第二次月考卷（1）-2020-2021学年九年级数学上学期检测卷（月考+期中+期末）（人教版）（解析版）.docx

绝密★启用前 九年级上学期第二次月考模拟试卷（一） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 卷I（选择题） 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）   1. 抛物线y=3(x+2)2−5的顶点坐标是(        ) A.(−2,5) B.(−2,−5) C.(2,5) D.(2,−5) 【答案】B 【解答】解：抛物线y=3(x+2)2−5为顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(−2,−5)．故选B. 2. 如图，菱形OABC的边长为4，且点A，B，C在⊙O上，则劣弧BC的长度为(        ) A.π3 B.2π3 C.8π3 D.4π3 【答案D 【解答】解：如图所示，连接OB. ∵ 四边形OABC是菱形，∴ OC=BC=AB=OA=4， ∴ OC=OB=BC，∴ △OBC是等边三角形，∴ ∠COB=60∘， ∴ 劣弧BC的长为nπr180∘=60∘×4π180∘=43π.故选D．  3. 若抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=−2，则ab=(        ) A.2 B.12 C.4 D.14 【答案】D 【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=−2， ∴ −b2a=−2，∴ ba=4，∴ ab=14.故选D． 4. 下列命题中正确的有(        ) ①圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；②直径是弦，半圆是弧；③平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧；④相等的弧所对的弦相等；⑤一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧；⑥相等的圆心角所对的弧相等． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解答】解：①根据圆是轴对称图形可知，对称轴是圆的每一条直径所在直线，此命题错误 ； ②弦是连接圆上两点的线段，只有过圆心的弦才是直径，在圆中直径是经过圆心最长的弦，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧，此命题正确； ③由垂径定理推论可知：平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧，此命题正确； ④在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，此命题错误； ⑤一条弦把圆分成的两段弧中，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，若分成的两段一样长，则就没有优劣弧之分，此命题错误； ⑥在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，此命题错误. 综上所述，正确的有②③，共2个.故选B. 5. 把y=x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的解析式为（ ） A.y=(x−3)2+2 B.y=(x−3)2−2 C.y=(x+3)2+2 D.y=(x+3)2−2 【答案】A 【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为(0, 0)，把点(0, 0)向右平移3个单位，再向上平移2个单位所得对应点的坐标为(3, 2)， 所以平移后抛物线的解析式为y=(x−3)2+2．故选A. 6. 商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是(        ) A.抽10次奖必有一次抽到一等奖 B.抽10次也可能没有抽到一等奖 C.抽一次不可能抽到一等奖 D.抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【答案】B 【解答】解：根据概率的意义可得， “抽到一等奖的概率为0.1”，就是说抽到一等奖的可能性较小， 同时抽10次或抽1次都可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖， 所以B选项符合题意.故选B. 7. 如图，⊙O和⊙O'相交于A、B两点，且OO'＝5，OA＝3，O'B＝4，则AB＝（ ） A.5 B.2.4 C.2.5 D.4.8 【答案】D 【解答】∵ OO'＝5，OA＝3，O'B＝4，∴ OO'2＝OA2+O'B2， ∴ △AOO'是直角三角形， ∵ ⊙O和⊙O'相交于A、B两点，∴ AB⊥OO'，∴ AE＝BE， ∵ 12AO×AO'=12×AE×OO'，∴ 12×3×4=12×AE×5， 解得：AE＝2.4，∴ AB＝4.8．   8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=115∘ ，则∠BOD的度数为(        ) A.140∘ B.130∘ C.120∘ D.110∘ 【答案】B 【解答】解：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠A+∠C=180∘. ∵ ∠A=115∘，∴ ∠C=65∘，∴ ∠BOD=2∠C=130∘.故选B. 9. 如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB//CD//EF. AB=10，CD=6，EF=8，则图中阴影部分（不包括弦BF与劣弧BF围成的部分）面积等于(        ) A.10π B.12π C.25π2 D.15π 【答案】C 【解答】解：连接DO并延长，交⊙O于点G，则∠DCG=90∘， ∵ AB=10，CD=6，EF=8 ，∴ DG=10， ∴ CG=GD2−CD2=8，∴ CG=EF. 