22.38 《二次函数》全章复习与巩固（培优篇）（人教版）.docx

专题22.38 《二次函数》全章复习与巩固（培优篇） （专项练习） 一、单选题 1．已知函数y=（m2+m）+mx+4为二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m ≠-1 C．m≠0，且m≠-1 D．m=-1 2．如图，函数y =-2x2 的图象是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 3．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是(　　) A．B．C． D． 4．抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y1)，(0，y2)， (，y3)三点，则大小关系是(       ) A． B． C． D． 5．已知函数和是关于x的函数，点在函数的图象上，点在函数的图象上，规定：当时，有，那么称函数和具有“性质O”，则下列函数具有“性质O”的是（       ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．已知抛物线（）经过，，三点，若，且，则，，的大小关系是（       ） A． B． C． D． 7．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＝y2；④4a+2b+c＜0，其中正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（       ） 消毒液 每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶） 30 18 1200＋0.02x2 250 A．250 B．300 C．200 D．550 10．如图，正三角形ABC和正三角形ECD的边BC，CD在同一条直线上，将△ABC向右平移，直到点B与点D重合为止，设点B平移的距离为x，BC＝2，CD＝4．两个三角形重合部分的面积为Y，现有一正方形FGHT的面积为S，已知＝sin60°，则S关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 11．如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 12．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是__________. 13．如图，抛物线与过点（0，-3）且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若 为直角，则a=_______ 14．如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）． （1）当的面积最大时，的大小为______ ． （2）等边的边长为______ ． 15．已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为_______． 16．如图，等腰的三个顶点分别在等边的三条边上，，已知，则面积的最小值是___________． 17．已知抛物线经过点，且与轴交于，两点，若点为该抛物线的顶点，则当面积最小时，抛物线的解析式为______． 18．若二次函数（a，m，b均为常数，）的图像与轴两个交点的坐标是和，则方程的解是____________． 19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为______． 20．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为__________． 21．如图，正方形的一个顶点与原点重合，与轴的正半轴的夹角为15°，点在抛物线的图象上，则的长为______． 22．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2-a）和点B（0，-3a-5）在y轴上，点M在x轴负半轴上，S△ABM=6．当线段OM最长时，点M的坐标为______． 23．如图，在等边三角形中，是线段上一点，以为边在右侧作等边三角形，连结． （1）若时， _________ （2）设，当的面积最大时，__________． 三、解答题 24．已知抛物线：与轴交于、两点与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，的顶点为，点为上的一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 25．如图，抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B． (1)求m和n的值； (2)求点B的坐标； (3)结合图象请直接写出不等式的解集； (4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围． 26．某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式： 方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩． 方式二   每亩土地的年租金是600元． (1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元； (2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？ (3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围． （注：年收入＝年总租金－捐款数） 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和B（点B在A的右侧），与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接AP，与y轴交于点D，连接BD，当时，求点P的坐标； (3)连接OP，与线段BC交于点E，点Q是x轴正半轴上一点，且，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 参考答案 1．C 解：由y=（m2+m）+mx+4为二次函数，得m2+m≠0，解得m≠0，m≠-1， 故选C． 【点拨】此题主要考查了二次函数的概念，明确形如y=a+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，是解题关键. 2．C 解：根据二次函数解析式可知a=-2＜0，函数的图象开口向下，且经过原点， 当x=1时，y=-2， 因此可知其图象为③.， 故选：C. 【点拨】此题主要考查了二次函数y=ax2的图象与性质，解题关键是根据函数的系数a判断其方向，然后根据个别特殊点的坐标确定其位置. 3．A 【分析】 由二次函数y＝x2+k得抛物线开口向上，排除B；根据一次函数y＝﹣kx+2，得直线与y轴的正半轴相交，排除D；根据A、C可知，k＜0，故选A. 