22.13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解）（人教版）.docx

专题22.13 二次函数的图象与性质 （知识讲解） 【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； 2. .通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； 3. .经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】 要点一、二次函数与之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2. 一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 特别说明： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 特别说明： 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 要点四、求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 特别说明： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【类型一】把二次函数化为顶点式 1．嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为 ，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______． (2)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴 【答案】(1)四，(2)顶点坐标为，对称轴为直线x＝1 【分析】 （1）根据计算可得出第四步中括号外符号错误，改正后即可直接得出顶点坐标； （2）用配方法求解即可． 解：(1)嘉嘉的解法从第四步开始出现错误，应为， 故顶点坐标为． 故答案为：四，； (2) ∴顶点坐标为，对称轴为直线x＝1． 【点拨】本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质．熟练掌握配方法是解题关键． 举一反三： 【变式1】 已知二次函数． (1) 用配方法化成的形式； (2) 直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为，顶点坐标为 【分析】 （1）利用完全平方公式进行配方即可；（2）依据配方后的解析式即可得到结论． (1)解：． (2) 对称轴为，顶点坐标为 【点拨】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 【变式2】（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0； （2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） ；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 【分析】（1）利用公式法，即可求解； （2）先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解． 解：（1） ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2） ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键． 【类型二】画二次函数的图象 2．已知抛物线 (1)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴． (2)直接画出函数的图像． 【答案】(1)顶点坐标是，对称轴是(2)图像见分析 【分析】 （1）利用配方法将抛物线的解析式变形为，由此即可得出抛物线的顶点坐标及抛物线的对称轴； （2）画图是要把握抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标，开口方向等，利用列表、描点、连线即可画出这条抛物线． (1)解：∵， ∴顶点坐标是，对称轴是； (2)列表： 0 1 2 3 4 3 0 ﹣1 0 3 作图如下： 【点拨】本题考查了二次函数图像的画法，二次函数的两种形式．利用配方法将二次函数解析式的一般式换算成顶点式是解题的关键． 举一反三： 【变式1】已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2图象经过点P（﹣1，1）． (1)求a的值和图象的顶点坐标； (2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，请根据图象直接写出n的取值范围． 【答案】(1)a＝1，顶点坐标为（1，﹣3）(2)﹣3≤n＜6 【分析】 （1）把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得到a的值，即可得到函数解析式，将解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）利用描点法画出函数图象，即可得到n的取值范围． (1)解：把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得a+2a-2=1， ∴a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴图象的顶点坐标为（1，﹣3）； (2)解：如图所示： 由图象知，当m=-1时，n=1；当m=4时，n=6；图象最低点在此段函数图象上， ∴点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，﹣3≤n＜6． 【点拨】此题考查了二次函数的知识，利用待定系数法求函数解析式，将函数解析式化为顶点式求顶点坐标，画函数图象，利用函数图象确定纵坐标的取值范围，属于基础题型． 【变式2】 已知二次函数y＝x2－4x＋3． （（1）用配方法将y＝x2－4x＋3化成y=a（x-h）2+k的形式； （2）求抛物线与x轴交点坐标； （3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； （4）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是 ______； （5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ______． 【答案】（1）y=（x-2）2-1；（2）（1，0）或（3，0）；（3）见详解（4）1＜x＜3；（5）-1＜y＜3． 【分析】 （1）利用配方法化简即可； （2）将已知二次函数解析式转化为两点式，可以直接得到答案； （3）用“五点法”取值描点连线即可求解； （4）、（5）观察函数图象即可求解． 解：（1）y=x2-4x+3=（x-2）2-1； （2）由二次函数y=x2-4x+3=（x-1）（x-3）知，该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）； （3）当x=0时，y=3；当x=1时，y=0；当x=-2时，y=-1；当x=3时，y=0；当x=4时，y=3， 用上述五点描点连线得到函数图象如下： （4）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足1＜x＜3时，y＜0． 