21.23 实际问题与一元二次方程专题——几何动态问题（基础篇）（人教版）.docx

专题21.23 实际问题与一元二次方程专题——几何动态问题 （基础篇）（专项练习） 一、单选题 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（       ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为 （       ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 3．如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒或秒 4．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　　) A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48 5．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（       ） A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s 6．如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示，则边的长为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（       ） A． B． C． D． 8．如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（       ）秒后四边形APQB是△ABC面积的． A．2 B．4.5 C．8 D．7 9．如图，在中，，，，点P从点A开始沿AC 边向点C以的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动，当的面积等于运动时间为　　 A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 10．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等于(         ) A．4 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm或8 cm 二、填空题 11．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝___时，S△DPQ＝28cm2． 14．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2 15．如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，同时，另一点从点开始以的速度沿边向点运动______秒钟后，的面积是面积的． 16．如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为． 17．如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为______秒． 18．如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm,____秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？ 19．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过__________秒后，P，Q两点之间相距25 cm. 20．一小球以15 m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式：h＝15t－5t2，当t＝_________时，小球高度为10 m．小球所能达到的最大高度为________m. 三、解答题 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2? 22．如图，已知AB⊥BC，AB＝12 cm，BC＝8 cm．动点M从点A沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动，同时动点N从点C沿CB方向以1 cm/s的速度也向点B运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止．当△MNB的面积为24 cm2时，求它们运动的时间． 23．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点P从点C开始沿CA边以4cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿着CB边向点B移动，求几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ 24．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs． （1）若，求的值； （2）若的面积为，求的值． 25．如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的？ 26．如图，中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC运动；同时点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB运动，当Q到达点B时，点P同时停止运动． （1）运动几秒时的面积为5cm2？ （2）运动几秒时中PQ=6 cm？ （3）的面积能否等于10cm2？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 27．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，同时动点从点出发，沿方向运动，点，点的运动速度均为．当运动时间为多少秒时，两点相距？ 28．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ=28cm2？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．B 【分析】 根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 解：， ， ∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动， ∴， ∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动， ∴AQ=2，，， 的面积是面积的， ， 整理得， 解得， 当s时，的面积是面积的． 故选择B． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列出方程是解题的关键． 2．A 【分析】 设点P的坐标为（，），根据题意列出方程组，再根据的取值不同，分、、三种情况进行讨论，即可求解． 解：设点P的坐标为（，），根据题意得： ， ∵点P 的位置不确定，分三种情况进行讨论： ①当时，则， 则，解得：，（舍去）； ②当时，， 则，即，此时，此方程无解； ③当时，， 则，即，解得：（舍去），； 故符合条件的P点坐标有2个，分别是（，）、（，）． 