．B 【分析】 连接，，先求解， 可得，，再求解 可得， ，从而可得答案. 解：连接，， 直径，，， ， ， ， ， ， 直径，，， ， ， ， ， 所以B符合题意， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 11．D 【分析】 利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA=60°，推出∠AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断与∠ABC互补，可判断D． 解：如图， ∵∠ACB=60°， ∴∠CAB+∠CBA=120°， ∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线， ∴∠MAB+∠MBA=（∠CAB+∠CBA）=60°， ∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意， ∵∠EMD=∠AMB=120°， ∴∠EMD+∠ECD=180°， ∴C，E，M，D四点共圆， ∵∠MCE=∠MCD， ∴ ， ∴EM=DM，故B符合题意， 四边形是的内接四边形， 在AB上取一点T，使得AT=AE， 在△AME和△AMT中， ， ∴△AME≌△AMT（SAS）， ∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT， ∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD， 在△BMD和△BMT中，， ∴△BMD≌△BMT， ∴BD=BT， ∴AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意， ∵M，关于AC对称， ∴=∠AMC， ∵ =90°+∠ABC， ∴与∠ABC不一定互补， ∴点不一定在△ABC的外接圆上，故D不符合题意， 故选D． 【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 12．D 【分析】 根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据判断D选项． 解：∵AB、CD分别是⊙O的直径， ， ∴CB⊥BD， 故A选项正确， 如图，连接， ，且∠CDE＝62°， ， ， ， ， ， ， ， ， 故B，C选项正确， ， ， ， ， BDDE，故D选项不正确， 故选D． 【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键． 13．1﹣≤CM＜ 【分析】 如图，连接OD、OC、OE，先计算出∠DOC+∠COE＝90°，则可判断△ODE为等腰直角三角形，所以DE＝OD＝，则OM＝DE＝；由C点在弧DE上，则0≤∠COM＜45°，根据三角形的性质，∠COM越大，CM越长，当O、M、C共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长，即OC-OM≤CM＜ME； 解：如图，连接OD、OC， ∵AB为直径， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∵D、E分别是、的中点， ∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE， ∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°， ∴△ODE为等腰直角三角形， ∴DE＝OD＝， ∵M是弦DE的中点， ∴OM＝DE＝， ∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°， △OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长， ∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长； ∴CM≥1﹣， 当C点在A点或B点时，CM＝， ∴CM的取值范围是1﹣≤CM＜． 【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键． 14．36°，72°，108°，144° 【分析】 根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可． 解：四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°； 360°×20%=72°； 360°×30%=108°； 360°×40%=144°. 故答案为36°，72°，108°，144°. 【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°． 15．①②③⑤ 【分析】 根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可 解：，都是大于半圆的弧，故①②正确， 在圆上，则线段是弦；故③正确； 都在圆上， 是圆周角 而点不在圆上，则不是圆周角 故④不正确； 是圆心，在圆上 是圆心角 故⑤正确 故正确的有：①②③⑤ 故答案为：①②③⑤ 【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角． 16． 【分析】 连接OD，OE，因为=，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF=，在Rt△DOC中，OD=，所以AO=DO=，AC=，BC=AB-AC=- =，所以以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得． 解：连接OE，OD， ∵=， ∴∠DOC=∠EOF， ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴∠DCO=∠EFO=90°， 又∵DO=EO， ∴Rt△DOC≌Rt△EOF， ∴CO=OF=， ∵在Rt△DOC中，OD=， ∴AO=DO=，AC=AO-CO=，AB=2AO=，BC=AB-AC=- =， ∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得． 故答案为：x2-x+1=0． 【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用． 17．     90°     150°或30° 【分析】 如图，在△AOD中，根据勾股定理的逆定理即可求出∠AOD的度数；连接OC，易得△AOC是等边三角形，从而可得∠AOC＝60°，进一步利用角的和差即可求出∠COD的度数． 解：如图，在△AOD中，∵，， ∴， ∴∠AOD=90°； 连接OC，∵OA＝OC＝AC=2， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°． ∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝60°+90°＝150°或∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°－60°＝30°． 故答案为：90°；150°或30°． 【点拨】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类的数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键． 18． 【分析】 根据圆周角定理的推论，得∠DCE=32°，由结合三角形外角的性质，得∠BOC的度数，从而得∠BDC的度数，进而即可求解． 解：∵∠DCE和∠DBE是同弧所对的圆周角， ∴∠DCE=∠DBE=32°， ∵， ∴∠BOC=90°+∠DCE=90°+32°=122°， ∴∠BDC=∠BOC=×122°=61°， ∴=∠DCE+∠BDC=32°+61°=93°． 故答案是：93°． 【点拨】本题主要考查圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等”，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键． 19．57.5° 【分析】 根据平行线的性质得出∠ODC=∠AOD=65°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ODA=∠OAD=（180°-∠AOD）=57.5°，求出∠ADC的度数，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠ADC=180°，再求出答案即可． 解：连接AD， ∵∠AOD=68°，AO∥DC， ∴∠ODC=∠AOD=65°， ∵∠AOD=65°，OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD=（180°-∠AOD）=57.5°， ∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=57.5°+65°=122.5°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠ADC=180°， ∴∠B=57.5°， 故答案为：57.5°． 【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠ADC的度数是解此题的关键． 20．128 【分析】 连接AD．首先证明∠ADC=∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题． 解：连接AD． ∵， ∴∠ADC=∠ADE， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC=180°-116°=64°， ∴∠CDE=2×64°=128°， 故选：128． 【点拨】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21． 【分析】 根据已知条件得出∠DCA=∠DBA=30°，设DE=EC=x，由在直角三角形中， 30°所对的直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案． 解：∵⊙O的直径AB过的中点A， ∴＝， ∴DE＝EC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BED＝∠CEA＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠DCA＝∠DBA＝30°， 设DE＝EC＝x， ∵∠C＝30°， ∴AE＝x， ∵∠DBA＝30°， ∴BE＝x， ∴＝＝ ； 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 22．①③ 【分析】 ①由，可得∠COD=∠BOD，据此根据圆周角定理即可得结论； ②由点M是直径AB上一动点，而CE的位置是确定的，因此DM⊥CE不一定成立，可得结论； ③由题意可得点D和点E关于AB对称，因此CM+DM的最小值是在点M和点O重合时取到，即CE的长； ④过点C作CN⊥AO于点N，利用解直角三角形可求得CN，利用三角形面积公式求解即可． 解：①， ， ， ，故①正确； ②点M是直径AB上一动点，而CE确定， DM⊥CE不一定成立，故②错误； ③， ，∠CED=30°， DE⊥AB， 点D和点E关于AB对称， CM+DM的最小值是在点M和点O重合时取到，即CE的长， AB=4， CE=AB=4，故③正确； ④连接AC， ， ∠COA=60°，则△AOC为等边三角形，边长为2， 过点C作CN⊥AO于N，则，