故答案是：1＜x＜3； （5）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：-1＜y＜3． 故答案是：-1＜y＜3． 【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【类型三】二次函数的性质 3、直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线经过点A、点B． (1)求该抛物线的解析式． (2)根据图象直接写出的解集； (3)将点B向右平移4个单位长度得到C，若拋物线与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)(2)或(3)或 【分析】 （1）求出A、B的坐标，再代入二次函数解析式，即可求解； （2）将所求表达式变形为，结合函数图象进行求解即可； （3）求出C点坐标，当时，，解得，当时，，解得，则时抛物线与线段BC有一个交点，利用根的判别式进行求解即可． 解：(1)令，则， ∴， 令，则， ∴， 将A、B点代入， ∴， 解得， ∴； (2)∵， ∴， ∵与的交点为，， ∴当或时，； (3)∵将点B向右平移4个单位长度， ∴， ∵抛物线与线段BC恰好有一个交点， ∴当时，，即，解得， 当时，，即，解得， ∴； 当时，，即， 此时抛物线与线段BC有一个交点； 综上所述：或时，抛物线与线段BC有一个交点． 【点拨】本题是二次函数的综合题目，涉及一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 举一反三： 【变式1】如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)． （1）m的值为________； （2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小； （3）当x满足________时，抛物线在x轴上方； （4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________． 【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4 【分析】 根据函数的图象和性质即可求解． 解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m， 故答案为3； （2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3， 函数的对称轴为直线x＝＝1， ∵﹣1＜0，故抛物线开口向下， 当x＞1时，y的值随x值的增大而减小， 故答案为x＞1； （3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3， 从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方； 故答案为﹣1＜x＜3； （4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5， 而抛物线的顶点坐标为（1，4）， 故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4， 故答案为﹣5≤y≤4． 【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键． 【变式2】 已知抛物线 （a＜0）． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式； (2)设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围． 【答案】(1)(2)或 【分析】 （1）把解析式化成顶点式，可得，可知，该抛物线的顶点坐标为（1，-a-3），再根据该抛物线的顶点在x轴上，可得-a-3=0，解此方程，即可求得a的值，进而求出解析式； （2）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出m的取值，即可求解． (1)解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为（1，-a-3）， ∵该抛物线的顶点在x轴上， ∴-a-3=0， 解得a=-3， ∴抛物线的解析式为； (2)解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∴点Q（3，y2）关于直线x=1对称的点的坐标为（-1，y2）， ∵a＜0，y1＜y2， ∴或． 【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握运用二次函数的性质求解集是解题关键． 【类型四】二次函数各项系数的符号 4、抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号由抛物线的_______确定； （2）b的符号由抛物线的_______确定； （3）c的符号由抛物线_________确定； （4）b2﹣4ac的符号由抛物线的_________确定； （5）a+b+c的符号由______在抛物线上的点的位置确定； （6）a﹣b+c的符号由_______在抛物线的点的位置确定； （7）2a+b的符号由抛物线_______与_______的位置确定； （8）2a﹣b的符号由抛物线_______与_______的位置确定． 【答案】（1）开口方向；（2）对称轴的位置；（3）与y轴交点所在位置；（4）与x轴交点的个数；（5）x=1；（6）x=﹣1；（7）对称轴；x轴的交点；（8）开口方向；对称轴． 【分析】 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：（1）a的符号由抛物线的开口方向确定； （2）b的符号由抛物线的对称轴的位置确定； （3）c的符号由抛物线与y轴交点所在位置确定； （4）b2﹣4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定； （5）a+b+c的符号由x=1在抛物线上的点的位置确定； （6）a﹣b+c的符号由 x=﹣1在抛物线的点的位置确定； （7）2a+b的符号由抛物线对称轴与x轴交点的位置确定； （8）2a﹣b的符号由抛物线开口方向与对称轴的位置确定． 故答案是：（1）开口方向；（2）对称轴的位置；（3）与y轴交点所在位置；（4）与x轴交点的个数；（5）x=1；（6）x=﹣1；（7）对称轴；x轴的交点；（8）开口方向；对称轴． 【点拨】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定． 举一反三： 【变式1】如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象根据函数图象，“＞”、“＝”或“＜”填写下列空格： ①a 0； ②4ac﹣b2 0； ③2a+b 0； ④a+b+c 0； ⑤当﹣1＜x＜3时，y 0； ⑥8a+c 0． 