【点拨】本题考查一元二次方程在坐标中的运用，难度一般，根据题意列出方程组，再分情况讨论是顺利解题的关键． 3．D 【分析】 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 解：由题意，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选D． 【点拨】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 4．D 解：设x秒后，螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x, 由题意知(10－2x)(8－x)＝24, (10－2x)(8－x)＝48,选D. 5．D 【分析】 设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm， 根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102， 解得：x1=2，x2=， 答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm． 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键． 6．D 【分析】 由图②可知，当点到达点时，的面积为6，此时的高为，则，解得，而，由此即可求解． 解：由图②可知：当点到达点时，的面积为6，此时的高为， ∴的面积， 解得①， 而从图②还可知：②， 由②得：③， 将③代入①，得：， 解得：或， 当时，， 当时，， ∵在矩形中，， ∴， ∴，， 故选：D． 【点拨】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解，也考查了矩形的性质以及解一元二次方程． 7．C 【分析】 先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点拨】本题考查了学生对函数图像的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图像中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 8．A 【分析】 由于四边形APQB是一个不规则的图形，不容易表示它的面积，观察图形，可知S四边形APQB=S△ABC-S△PCQ，因此当四边形APQB是△ABC面积的时，△PCQ是△ABC面积的，即S△PCQ=S△ABC． 解：∵△ABC中，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 由勾股定理，得BC＝＝6． 设t秒后四边形APQB是△ABC面积的， 则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t． 根据题意，知S△PCQ＝S△ABC， ∴CQ×PC＝×AC×BC， 即（6﹣t）（8﹣2t）＝××8×6， 解得t＝2或t＝8（舍去）． 故选：A． 【点拨】本题是一道综合性较强的题目，把求三角形的面积和一元二次方程结合起来，锻炼了学生对所学知识的运用能力． 9．C 【分析】 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 解：AP=2t，CQ=3t，∴PC=50﹣2t，∴•PC•CQ=300，∴•（50﹣2t）•3t=300，解得：t=20或5，∴t=20s或5s时，△PCQ的面积为300m2． 故选C． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 10．D 解： 设AA′=xcm，则A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可证∠B′A′C′=45°，∵△A′B′C′由△ABC沿着AD方向平移得到，∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，∴A′F∥EC，∵A′E∥CF，∴四边形A′ECF为平行四边形，所以SA′ECF= A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8. 故选D. 【点拨】遇到此类应用题一般要求什么我们就设什么，此题首先分析重叠部分图形是何图形，若是规则图形，则根据公式法用所设未知数表示出重叠部分面积，若为不规则图形，则可根据割补法用所设未知数表示出图形面积，从而列方程求解. 11．2或3##3或2 【分析】 设t秒后的面积是，则，，列方程即可求解． 解：设运动时间为秒，则，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 12．1 【分析】 设P、Q运动的时间是秒，根据已知条件得到cm，cm ，则cm ，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解． 解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm ，cm ∵△PQC的面积为3cm2， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒． 故答案为：1 【点拨】本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键． 13．2或4 【分析】 由题意可知当运动时间为t秒时，则AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，CQ=（12-2t）cm，根据S△DPQ=28cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出答案． 解：当运动时间为t秒时，则AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，CQ=（12-2t）cm， 依题意得：12×6-×12t-×6（12-2t）-×2t•（6-t）=28， 整理得：t2-6t+8=0， 解得：t1=2，t2=4． 故答案为：2或4． 【点拨】本题考查一元二次方程的几何应用与矩形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．1或4##4或1 【分析】 若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm，利用三角形的面积计算公式列出方程，解方程即可求解． 解：若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm， 依题意得：（20-4t）×2t=16， 整理得：t2-5t+4=0， 解得：， 答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2． 故答案为：1或4． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．5 【分析】 由得出，通过勾股定理计算得出BC，从而求解出面积；同理，求得面积；最后通过和的比值关系，计算得到答案． 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 设秒后的面积是面积的 ∴ 依题意得 ∴ ∴或（舍去） ∴秒后的面积是面积的． 