22.25 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)最值（巩固篇）（专项练习）（人教版）.docx

专题22.25 二次函数最值（巩固篇） （专项练习） 一、单选题 1．已知实数，满足，则的最大值为（       ） A．10 B．22 C．34 D．142 2．已知二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为（       ） A．3 B．9 C． D． 3．二次函数，当时，y的取值范围为（       ） A． B． C． D． 4．已知：二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是（       ） A． B．或 C．或 D． 5．当时，二次函数的最小值为－1，则a的值为（       ） A．-2 B．±2 C．2或 D．2或 6．若式子不论取任何数总有意义，则的取值范围是（       ） A． B． C．且 D． 7．已知二次函数，当时，y的最大值与最小值的差为6，则m的值为（       ） A． B． C． D． 8．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（       ） A．5或 B．3或 C．5或3 D．3或1 9．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（       ） A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则 C．y的最大值为1 D．若轴交抛物线于点D，则 10．二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（       ） A．函数的最大值为4 B．函数图象关于直线对称 C．当时，y随x的增大而减小 D．x＝1或是方程的两个根 11．二次函数y=ax2+2ax+3（a为常数，a≠0），当a-1≤x≤2时二次函数的函数值y恒小于4，则a的取值范围为（       ） A． B． C．或 D．或 12．已知二次函数（a、b是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，已知二次函数的图象经过点． （1）的值为______，图象的顶点坐标为______； （2）若点在该二次函数图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围为______． 14．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______． 15．如图，四边形的两条对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为_____． 16．一个斜抛物体的水平运动距离记为x（m），对应的高度记为y（m），y是关于x的二次函数．已知当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x=4时，y＝0．该斜抛物体的所能达到的最大高度是_______m． 17．如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知，． （1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________； （2）线段EF的最小值是_________． 18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为_______ 19．平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为______． 20．已知二次函数（是常数），当时，函数的最大值是，则的值为________． 21．如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上） 22．已知抛物线． （1）当m＝0时，点（2，4） _____（填“在”或“不在”）该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，该抛物线的顶点坐标为____． 23．若x＋y＝5，则xy＋1的最大值为______． 24．已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于2，则代数式的最小值是________． 三、解答题 25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点，抛物线的对称轴是直线，连接、． (1)用含a的代数式求； (2)若，求抛物线的函数表达式： (3)在（2）的条件下，当时，y的最小值是-2，求m的值． 26．已知关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)当时，解这个方程； (3)若，是方程的两个实数根，设，试求的最小值． 参考答案 1．C 【分析】 利用二次函数的性质求解即可． 解：∵x+y=12， ∴y=12-x， ∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34， ∵-1＜0， ∴当x=6时，xy-2有最大值，最大值为34， 故选：C． 【点拨】本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键． 2．B 【分析】 先求出二次函数的对称轴为直线，再分①和②两种情况，然后利用二次函数的性质求出最大值与最小值，据此建立方程组求出的值，由此即可得． 解：二次函数的对称轴为直线， ①当时， 则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以， 解得，符合题设， 则此时； ②当时， 则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 所以当时，取得最大值；当时，取得最小值， 所以， 解得，符合题设， 则此时； 综上，的值为9， 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键． 