【答案】①；②；③；④；⑤；⑥ 【分析】 ①根据开口方向即可判断，②根据二次函数图象与轴有2个不同的交点即可判断，③根据图象的对称性可得对称轴为，进而确定的符号，④根据时的函数值为即可判断的符号，⑤根据函数图象在时，函数图象位于轴上方，即可判断函数值大于0，即，⑥根据③可得以及时候的函数值即可判断 解：①二次函数图象开口向下， ， ②二次函数图象与轴有2个不同的交点， 即 ③根据图象的对称性可得对称轴为， 即 ④时的函数值为，根据图象可知时， 即， ⑤根据函数图象在时，函数图象位于轴上方，即可判断函数值大于0， 即， ⑥根据③可得以及时候的函数值 即 故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥ 【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 【变式2】 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c． 【答案】①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＜0 【分析】 ①抛物线开口向下得到a＜0，对称轴在y轴的左侧，a与b同号，得到b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＜0； ②抛物线与x轴没有交点，所以=b2﹣4ac＜0； ③取x=1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=1，y=a+b+c＜0； ④取x=﹣1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=﹣1，y=a﹣b+c＜0． 解：①抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的左侧，则x=﹣＜0，则b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，则c＜0，abc＜0； ②抛物线与x轴没有交点，所以=b2﹣4ac＜0； ③当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y=a+b+c＜0； ④当自变量为﹣1时，图象在x轴下方，则x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0． 【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象： ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口； ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）； ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． =b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 【类型五】一次函数与二次函数图象判断 5、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 解：A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C.   ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点拨】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 举一反三： 【变式1】在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且） 的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分m＞0及m＜0两种情况考虑两函数的图象，对照四个选项即可得出结论． 解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x=-=-＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误； D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=-=-＜0 ，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确； 故选：D． 【点拨】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=-，与y轴的交点坐标为（0，c）． 【变式2】如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是_______． 【答案】﹣1，4，4+2，4﹣2． 解：设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+5）， 则点Q为（a，﹣a+3），点B为（0，3）， 当点P在点Q上方时，BQ==a， PQ=﹣a2+2a+5﹣（﹣a+3）=﹣a2+a+2， ∵PQ=BQ， ∴a=﹣a2+a+2， 整理得：a2﹣3a﹣4=0， 解得：a=﹣1或a=4， 当点P在点Q下方时，BQ==a， PQ=﹣a+3﹣（﹣a2+2a+5）=a2﹣a﹣2， ∵PQ=BQ， ∴a=a2﹣a﹣2， 整理得：a2﹣8a﹣4=0， 解得：a=4+2或a=4﹣2． 综上所述，a的值为：﹣1，4，4+2，4﹣2． 故答案为﹣1，4，4+2，4﹣2． 【点拨】二次函数综合题. 【类型六】二次函数图象的平移 6、如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案； （2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式． 解：（1）． ∵图象的对称轴为直线， ∴， ∴． （2）∵， ∴二次函数的表达式为， ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点， ∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为． 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键． 举一反三： 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点． 判断点是否在直线上．并说明理由； 求的值； 平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3） 【分析】 （1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可； （2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组； （3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值． 解：（1）点在直线上，理由如下： 将A（1，2）代入得， 解得m=1， ∴直线解析式为， 将B（2，3）代入，式子成立， ∴点在直线上； （2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A，C两点， 将A，C两点坐标代入得， 解得：a=-1，b=2； （3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k， ∵顶点在直线上， ∴k=h+1， 令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1， ∵-h2+h+1=-（h-）2+， ∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值． 【点拨】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数