故答案为：5 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 16．或 【分析】 利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算． 解：∵在等腰中，，， ∴，，． ∵于点． ∴设当时间为秒时，的面积为． 当时，，， ，即， 解得：或（舍去）． 当时，，， ，即， 解得：或（舍去）． 综上所述：当或秒时，的面积为． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论． 17．2 【分析】 根据题意可知CN=t，AM=2t，故可得BN=8-t,BM=12-2t,根据面积公式得到方程即可求解． 解：根据题意可知CN=t，AM=2t， ∴BN=8-t,BM=12-2t, ∵△MNB的面积为24cm2 ∴×（12-2t）×（8-t）=24 解得x1=2,x2=12(舍去) 故答案为：2． 【点拨】此题只要一元二次方程的应用，解题的关键是根据三角形的面积公式列出方程求解． 18．2 【分析】 设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm，此时△PCQ的面积为×（8−x）（6−x），令该式＝×AC×BC，得到方程即可求解. 解：设运动x秒后．由题意得： AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm， S△ABC＝×AC•BC＝×6×8＝24， 即：×（8−x）×（6−x）＝×24， x2−14x＋24＝0， （x−2）（x−12）＝0， x1＝12，x2＝2； ∵x＜6，∴x1＝12舍去， 所以，当2秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半． 故填：2. 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解． 19．10 【分析】 设x秒后，P、Q两点相距25cm，根据时间和速度求出路程，然后根据勾股定理列式解答即可. 解：设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得： (2x)2+(25-x)2=252， 4x2-50x+x2=0， 5x(x-10)=0， x1=0 (舍去), x2=10 (秒). ∴10秒后P、Q两点相距25cm. 故答案为10. 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 20．     1或2     【分析】 把10代入关系式可求出t;用配方法可求出小球所能达到的最大高度. 解：当h=10m时, 10=15t－5t2， ∴t=1或t=2; ∵h＝15t－5t2= 可看出当时,h最大为. 故答案为:1或2;. 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用及对题意的理解能力,解析式有了,代入已知的h就能求出t.给解析式配方就能求出最大值. 21．当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2． 【分析】 当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝（6−t）cm，利用三角形的面积计算公式，结合△QAP的面积等于8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值． 解：当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝(6－t)cm， 依题意得×2t(6－t)＝8， 整理得t2－6t＋8＝0， 解得t1＝2，t2＝4， ∴当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．运动时间为2s 【分析】 根据题意可知cm， cm，cm， cm，根据计算求出满足题意的解即可． 解：根据题意可知cm， cm， ∴cm， cm， ∵△MNB的面积为24cm2， ∴， 整理得：， 解得：t1＝2，t2＝12（不合题意，舍去） ∴运动的时间为2s． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于表示出线段BN、BM的长度． 23．5秒 【分析】 设x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，在△ABC中，∠C=90°，根据面积关系，可得方程，解方程即可求出答案． 解：设x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，则CP=4xcm，CQ=3xcm， 由题意得：×3x×4x=×30×40×， 解得：x1=5，x2=-5（不符合题意，舍去）， 答：5秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据△PCQ与△ABC的面积关系列出方程是解决问题的关键． 24．（1）x的值为2或；（2）当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5． 【分析】 （1）直接利用P，Q点运动方向和运动速度表示出BP、BQ，利用勾股定理即可求解； （2）直接利用S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ，代入求出答案． 解：（1）由题意可得：BP=AB-AP=（6-x）cm， BQ=2x(cm)， ∵, ∴， 解得：， ∴x的值为2或； （2）由题意可得：S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ =AB•BC-AD•AP-CD•CQ-BP•BQ =6×12-×12x-×6（12-2x）-（6-x）•2x =x2-6x+36=31， 解得：x1=1，x2=5， 当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，正确表示出三角形的各边长是解题关键． 25．2 【分析】 根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 解： 依题意， 的面积是面积的 解得 答：当s时，的面积是面积的． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意列出方程是解题的关键． 26．（1）1；（2）；（3）不能，理由见分析． 【分析】 （1）设运动t秒后△PCQ的面积等于5cm2，根据题意可直接列出方程进行求解； （2）由（1）及三角形面积可直接列方程进行求解即可； （3）根据题意列出方程，然后由一元二次方程根的判别式进行求解即可． 解：（1）设运动t秒后△PCQ的面积等于5cm2， 根据题意得： CP＝6−t，QC＝2t，      则△PCQ的面积是：CQ•CP＝×（6−t）×2t＝5， 解得t1＝1，t2＝5， ∵当t2＝5时，QC=2×5=10>8 ∴t2＝5不符合题意，舍去 所以运动1秒后，△PCQ的面积等于5cm2； （2）根据题意可得： ， 解得（舍去）， 所以运动秒时△PCQ中PQ=6 cm； （3）根据题意可得： ×（6−t）×2t＝10， 整理得：， ， ∴方程无实数根，