连接OC，OE，OF， ∵ △OEF的面积和△BEF的面积相等， ∴ 阴影部分BEF的面积和扇形OEF的面积相等， 同理，阴影部分ACD的面积和扇形COD的面积相等. ∵ CG=EF，∴ 扇形OCG的面积和扇形OEF的面积相等， ∴ 阴影部分的面积等于⊙O面积的一半. ∵ AB=10，∴ OA=5， ∴ 阴影部分的面积是π×52×12=25π2.故选C． 10. 如图，在一块长为20，宽为12的矩形ABCD 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40，设道路宽为x，则以下方程正确的是(        ) A.32x+4x2=40 B.32x+8x2=40 C.64x−4x2=40 D.64x−8x2=40 【答案】B 【解答】解：设道路宽为x， 则中间正方形的边长为4x， 依题意，得：x (20+4x+12+4x)=40，即32x+8x2=40.故选B． 11. 如图1、2、3中，点E、D分别是正△ABC、正方形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于P点，∠APD的度数分别为60∘，90∘，108∘．若其余条件不变，在正九边形ABCFGHIMN中，∠APD的度数是（ ） A.120∘ B.135∘ C.140∘ D.144∘ 【答案】C 【解答】正△ABC时，∠APD＝∠ABC=(3−2)×1803=60∘， 正方形ABCM时，∠APD＝∠ABC=(4−2)×1804=90∘， 正五边形时，∠APD＝∠ABC=(5−2)×1805=108∘， 正六边形时，∠APD＝∠ABC=(6−2)×1806=120∘， 依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC=(n−2)×180n． 当n＝9时，∠APD＝∠ABC=(9−2)×1809=140∘，   12. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=−1是对称轴，有下列判断： ①b−2a=0；②4a−2b+c<0；③a−b+c=−9a；④若(−3, y1)，(32, y2)是抛物线上两点，则y1>y2，其中正确的是(        ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】C 【解答】解：∵ 抛物线的对称轴是直线x=−1，∴ −b2a=−1，b=2a， ∴ b−2a=0，故①正确； ∵ 抛物线的对称轴是直线x=−1，和x轴的一个交点是(2, 0)， ∴ 抛物线和x轴的另一个交点是(−4, 0)， ∴ 把x=−2代入得：y=4a−2b+c>0，故②错误； ∵ 图象过点(2, 0)， 代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0， 又∵ b=2a，∴ c=−4a−2b=−8a， ∴ a−b+c=a−2a−8a=−9a，故③正确； 根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵抛物线和x轴的交点坐标是(2, 0)和(−4, 0)，抛物线的对称轴是直线x=−1， ∴ 点(−3, y1)关于对称轴的对称点的坐标是(1, y1)， ∵ 1<32，∴ y1>y2，故④正确；即正确的有①③④.故选C． 卷II（非选择题） 二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 13. 若关于x的一元二次方程x2−2x+a−1=0有实数根，则a的取值范围是________． 【答案】a≤2 【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2−2x+a−1=0有实数根， ∴ Δ≥0，即(−2)2−4(a−1)≥0，解得a≤2.故答案为：a≤2.   14. 已知一元二次方程x2−3x−1=0的两个根分别是x1，x2，则x12x2+x1x22的值是________. 【答案】−3 【解答】解：∵ 一元二次方程x2−3x−1=0的两个根分别是x1，x2， ∴ x1+x2=3，x1⋅x2=−1， ∴ x12x2+x1x22=x1x2⋅(x1+x2)=−1×3=−3．故答案为：−3.   15. 如图，已知AD为半圆形O的直径，点B，C在半圆形上，AB=BC，∠BAC=30∘，AD=8，则AC的长为________. 【答案】43 【解答】解：如图，连接CD. ∵ AB=BC，∠BAC=30∘，∴ ∠ACB=∠BAC=30∘， ∴ ∠B=180∘−∠ACB−∠BAC=180∘−30∘−30∘=120∘， ∴ ∠D=180∘−∠B=60∘. ∵ AD是半圆O的直径，∴ ∠ACD=90∘，∴ ∠CAD=30∘. ∵ AD=8，∴ CD=12AD=4， 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘， ∴  AC=AD2−CD2=82−42=43.故答案为：43． 16. 如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面宽度增加________米． 【答案】(42−4) 【解答】解：建立如下图所示平面直角坐标系， 可设这条抛物线为y=ax2， 把2,−2代入上式得，−2=a×22解得：a=−12，∴ y=−12x2， 当y=−4时，−12x2=−4，解得：x1=−22，x2=22， 水面下降2m，水面宽度为42m， ∴ 水面宽度将增加42−4米·故答案为：42−4. 17. 如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI的长是________． 【答案】43 【解答】解：∵ △ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，∴ HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4， ∴ ABBI=24=12，BCAB=12，∴ ABBI=BCAB. 又∵ ∠ABI=∠ABC，∴ △ABI∼△CBA，∴ ACAI=ABBI， ∵ AB=AC，∴ AI=BI=4. ∵ ∠ACB=∠FGE，∴ AC // FG，∴ QIAI=GICI=13，∴ QI=13AI=43． 