3．C 【分析】 根据二次函数的性质先求解函数的最大值，再分别计算当时， 当时， 从而可得答案． 解：二次函数， 所以函数有最大值， 而， 当时， 当时， 当时， y的取值范围为 故选C 【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键． 4．C 【分析】 画出翻折前后的图象，求出原图象的顶点坐标，利用翻折的性质求出原顶点翻折后对应点的坐标，上下移动，观察与新图象的交点情况，即可得出答案 解：二次函数的图象及翻折后的图象如下图如所示， ， 二次函数图象的顶点C的坐标为， 翻折后顶点C对应点的坐标为， 观察图象可知，当或时，与新图象有2个交点， 故答案为：C． 【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质以及翻折的性质，解题的关键是求出原抛物线顶点翻折后对应点的坐标． 5．A 【分析】 将二次函数化成顶点式，再分类讨论求最值即可． 解：y=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2． 抛物线开口向上，对称轴为直线x=-a． ∴当-a≤1时，即a≥-1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大， 当x=1时，y有最小值=1+2a+3=4+2a， ∴4+2a=-1， ∴a=-，不合题意，舍去． 当1<-a<3时，x=-a，y有最小值3-a2． ∴3-a2=-1． ∴a2=4， ∵1<-a<3， ∴a=-2． 当-a≥3时，即a≤-3，当1≤x≤3，y随x的增大而减少． ∴当x=3时，y有最小值=9+6a+3=12+6a． ∴12+6a=-1． ∴a=-． ∵a≤-3． ∴不合题意，舍去． 综上：a=-2． 故选：A． 【点拨】本题考查二次函数的最值，对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键． 6．D 【分析】 利用根号下的非负性，以及分母不为进行求解，只需恒成立，即只需函数的最小值大于． 解：若对任意总有意义，则恒成立， 的最小值为， ，即． 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数的最值，根号下的非负性，分母不能为，解决本题的关键是求出二次函数的最小值． 7．A 【分析】 将二次函数解析式配成顶点式，根据自变量的取值范围求出最大值和最小值，即可求解． 解：由，可得， ∵m＜0， ∴当x=-1时，函数有最大值，且， 在范围内，函数先递增再递减， 则：当x=-3时，y=3+6m， 当x=2时，y=3+16m， ∵m＜0， ∴函数的最小值为：， ∵， ∴， ∴解得， 故选：A． 【点拨】本题考查了根据自变量的取值范围求解二次函数的最值的问题，将二次函数的解析式配成顶点式是解答本题的关键． 8．A 【分析】 由解析式可知该函数在时取得最小值1、时，随的增大而增大、当时，随的增大而减小，根据时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若，时，取得最小值5；②若，当时，取得最小值5，分别列出关于的方程求解即可． 解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ①若，时，取得最小值5， 可得：， 解得：或（舍； ②若，当时，取得最小值5， 可得：， 解得：或（舍． 综上，的值为或5， 故选：A． 【点拨】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 9．B 【分析】 从图象得到、、 ，结合抛物线对称性求对称轴、利用待定系数法求表达式、根据抛物线图象和性质逐项判定即可． 解：A、根据抛物线与x轴交于点、，可得出对称轴，该选项不符合题意； B、根据抛物线的对称轴为，开口向下可知： 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小， 所以当，无法判断与的大小，该选项符合题意； C、根据抛物线与x轴交于点、， 可设交点式，再根据抛物线与y轴交于点， 代值求解得， 即抛物线表达式为， 当时，的最大值为1，该选项不符合题意； D、若轴交抛物线于点D，则、关于对称轴对称，从而得到，则，该选项不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到图象上点的对称性、待定系数法求表达式、二次函数增减性比较大小、二次函数最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． 10．C 【分析】 根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论． 解：观察二次函数图象，发现： 开口向下，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为，与轴的一个交点为． A、， 二次函数的最大值为顶点的纵坐标，即函数的最大值是4，选项正确，不符合题意； B、二次函数的对称轴为， 函数的图象关于直线对称，选项正确，不符合题意； C、当时，随的增大而增大，选项错误，符合题意； D、二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与轴有一个交点， 二次函数与轴的另一个交点为． x＝1或是方程的两个根，选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质求解． 11．D 【分析】 先求得对称轴为x=-1，再分a>0和a<0两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 解：对于二次函数y=ax2+2ax+3， 其函数图象的对称轴为x=-=-1， 当a>0时，a-1>-1，开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而减少， 当a-1≤x≤2时，函数y的值在x=2时，取得最大值， ∴a×22+2a×2+3<4， 解得：a<， ∴a的取值范围为； 当a<0时，a-1<-1，开口向下， 当a-1≤x≤2时，函数y的值在顶点时，取得最大值， ∴a×(-1)2+2a×(-1)+3<4， 解得：a>-1， ∴a的取值范围为； 综上，a的取值范围为或， 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，利用已知条件画出函数的大致图象，结合图象利用数形结合的方法解答是解题的关键． 