24.11 圆周角（基础篇）（人教版）.docx

专题24.11 圆周角（基础篇）（专项练习） 一、单选题 1．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．130° 2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．65° 3．如图，图中共有圆周角（       ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．下列图形中的角是圆周角的是（       ） A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于，连接，，，若，则（       ） A． B． C． D． 6．如图，是⊙的直径，，，，则⊙的半径为（ A． B． C． D． 7．如图，在⊙O中，，，则的度数是（       ） A．10 B．20 C．30 D．40 8．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角∠BDC的度数为（　　） A．57° B．52° C．38° D．26° 9．如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（       ） A．90° B．100° C．110° D．120° 10．如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为（       ） A．5 B．4 C．3 D．2.5 11．如图，直径为10的经过点和点，点是轴右侧优弧上一点，，则点的坐标为（       ） A． B． C． D． 12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 13．如图，直径为10的⊙A经过点和点，点是轴右侧⊙A优弧上一点，，则点的坐标为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______． 15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=68°，则∠C的度数为_____． 16．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°． 17．如图，点A，B，C在⊙O上，顺次连接A，B，C，O．若四边形ABCO为平行四边形，则_______________． 18．如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______． 19．如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______° 20．如图，内接于，AD是的直径，，则______． 21．如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________． 22．如图，内接于，，是的直径．若，则______°． 23．如图，四边形内接于，，，，则的值为________． 24．元元同学在数学课上遇到这样一个问题： 如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为(2，0)，点D在⊙A上，且∠ODB＝30°，求⊙A的半径． 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程． 解：如图2，连接BC． ∵∠BOC＝90°， ∴BC是⊙A的直径（依据是_____）． ∵∠ODB＝30°， ∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是_____）． ∴． ∵OB＝2， ∴BC＝4．即⊙A的半径为2． 三、解答题 25．已知：如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：． (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 26．如图，⊙O的直径CD分别与弦AB、AF交于点E、H，连接CF、AD、AO，已知CF=CH、． (1) 求证：AB⊥CD； (2) 若AE=4、OH=1，求AO的长； 27．如图，AB为的直径，点C在上． (1) 尺规作图：作的平分线，与交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2) 探究OE与AC的位置和数量关系，并证明你的结论． 28．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 参考答案 1．B 【分析】 利用圆周角直接可得答案． 解： ∠BOC＝130°，点A在上， 故选B 【点拨】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键． 2．A 【分析】 首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=65°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=25°， ∴∠ADC=∠ABC=25°， 故选：A． 【点拨】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大． 3．C 【分析】 根据圆周角的定义判断即可. 解：图中的圆周角有：∠FAE，∠AEF，∠AFE，∠AED，∠FED共5个 故选C 【点拨】本题考查的是找圆周角，熟练掌握圆周角的定义是关键. 4．A 【分析】 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 解：根据圆周角的定义可知，选项中的角是圆周角． 故选：． 【点拨】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题． 5．B 【分析】 根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可． 解：∵四边形内接于， ∴ ， 由圆周角定理得， ， ∵ ∴ 故选：B． 【点拨】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6．D 【分析】 连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，根据OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，从而得到AE=AD=2，然后根据勾股定理，即可求解． 解：如图，连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE， ∵OA=OC， ∴∠ACE=∠CAB， ∵， ∴∠ACD=∠ACE， ∴， ∴AE=AD=2， ∵CE是直径， ∴∠CAE=90°， ∴， ∴⊙的半径为． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键． 7．B 【分析】 利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数． 解：，， ． 故选：B． 【点拨】此题考查了圆周角定理,注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆周角的一半这个定理的应用． 8．B 【分析】 由AB是圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数． 解： 连接AC， AB为⊙O的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【点拨】本题考查了圆周角定，难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解题的关键． 9．C 【分析】 因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案． 解：∵为⊙的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵四边形内接于⊙， ∴， ∴， 故答案选：C． 【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键． 10．C 【分析】 设圆O的半径为r，则OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r，先利用垂径定理得到AC=2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE的长，再利用勾股定理即可求出BE． 解：设圆O的半径为r，则OC=OD-CD=r-1，AE=2OA=2r， 由垂径定理得， 在Rt△OAC中，， ∴， ∴， ∴AE=5， ∵AE是圆O的直径， ∴∠B=90°， ∴在Rt△ABE中，， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知垂径定理是解题的关键． 11．B 【分析】 首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，继而求得点C的坐标． 解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD， ∵∠COD＝90°， ∴CD是⊙A的直径， 即CD＝10， ∵∠OBC＝30°， ∴∠ODC＝30°， ∴OC＝CD＝5， ∴点C的坐标为：（0，5）． 故选：B． 【点拨】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 12．C 【分析】 根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B=90°-∠CAB=35°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=35°． 