21.6 一元二次方程解法-配方法（知识讲解）（人教版）.docx

专题21.6 一元二次方程解法-配方法（知识讲解） 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 在比较大小中 二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解； 1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开； 2、把常数项移到等号的右边； 3、方程两边都除以二次项系数； 4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； 5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 特别说明： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好． 　【典型例题】 类型一、用配方法解一元二次方程 1. 用配方法解方程：． 【答案】，， 【分析】将原方程二次项系数化1，用配方法求解. 解：               ∴ ， 【点拨】本题考查一元二次方程的解法，配方法是常用方法，掌握配方法解方程的步骤是解答此题的关键. 举一反三： 【变式1】 用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】利用配方法得到（x﹣）2=，然后利用直接开平方法解方程即可． 解：x2﹣x=﹣， x2﹣x+=﹣+， （x﹣）2= x﹣=±， 所以x1=，x2=1． 【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 【变式2】 用配方法解方程：2x2－4x－1＝0. 【答案】x1＝＋1，x2＝1－ 解：根据配方法解方程即可． 移项得，2x2-4x=1， 将二次项系数化为1得，， 配方得，x2-2x+1=+1，， ∴， ∴． 类型二、配方法在代数中的应用 2．我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题： 求证： 不论取任何实数，代数式的值总是正数 当为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值． 【答案】(1)证明见分析；（2）4. 【分析】（1）此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算． （2）根据（1）4m2-4（m+1）+9=（2m-1）2+4得出m取时代数式的值最小，最小值是4． 解：（1） ； ∴不论取任何实数，代数式的值总是正数．由（1）得： 时，此代数式的值最小，这个最小值是：． 【点拨】此题考查了配方法的应用，解题时要根据配方法的步骤进行解答，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 举一反三： 【变式1】 我们可以用以下方法求代数式的最小值． ∵ ∴ ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值； (3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 【答案】(1)-2 (2)当时，有最大值 (3)证明见分析 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题中所给方法可得，然后问题可求解； （3）由题意可得，进而问题可求解． (1) 解：由题意得： ， ∵ ∴ ∴当时，有最小值． (2) 由题意得：， ∵ ∴ ∴当时，有最大值． (3) 由题意得： = =； ∵ ∴， ∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数． 【点拨】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键． 【变式2】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+4的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值； （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）5；（3）当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2 【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可． 解：（1）m2+m+4＝（m+）2+， ∵（m+）2≥0， ∴（m+）2+≥， 则m2+m+4的最小值是； （2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5， ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+5≤5， 则4﹣x2+2x的最大值为5； （3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x， ∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50 ∵﹣2（x﹣5）2≤0， ∴﹣2（x﹣5）2+50≤50， ∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5， 则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2． 【点拨】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 类型三、配方法在几何中的应用 3．如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q． （1）写出点Q的坐标是________； （2）若把点Q向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的点落在第四象限，求的取值范围； （3）在（2）条件下，当取何值，代数式取得最小值. 【答案】（1）Q(-3，1)（2）a>3（3）0 【分析】(1)如图，作PA⊥x轴于A，QB⊥x轴于B，则∠PAO=∠OBQ=90°，证明△OBQ≌△PAO(AAS)，从而可得OB=PA，QB=OA，继而根据点P的坐标即可求得答案； (2)利用点平移的规律表示出Q′点的坐标，然后根据第四象限点的坐标特征得到a的不等式组，再解不等式即可； (3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，代入所求式子得 ，继而根据偶次方的非负性即可求得答案 . 解：(1)如图，作PM⊥x轴于A，QN⊥x轴于B，则∠PAO=∠OBQ=90°， ∴∠P+∠POA=90°， 由旋转的性质得：∠POQ=90°，OQ=OP， ∴∠QOB+∠POA=90°， ∴∠QOB=∠P， ∴△OBQ≌△PAO(AAS)， ∴OB=PA，QB=OA， ∵点P的坐标为(1，3)， ∴OB=PA=3，QB=OA=1， ∴点Q的坐标为(-3，1)； (2)把点Q(-3，1)向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后， 得到的点M的坐标为(-3+a，1-a)， 而M在第四象限， 所以， 解得a>3， 即a的范围为a>3； (3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a， ∴                        ， ∵， ∴当a=4时，代数式的最小值为0. 【点拨】本题考查了坐标与图形变换-旋转，象限内点的坐标特征，解不等式组，配方法在求最值中的应用等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键. 举一反三： 【变式1】 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10 ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0． ∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题： （1）已知：y＝x2﹣4x+7，求证：y是正数． 知识迁移： （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q均以同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值． 【答案】（1）见分析；（2）当t＝时，S有最大值． 【分析】（1）根据例题中的配方求最值； （2）根据三角形的面积公式求出S和t的关系式，再利用配方求最值． 解：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3 ＝（x﹣2）2+3． ∵（x﹣2）2≥0． ∴y≥0+3＝3． ∴y＞0． ∴y是正数． （2）由题意：AP＝2t，CQ＝t，PC＝6﹣2t．（0≤t≤） ∴S＝PC•CQ． ＝（6﹣2t）•t ＝﹣t2+3t ＝﹣（t2﹣3t） ＝﹣（t﹣）2+． ∵（t﹣）2≥0． ∴当t＝时，S有最大值． 【点拨】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键． 【变式2】 已知a、b是等腰△ABC的两边长，且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、b的值． 【答案】a=4，b=2． 【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性求出a、b，计算即可 解：a2+b2-8a-4b+20=0， a2-8a+16+b2-4b+4=0， (a-4)2+(b-2)2=0 a-4=0，b-2=0， a=4，b=2． 【点拨】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．