12．C 【分析】 求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可． 解：二次函数（、是常数，）的图象经过点和， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为，最大值为1， ∵当时，函数的最小值为，最大值为1， ∴令，则， 解得：，， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 13．               【分析】 （1）把P（−2，3）代入中，即可求解； （2）由|m|＜2，结合二次函数的图像和性质，即可求n的范围． 解：（1）把P（−2，3）代入中，得：， ∴a＝2， ∴＝（x＋1）2＋2； ∴图象的顶点坐标为（−1，2）；     （2）点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴−2＜m＜2， ∴当m=-1时，y的最小值= 2，当m=2时，y的最大值= 11， ∴2≤n＜11． 【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，找到二次函数图像的对称轴，是解题的关键． 14．． 【分析】 设P（x，x2−2x−3）（0<x<3），根据矩形的周长公式得到C＝−2＋．根据二次函数的性质来求最值即可． 解：∵y＝x2﹣2x﹣3， ∴当y＝0时，x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x-3）＝0， 解得 x＝-1或x＝3 故设P（x，y）， 设P（x，x2﹣2x-3）（0<x<3）， ∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B， ∴四边形OAPB为矩形， ∴四边形OAPB周长C＝2PA+2OA ＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x ＝﹣2x2+6x+6 ＝﹣2（x2﹣3x）+6， ＝﹣2+． ∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 15．8 【分析】 设BD=x，则AC=8－x，而四边形的面积为S=，根据二次函数的性质即可求得面积的最大值． 解：如图，设AC、BD交于点O 设BD=x，则AC=8－x，其中0<x<8 ∵ ∴ ∵ ∴当x=4时，S有最大值8 故答案为：8 【点拨】本题考查了二次函数的性质，四边形的面积，当四边形的两条对角线垂直时，其面积与菱形面积一样，等于两条对角线乘积的一半．把面积最大值转化为函数问题是关键． 16．4 【分析】 设二次函数的解析式为，根据x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x﹣4时，y＝0列方程组，可求出a、b、c的值，可得二次函数解析式，转化为顶点式即可得答案． 解：设二次函数的解析式为， ∵x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x﹣4时，y＝0， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴该斜抛物体的所能达到的最大高度是4m， 故答案为：4 【点拨】本题考查二次函数的最值，利用待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握二次函数各种形式解析式的转化是解题关键． 17．     1     【分析】 （1）连接AO，DO，证明，可得，求出即可求解； （2）设，则，由勾股定理可得，即可求EF的最小值． 解：（1）连接AO，DO， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，O是中心， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：1； （2）设，则， ， 在中，， ∴当时，EF有最小值， 故答案为：． 【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 18．4 【分析】 作PM⊥AD与M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4−x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4−x），由三角形面积公式得出S△APF，进而根据二次函数的性质即可求得结果． 解：作PM⊥AD与M， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM＝DM， 设PM＝DM＝x，则AM＝4−x， ∵AP＝PF， ∴AM＝FM＝4−x， ∴AF＝2（4−x）， ∵S△APF＝AF•PM， ∴S△APF＝×2（4−x）•x＝−x2＋4x＝−（x−2）2＋4， ∴当x＝2时，S△APF有最大值4， 故答案为：4 【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19． 【分析】 根据，可得，进而可知，由，进而根据两点间距离公式进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P到原点距离为：， ∴点P到原点O的距离的最小值为： ， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的最值问题，点到原点的距离，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 20．3或-6 【分析】 根据题目中的函数解析式和当0≤x≤2时，y的最大值是2，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决． 