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=55°， ∴∠B=90°-∠CAB=35°， ∴∠D=∠B=35°． 故选：C． 【点拨】本题考查圆周角定理，解题的关键是结合图形根据圆周角定理推出∠ACB=90°及∠D=∠B，注意运用数形结合的思想方法． 13．B 【分析】 首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，继而求得点C的坐标． 解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD， ∵∠COD＝90°， ∴CD是⊙A的直径，即CD＝10， ∵∠OBC＝30°， ∴∠ODC＝30°， ∴OC＝CD＝5， ∴点C的坐标为：（0，5）． 故选：B． 【点拨】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 14．2 【分析】 先利用垂径定理得到CE=DE=1，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC的长． 解：∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=1，∠OEC=90°， ∵∠BOC=2∠A=2×15°=30°， ∴OC=2CE=2． 故答案为：2． 【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 15．22° 【分析】 根据OA=OB，可得∠OAB=∠OBA=68°，从而得到∠AOB=44°，再由圆周角定理，即可求解． 解：∵OA=OB，∠OBA=68°， ∴∠OAB=∠OBA=68°， ∴∠AOB=44°， ∴． 故答案为：22° 【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键． 16．45 【分析】 根据垂径定理可得△ACD是等腰三角形，∠BAC＝22.5°，然后再利用圆周角定理可得∠BOC＝45°． 解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE＝DE， ∴ AB垂直平分CD ∴AC＝AD ∴△ACD是等腰三角形 ∴∠BAC＝∠CAD＝×45°＝22.5° ∴∠BOC＝2∠BAC＝45°， 故答案为：45． 【点拨】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 17．120° 【分析】 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到∠3和∠1的关系，再结合平行四边形的性质和周角360°即可求出． 解：如图，由题有平行四边形ABCO ∴∠1=∠2 ∵ ∴2∠1=∠3=2∠2 ∵∠3+∠2=360° ∴∠2+2∠2=360° ∴∠2=120° 故答案为：120° 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 18．30°##30度 【分析】 根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°． 解：∵OC⊥AB，OD为直径， ∴， ∴∠AOB=∠BOD， ∵∠AOB=120°， ∴∠AOD=60°， ∴∠APD=∠AOD=30°， 故答案为：30°． 【点拨】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键． 19．62 【分析】 连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得． 解：连接， ∵AB是的直径， ∴， ， ， 故答案为：62 【点拨】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键． 20．55° 【分析】 根据圆周角定理，得∠ADC＝∠ABC＝35°，再根据AD是⊙O的直径，则∠ACD＝90°，由三角形的内角和定理即可求得∠CAD的度数． 解：∵∠ABC＝35°， ∴∠ADC＝35°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣35°＝55°． 故答案为：55°． 【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是：根据圆周角定理，求得∠ADC＝∠ABC＝35°． 21．3 【分析】 连接，易得为直径，在中利用勾股定理算出，再在中利用勾股定理算出． 解：连接，四边形是正方形， ，， 是直径． ． 在中，， 在中，． 故答案为：． 【点拨】本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”． 22． 【分析】 根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，可得到，再利用圆周角定理可得到结论． 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余等知识，注意数形结合思想的应用．灵活运用圆周角定理是解答本题的关键． 23．5 【分析】 如图，连接证明为直径，则三点共线，再证明结合从而可得答案. 解：如图，连接 为直径，则三点共线， ，， 故答案为：5 【点拨】本题考查的是的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，熟悉以上两个性质是解题的关键. 24．     90°的圆周角所对的弦是直径     同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】 先利用圆周角定理判断BC是⊙A的直径，∠OCB＝∠ODB＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出BC即可． 解：如图2，连接BC， ∵∠BOC＝90°， ∴BC是⊙A的直径．（90°的圆周角所对的弦是直径）， ∵∠ODB＝30°， ∴∠OCB＝∠ODB＝30°（同弧或等弧所对的圆周角相等）， ∴． ∵OB＝2， ∴BC＝4．即⊙A的半径为2． 故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等． 【点拨】本题考查圆周角性质，30°角直角三角形性质，推理的依据，掌握基础知识，基本定理是解题关键． 25．(1)证明见解析(2)分别为40°、40°、100° 【分析】 （1）连接BE，AD，利用AB是圆的直径，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据是圆的直径可知，从而求出，再根据圆周角定理求解即可； (1)解：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴是的高， ∵， ∴． (2)解：∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由圆周角定理得：所对的圆心角的度数是， 所对的圆心角的度数是， 所对的圆心角的度数是 【点拨】本题主要考查了圆的相关知识，掌握直径所对的圆周角是 、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识是解题的关键． 26．(1)证明见解析(2) 【分析】 （1）先证明AH=AD，再证明∠HAE=∠DAE即可得到结论； （2）证明HE=DE，设OE=x，得HE=DE =x+1，OD=AO =2x+1，再由勾股定理列方程求解即可． 解：(1)∵CF=CH， ∴∠F=∠CHF． ∵∠F=∠D，∠CHF=∠AHD， ∴∠D=∠AHD， ∴AH=AD． ∵=， ∴∠HAE=∠DAE． ∴AE⊥HD，即AB⊥CD． (2)∵AH=AD，∠HAE=∠DAE， ∴HE=DE． 设OE=x． ∵OH=1， ∴HE=x+1=DE， ∴OD=2x+1=AO． 在Rt△OAE中，∵OE2+AE2=AO2，AE＝4， ∴x2+42=(2x+1)2， 解得x1=-3（舍去），x2=． ∴AO=2×+1=， 即AO的长等于． 【点拨】可不是主要考查了圆周角定理，勾股定理运用，等腰三角形的性质等知识，会结合题意灵活运用勾股定理和方程思想是解题的关键． 27．(1)见解析(2)，，理由见解析 【分析】 （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）根据内错角相等两直线平行证明得到，再根据三角形中位线的性质得到. (1)∴如图所示为所求． (2)，． 理由：∵AB为的直径， ∴， ∵， ∵， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点E为BC中点， 又∵点O为AB中点， ∴. 【点拨】此题考查了圆周角定理，角平分线的作图，三角形中位线的性质定理，熟记角平分线的作图方法及圆周角定理是解题的关键. 28．(1)见解析(2)DF=2(3)的最小值为 【分析】 （1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD−OF即可； （3）作C点关于AB的对称点，D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC＋PD的值最小，再计算出∠DO＝120°，作OH⊥D于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC＋PD的最小值． (1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， 即点为的中点． (2)解：， ， 而， 为的中位线， ， ． (3)解：作点关于的对称点，交于，连接，如图， ， ， 此时的值最小， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， 作于，则，， 在中，， ， ， 的最小值为． 【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．