21.19 实际问题与一元二次方程（基础篇）（人教版）.docx

专题21.19 实际问题与一元二次方程（基础篇） （专项练习） 一、单选题 类型一、传播问题 1．台山某学校某个宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念，全宿舍共送56张照片，设该宿舍共有x名同学，根据题意，列出方程为（       ） A． B． C． D． 2．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为（　　） A．11只 B．12只 C．13只 D．14只 类型二、增长率问题 3．某企业去年的年产值为42亿元，预计今年比去年增长，假设明年的增长率与今年相同，则明年的年产值可表示为（   ）亿元. A．84x B．42(1+2x) C．42(1+x)2 D．42(1+x) 4．以2008年我国第一条设计时速350千米的京津城际铁路建成运营为标志，一大批高铁相继建成投产，“高铁里程世界第一”支撑起一个充满繁荣与发展活力的“流动中国”．据统计，从2019年至2021年我国高铁的运营总里程由3.5万千米增加到4万千米．设我国2019年至2021年高铁总里程的年平均增长率为，则可列方程为（       ） A． B． C． D． 类型三、与图形有关的问题 5．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（       ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数y＝2x+3的图像交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（） A． B．（-1，1） C．或（-1，1） D．不存在 类型四、数字问题 7．一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（       ） A． B． C． D． 8．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为(　　) A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225 C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225 类型五、营销问题 9．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（       ） A． B． C． D． 10．某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（       ） A．50 B．60 C．50或60 D．100 类型六、动态几何问题 11．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　　) A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．2s B．3s C．4s D．5s 类型七、其他问题 13．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（       ） A．6 B．5 C．4 D．3 14．中国——东盟博览会、商务与投资峰会期间，在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了450份合同．设共有x家公司参加商品交易会，根据题意，可列方程为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 类型一、传播问题 15．由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停.新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了__________人. 16．已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染_____个人． 类型二、增长率问题 17．某厂家2021年1～5月份的口罩产量统计图如图所示，3月份口罩产量不小心被墨汁覆盖，已知2月份到4月份该厂家每个月口罩产量的月增长率都相同，则3月份口罩产量为_______万只． 18．受益于电子商务的发展以及法治环境的改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”．2018年我国快递业务量为500亿件，2020年快递量预计将达到740亿件，若设快递量平均每年增长率为x，则所列方程为_________． 类型三、与图形有关的问题 19．要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米?设AB=x米，根据题意可列出方程的为_________． 20．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，设原正方形空地的边长为xm．则可列出的方程是______． 类型四、数字问题 21．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___． 22．两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．若设较小的偶数为x，列方程为______． 类型五、营销问题 23．某商店以30元的价格购进了一批服装，若按每件50元出售，一个月内可销售100件；当售价每提价1元时，其月销售量就减少5件．当利润达到1875元时，设售价提价x元，则可列方程为____________． 24．某商品进价为3元，当售价为x元时可销售商品（x＋3）个，此时获利160元，则该商品售价为____________元． 类型六、动态几何问题 25．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是． 26．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点从点C开始沿以的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是____． 类型七、其他问题 27．八年级的一个兴趣小组新成员见面时相互握手表示友好，共握了15次手，则该小组共有成员_______人． 28．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k=________． 三、解答题 29．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． (1)求出m的值； (2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 30．随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径，目前，数字阅读已经成为当下更环保、更年轻的阅读方式，2019年中国数字阅读市场规模为293亿元，2021年为421.92亿元． (1)求2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率； (2)预计2022年中国数字阅读市场规模是否可以达到510亿元？ 31．如图，在一块长为7米，宽为6米的长方形花坛里，栽种同样宽度的两条粉色花带，剩余部分栽种黄色花，要使栽种黄色花的面积为30平方米，求粉色花带的宽应为多少米？ 32．解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄． 33．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同． (1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价； (2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？ 34．如图，已知AB⊥BC，AB＝12 cm，BC＝8 cm．动点M从点A沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动，同时动点N从点C沿CB方向以1 cm/s的速度也向点B运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止．当△MNB的面积为24 cm2时，求它们运动的时间． 35．阅读下面内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为n（n－3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程n（n－3）＝20．解得n＝8或n＝－5（舍去），∴这个n边形是八边形．根据以上内容，问： (1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数； (2)小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？ 参考答案 1．B 【分析】 如果宿舍有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 解：∵宿舍有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=56． 故选 B． 【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算宿舍共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 2．B 【分析】 设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：x +1 +x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可． 解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）＝169， 整理，得x2+2x﹣168＝0， 解，得x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意舍去）． 答：设每只病鸡传染健康鸡12只． 故选：B． 【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解． 3．C 【分析】 根据等量关系：去年的年产值×（1+x）2=明年的年产值列出代数式即可． 解：明年的年产值可表示为42（1+x）2， 故选：C． 【点拨】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． 4．A 【分析】 先用表示出2020年我国高铁的运营总里程，再表示出2021年我国高铁的运营总里程，然后根据已知条件列方程即可． 解：2020年我国高铁的运营总里程：， 2021年我国高铁的运营总里程：， 根据题意，可列方程为：． 故选A． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关系． 