解：二次函数y=-x2+mx+=-（x-）2+， 当时，即m＞4， 在0≤x≤2时，x=2时取得最大值，则2=-22+2m+，得（舍去）； 当＜0时，即m＜0， 在0≤x≤2时，x=0时取得最大值，则，得； 当0≤≤2时，即0≤m≤4， 在0≤x≤2时，x=时取得最大值，则，得，（舍去）， 由上可得，m的值是3或． 故答案为：3或． 【点拨】本题主要考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答． 21．①②③ 【分析】 中令y=0得：，得A（-1，0），B（3，0），从而判断①；中令x=0得：y=6，得C（0，6），从而判断②；过点作轴，交于点，求出BC的函数关系式，得出点的坐标为，点的坐标为，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③． 解：∵抛物线与x轴相交于于点，， ∴令y=0得：， 解得：， ∴A（-1，0），B（3，0）， ∴AB=4 故①正确； ∵抛物线与y轴相交于于点C， ∴令x=0得：y=6， ∴C（0，6）， ∴OC=6， 故②正确； 过点作轴，交于点，如图1所示． 设直线的解析式为， 将、代入， 得，解得， 直线的解析式为． 点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， 点的坐标为，则点的坐标为， ， ， 当时，面积取最大值，最大值为． 故③正确， 故答案为：①②③． 【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键． 22．     不在     （2，5） 【分析】 （1）将代入计算即可； （2）先用m表示出顶点坐标，然后确定顶点坐标纵坐标的最大时m的值，进而确定顶点坐标即可． 解：（1）∵m＝0， ∴抛物线解析式为 将代入可得： ． ∴当m＝0时，点（2，4）不在抛物线上， 故答案为：不在． （2）即 ∴抛物线的顶点坐标为：（,） ∵当顶点移动到最高处时，即纵坐标取最大值 而． ∴当m=3时，纵坐标最大，即顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为（2,5）． 故答案为：（2，5） 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，确定二次函数的顶点坐标成为解答本题的关键． 23． 【分析】 由x＋y＝5得x＝5-y，代入xy＋1得（5-y）y＋1=-y2+5y+1，进而求出最值． 解：由x＋y＝5得x＝5-y， ∴xy＋1=（5-y）y＋1=-y2+5y+1=-（y-）2+， ∵-1<0， ∴当y=时，xy＋1有最大值，且最大值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查一元二次方程的最值问题，用一个未知数表示另一个未知数进而求最值解决问题的关键． 24． 【分析】 根据二次函数的性质求出对称轴，然后结合线段 的长不大于2，求出的取值范围，再根据的增减性，求出最小值． 解：∵抛物线过点 ，两点， ∴对称轴为： ， ∴顶点为 ， ∴由题意可知 ， ∵线段的长不大于2， ∴ ， ∴ ， ∵当时，随着的增大而增大． ∴当时，有最小值，最小值为； 故答案为：. 【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出，求出a的取值范围是解题的关键． 25．(1)(2)y=x2+2x-3(3) 【分析】 （1）将点A的坐标代入抛物线表达式列等式，再根据对称轴列等式，依此分别把b、c用含a的代数式表示，即可解答； （2）利用（1）的结果，根据面积为6，建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论，即①当m-1≥-1时，②当m-1＜-1时，分别根据二次函数的性质，结合最小值为-2，建立关于m的方程求解，即可解答． (1)解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a-3b+c=0①， ∵函数的对称轴为：， ∴b=2a②， 将②代入①得c=-3a， ∴抛物线的表达式为：y=ax2+2ax-3a， 设y=ax2+2ax-3a=0， 解得x=1或-3， ∴B的坐标为（1,0）， ∴AB=1-(-3)=4， ∵图象的开口向上， ∴a>0， 当x=0时，y=-3a， ∴C（0,-3a）， ∴OC=3a， ∴ ； (2)解：∵， ∴a=1， ∴抛物线的表达式为：y=x2+2x-3； (3)解：①当m-1≥-1时，即m>0， 函数在x= m-1 时，取得最小值， 即 ， 解得 （负值舍去）， ∴； ②当m-1＜-1时，即m＜0， 当x=-1时，函数取得最小值， 而顶点的纵坐标， 故此时，不存在m的值，使得y的最小值是-2； 综上所述，． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与面积问题，二次函数的最小值问题，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质． 26．(1)(2)(3) 【分析】 （1）利用根的判别式的意义得到Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）＞0，然后解不等式即可； （2）当t=3时，方程化为x2-6x+7=0，然后利用配方法解方程即可； （3）根据根与系数的关系得m+n=2t，mn=t2-2t+4，则Q=t2-6t+8，配方得到Q=（t-3）2-1，利用非负数的性质得到当t=3时，Q有最小值，最小值为-1． 解：(1)根据题意得Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）＞0， 解得t＞2， 即t的取值范围为t＞2； (2)当t=3时，方程化为x2-6x+7=0， x2-6x+9=2， （x-3）2=2， x-3=± (3)根据根与系数的关系得m+n=2t，mn=t2-2t+4， Q=mn-2（m+n）+4 =t2-2t+4-4t+4 =t2-6t+8 =（t-3）2-1， ∵t＞2， ∴当t=3时，Q有最小值，最小值为-1． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．