故答案为：43. 18. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为1,0，点D的坐标为 0,2 .延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C; 延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，⋯按这样的规律进行下去，则正方形A20B20C20C19的面积为________. 【答案】5×(94)20 【解答】解：∵点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)， ∴OA=1，OD=2， ∵∠AOD=90∘，∴AB=AD=12+22=5，∠ODA+∠OAD=90∘. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠ABC=90∘，S正方形ABCD=(5)2=5， ∴∠ABA1=90∘，∠OAD+∠BAA1=90∘，∴∠ODA=∠BAA1， ∴△ABA1∼△DOA，∴BA1OA=ABOD，即BA11=52，∴BA1=52，∴CA1=352， ∴正方形A1B1C1C的面积=(352)2=5×94，⋯， 正方形AnBnCnCn−1的面积为5×(94)n， ∴正方形A20B20C20C19的面积为5×(94)20.故答案为：5×(94)20. 三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计66分 ） 19.（本题满分6分） 解方程 (1)3x2−6x+4=0； (2)x−2x−3=12. 【答案】解：(1)在方程3x2−6x+4=0中， ∵a=3，b=−6，c=4， ∴Δ=b2−4ac=(−6)2−4×3×4=36−48=−12<0， ∴原方程没有实数根. (2)去括号，移项得x2−3x−2x+6−12=0， 合并同类项得x2−5x−6=0， 则(x−6)(x+1)=0， 即x−6=0，x+1=0， 解得x1=6，x2=−1. 20.（本题满分6分） 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为(0, 0)，A(2, 1)，B(1, −2)． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍得到的△OA1B1， 请写出点A的对应点A1的坐标________； (2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2， 写出点B的对应点B2的坐标________； (3)请在图中标出△OA1B1与△O2A2B2的位似中心M，并写出点M的坐标________． 【解答】解：(1)如图，△OA1B1为所作，点A1的坐标为(4, 2). 故答案为：A1(4, 2). (2)如图，△O2A2B2为所作，点B2的坐标分别为(−1, −1). 故答案为：B2(−1, −1). (3)如图，点M为所，位似中心M的坐标为M(4, 2)． 故答案为：M(4, 2). 21.（本题满分8分）某中学九年级开展了“读一本好书”的活动，通过抽样对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)计算：m=________； (2)在扇形统计图中，“戏剧”类所占的百分比为________； (3)在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率． 【解答】解：(1)因为喜欢散文的有10人，频率为0.25， 所以m=10÷0.25=40.故答案为：40. (2)因为喜欢戏剧的有4人， 所以“戏剧”类所占的百分比为440×100%=10%.故答案为：10%. (3)由于抽到每位同学的可能性相同， 所以画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有12种，其中恰好是乙与丙的情况有2种， 则选取的2人恰好是乙和丙的概率为P=212=16． 22.（本题满分8分） 如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点． （1）求证：四边形AECG是平行四边形； （2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长． 【解答】 （1）证明：在矩形ABCD中， AD1BC ．∠DAC=∠BCA 由题意，得△GAH=12∠DAC,∠ECF=12∠BCA … ．AGIICE． 又：AElICG， …四边形AECG是平行四边形． （2）在R△ABC中，AB=4,BC=3；AC=5；CF=CB=3；AF=2 在RtΔAF中， 设EF=x，则AE=4−x 根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2；即4−x2=22+x2 解得x=32，即线段EF长为32cm 23. （本题满分8分）西安市某学校的数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为37∘，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45∘，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上，无人机大小忽略不计．参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75） 【解答】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F， 由题意得，AB＝57，DE＝30，∠DAB＝37∘，∠DCF＝45∘， 在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，∴ AE=DEtan∠DAE≈300.75=40， ∵ AB＝57，∴ BE＝AB−AE＝17， ∵ CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，∴ 四边形BCFE为矩形， ∴ CF＝BE＝17，在Rt△DFC中，∠CDF＝45∘， ∴ DF＝CF＝17，∴ BC＝EF＝DE−DF＝13，   24. （本题满分10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x(x>0)，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W（元），并把结果填写在表格中： 销售单价（元） 40+x 销售量y（件） ________ 销售玩具获得利润W（元）________​2+500________+6000 （2）在（1）问的条件下，若商场获得10000元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？ （3）在（1）问的条件下，若商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【解答】由题意得，销售量为：y＝600−10x， 销售玩具获得利润为：W＝(40+x−30)(600−10x)＝−10x2+500x+6000； 故答案为：600−10x，−10x2+500x+6000； 由题意得：−10x2+500x+6000＝10000， 解得：x1＝10，x2＝40． ∴ 该玩具销售单价应定为50元或80元； 答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润； 销售单价为在40元的基础上上涨x， 根据题意得：600−10x≥540，解得x≤6，故0<x≤6， W＝−10x2+500x+6000＝−10(x−25)2+12250， ∵ a＝−10<0，对称轴x＝25， ∴ 当0<x≤6时，y随x增大而增大， ∴ 当x＝6（元）时，W最大值＝8640（元）， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 25. （本题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是AB的中点． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：CD⋅DE＝2OD⋅PD； （3）若AB＝8，CD⋅DE＝15，求PA的长． 【答案】证明：连接OC，OE，∵ OC＝OE，∴ ∠E＝∠OCE， ∵ E是AB的中点，∴ AE=BE，∴ ∠AOE＝∠BOE＝90∘， ∴ ∠E+∠ODE＝90∘， ∵ PC＝PD，∴ ∠PCD＝∠PDC， ∵ ∠PDC＝∠ODE，∴ ∠PCD＝∠ODE， ∴ ∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90∘，∴ OC⊥PC， ∴ PC是⊙O的切线； 证明：连接AC，BE，BC， ∵ ∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴ △ACD∽△EBD，∴ ADDE=CDBD， ∴ CD⋅DE＝AD⋅BD＝(AO−OD)(AO+OD)＝AO2−OD2； ∵ AB为⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90∘， ∵ ∠PCO＝90∘，∴ ∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90∘， ∴ ∠ACP＝∠BCO， ∵ ∠BCO＝∠CBO，∴ ∠ACP＝∠PBC， ∵ ∠P＝∠P，∴ △ACP∽△CBP，∴ PCPB=PAPC， ∴ PC2＝PB⋅PA＝(PD+DB)(PD−AD)＝(PD+OD+OA)(PD+OD−OA)＝(PD+OD)2−OA2＝PD2+2PD⋅OD+OD2−OA2， ∵ PC＝PD，∴ PD2＝PD2+2PD⋅OD+OD2−OA2， ∴ OA2−OD2＝2OD⋅PD，∴ CD⋅DE＝2OD⋅PD； ∵ AB＝8，∴ OA＝4， 由（2）知，CD⋅DE＝AO2−OD2； ∵ CD⋅DE＝15，∴ 15＝42−OD2，∴ OD＝1（负值舍去）， ∴ AD＝3， 由（2）知，CD⋅DE＝2OD⋅PD， ∴ PD=CD⋅DE20D=152，∴ PA＝PD−AD=92． 26. （本题满分10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A(−3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为 D． （1）求a、b之间的数量关系； （2）求S△ADC:S△ABC的值； （3）以OA为直径作⊙E，若∠ACD＝90∘，问：在y轴左侧的抛物线上是否存在点P，过点P作x轴的平行线与⊙E交于点M、N（M在N的左侧），与抛物线交于另一点Q，使得PM+QN＝MN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】∵ 抛物线y＝ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A(−3, 0)、B(1, 0)两点， ∴ 9a−3b+c=0a+b+c=0 ，解得：b＝2a， ∴ a、b之间的数量关系为b＝2a． ∵ 抛物线y＝ax2+bx+c(a>0)与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且b＝2a，a+b+c＝0，∴ 3a+c＝0，即c＝−3a．∴ C(0, −3a)， ∴ 抛物线的解析式为y＝ax2+2ax−3a＝a(x+1)2−4a，∴ D(−1, −4a)， ∵ A(−3, 0)、B(1, 0)，∴ AB＝4，∴ S△ABC=12AB⋅OC=12×4×3a＝6a． 如图1，连接OD， ∵ S△ADC＝S△OAD+S△OCD−S△OAC， ∴ S△ADC=12×3×4a+12×3a×1−12×3×3a＝3a．∴ S△ADC:S△ABC＝1:2． 如图2，过点D作DH⊥y轴于点H， ∵ ∠ACD＝90∘，∴ ∠ACO+∠DCH＝90∘， ∵ ∠ACO+∠CAO＝90∘，∴ ∠DCH＝∠CAO， ∵ ∠AOC＝∠DHC＝90∘，∴ △OAC∽△HCD，∴ OACH=OCDH， 由（2）可知，OC＝3a，CH＝4a−3a＝a，DH＝1，∴ 3a=3a1， 解得a＝1或a＝−1（舍去）， ∴ 抛物线的解析式为y＝x2+2x−3