5．D 【分析】 设它的宽为x步，则长为(60-x)步，根据面积列出方程即可得出结果． 解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步， ∴x(60-x)=864， 故选：D． 【点拨】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 6．C 【分析】 设，由题意可得，则，，列方程求解即可． 解：设， 由题意可得：， 点P在线段AB上（不与A，B重合），则 ∴，， 由题意可得：，即， 解得：或，均符合题意， 即，或 故选：C 【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是设点P坐标，根据题意列出方程． 7．C 【分析】 根据题意易得原两位数的十位数字为9-x，然后可根据题意进行列方程排除选项． 解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x，则有， ； 故选C． 【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 8．C 【分析】 最大数为x，则我们只需要将最小数用x表示出来即可列出方程． 解：∵最大数为x， ∴最小数用x表示为：x-16， ∴列方程为：x(x﹣16)=225， 故选：C 【点拨】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程． 9．B 【分析】 关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可． 解：设每件服装降价x元，根据题意，得： （44-x）（20+5x）=1600， 故选：B． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 10．B 【分析】 设每个定价为x元，则销售量为（700-10x）个，根据总利润=销售每个的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 解：设每个定价为x元，则销售量为180-10（x-52）=（700-10x）个， 依题意得：（x-40）（700-10x）=2000， 整理得：x2-110x+3000=0， 解得：x1=50，x2=60． 当x=50时，700-10x=200＞180，不合题意，舍去； 当x=60时，700-10x=100，符合题意． 答：每个定价为60元． 故选：B． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．D 解：设x秒后，螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x, 由题意知(10－2x)(8－x)＝24, (10－2x)(8－x)＝48,选D. 12．B 【分析】 设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为， 则BP为（4﹣t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， ×（4﹣t）×t＝， 解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为． 故选B． 【点拨】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 13．C 【分析】 设九年级共有x个班，根据“每两班之间都进行两场比赛，且共需安排12场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出九年级的班级数． 解：设九年级共有x个班， 依题意得：   x（x-1）=12， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故选：C． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．D 【分析】 每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签(x－1) 份合同，然后根据题意即可列出方程． 解：设有x家公司参加， 由题意得：． 故选：D． 【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确甲、乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点(没有三点共线)之间连线，所有线段的条数． 15．10 【分析】 设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 即每轮传染中平均每个人传染了10人． 故答案为：10． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 16．5 【分析】 设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 解：设每个人传染x人，根据题意列方程得， 3（x+1）2=108， 解得：x1=5，x2=8（不合题意，舍去）， 故答案为：5． 【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系：1个人传染x人，n轮共传染（x+1）n人． 17．240 【分析】 设2月份到4月份的增长率为x，利用2月份的口罩数量月份的口罩数量，列方程求出x的值，然后求出3月份口罩产量； 解：设2月份到4月份的增长率为x，根据题意得 ， 解得：（舍去）， ∴3月份口罩产量为万只， 故答案为：． 【点拨】本题考查折线统计图，一元二次方程的实际应用-百分率问题，解题关键正确理解题意． 18． 【分析】 设快递量平均每年增长率为x，根据“2018年我国快递业务量为500亿件，2020年快递量预计将达到740亿件”，即可得到关于x的一元二次方程． 解：由题意可列方程： 故答案为：． 【点拨】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准数量关系是解题的关键． 19．x（100-4x）=400 【分析】 由题意，得BC的长为（100-4x）米，根据矩形面积列方程即可. 解：设AB为x米，则BC的长为（100-4x）米 由题意，得x（100-4x）=400 故答案为：x（100-4x）=400. 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际问题，解决问题的关键是通过图形找到对应关系量，根据等量关系式列方程. 20． 【分析】 可设原正方形的边长为m，则剩余的空地长为m，宽为m．根据长方形的面积公式列出方程即可． 解：设原正方形空地的边长为xm，根据题意，得： ． 故答案为． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式，另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键． 21．84 【分析】 等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可． 解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为： x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 解得：x1＝8，x2＝1.5（舍）， ∴x﹣4＝4， ∴10x+（x﹣4）＝84． 答：这个两位数为84． 故答案为：84 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 22． 【分析】 设较小的偶数为x，则较大的偶数是(x+2)，列方程即可． 解：设较小的偶数为x，则较大的偶数是(x+2)， ∵两个相邻偶数的积是168， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，表示出较大的相邻偶数是解题的关键． 23．5x2-125=0 【分析】 根据“每月售出服装的利润=每件的利润×每周的销售量”可得1875=(50+x-30)(100-5x)，然后整理即可解答． 解：根据题意得出： 1875=(50+x−30)（100-5x） 整理得：5x2-125=0 故答案为：5x2-125=0． 【点拨】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，理解每件利润以及其销量是解答本题的关键． 24．13 【分析】 由题意直接根据“获利是160元”，即销售商品的个数×每件的盈利=获利，可列出方程，解方程即可求解． 解：根据题意得（x-3）（x+3）=160 解方程得x=13或x=-13（负值舍去） 所以该商品的售价为13元． 故答案为：13． 【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 25．2或3##3或2 【分析】 设t秒后的面积是，则，，列方程即可求解． 解：设运动时间为秒，则，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 26． 【分析】 设当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ，根据题意得： ， ，从而得到，再由 ，可得到关于 的方程，即可求解． 解：设当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ， 根据题意得： ， ， ∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵△PCQ的面积等于450m2， ∴ ， 解得： ， ∵点从点C开始沿以的速度移动， ∴ ， ∴ ， 即当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ． 故答案为： 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，得到关于 的方程是解题的关键． 27．6 【分析】 设八年级的一个兴趣小组一共有x个人，则一共握手的次数为，得到方程即可解决问题. 解：设八年级的一个兴趣小组一共有x个人，根据题意得： ， 解得x1=-5（舍去），x2=6， 答：这个兴趣小组一共有6人. 【点拨】本题考查列一元二次方程解决实际问题，解决问题的关键是确定满足题意的等量关系. 28．2 【分析】 先根据正比例函数的图象可得，再将点代入函数的解析式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 由题意，将点代入函数得：， 解得或（舍去）， 故答案为：2． 【点拨】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键． 29．(1)10 (2)所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为 【分析】 （1）根据“每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121