解：由二次函数y＝x2+k得抛物线开口向上，排除B； 根据一次函数y＝﹣kx+2，得直线与y轴的正半轴相交，交点为(0，2)，排除D； 根据A、C可知，抛物线交y轴于负半轴，所以k＜0，故选A. 【点拨】本题为判断一次函数与二次函数图象问题，关键是明确各个系数与二次函数与一次函数图象的关系. 4．D 【分析】 由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出(，y3) 直线x=1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题． 解：∵y=2(x-1)2+c，2>0， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小；(，y3)关于直线x=1的对称点是(，y3)， ∵-2<<0<1 ∴y1＞y3＞y2， 故选D． 【点拨】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答． 5．C 【分析】 将点代入函数，点代入函数，根据当时，有，可得一元二次方程，利用判断方程是否有解，即可求解． 解：将点代入可得： 将点代入可得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴方程无解，故A选项不符合题意 将点代入可得： 将点代入可得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴方程无解，故B选项不符合题意 将点代入可得： 将点代入可得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴方程有解，故C选项不符合题意 将点代入可得： 将点代入可得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴方程无解，故D选项不符合题意 故选C． 【点拨】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用根的判别式判断方程是否有解，从而达到解决问题的目的． 6．C 【分析】 先求出抛物线的对称轴，再根据，可知抛物线对称轴为x=m，即M点是抛物线的顶点，再根据m＜1，结合和的横坐标，可知点P距离对称轴x=m更近，Q点距离对称轴x=m更远，再根据a＜0，抛物线开口朝下，即可判断． 解：由可知抛物线的对称轴为， ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为，即M点是抛物线的顶点， ∵m＜1， ∴， ∴可知点P距离对称轴x=m更近，点Q距离对称轴x=m更远， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴越接近对称轴的点其函数值越大，且此时函数有最大值，最大值为， ∴， 当m=-1时，即有， ∴综上有：， 故选：C． 【点拨】本题考查了抛物线图像的特征与系数之间的关系、抛物线对称轴的性质，对于开口向下的抛物线，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，理解这一点是解答本题的关键． 7．C 【分析】 根据题意和函数图象，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 解：由图象可得， ，，，则，故①正确； ∵该函数的对称轴是 ， ∴，得 ，故②正确； ∵，， ∴若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则，故③正确； ∵该函数的对称轴是，过点（﹣3，0）， ∴和时的函数值相等，都大于0， ∴，故④错误； 故正确是①②③， 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 8．D 【分析】 ①根据图象开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负；②根据对称轴公式，判断之间的关系；③根据时，，比较与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可；⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论；⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标即可得到结论． 解：①∵抛物线图象开口朝上， ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②错误； ∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方， ∴c<0， ，故①正确； ③经过， 又由①得c<0，， ，故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等， 当时，即 ， 即， 经过，即经过，故④正确； ⑤当时，，当时，， ， 函数有最小值， ， ∴， ∴，故⑤正确； ⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确； 综上所述：①③④⑤⑥正确． 故选D． 【点拨】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图像逐项分析，结已知条件得出结论是解题的关键． 9．D 【分析】 根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函数的最值问题即可求解 ． 解：根据题意，得 ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下，有最大值， 又∵， ∴当时，， 故选：D 【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 10．A 【分析】 根据题意由＝sin60°，得：S＝，分段讨论函数图象，根据等边三角形的性质求得，进而根据二次函数图象的性质求解即可 解：由＝sin60°，得：S＝ ①当0≤x≤2时， 则两个三角形重合部分为边长为x的正三角形， 则Y＝x2， 故S＝＝×x2＝x2， 则该函数为开口向上的抛物线，当x＝2时，S＝x2＝2； ②当2＜x＜4时， 此时则两个三角形重合部分为边长为2的正三角形， 故S＝2； ③当4≤x≤6时， 同理可得：S＝（6﹣x）2， 则该函数为开口向上的抛物线， 当x＝4时，S＝（6﹣x）2＝2，当x＝6时，S＝0； 故选：A． 【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质和特殊角的三角函数值，根据题意分三段列出函数解析式是解题的关键． 11．B 【分析】 依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可 解：①从图像观察，开口朝上，所以， 对称轴在轴右侧，所以， 图像与轴交点在x轴下方，所以 ，所以①不正确； ②点和点，与轴的负半轴交于点，且 设代入,得： ，所以②正确； ③， 设抛物线解析式为：过 ，所以③正确； ④如图：设交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D， 根据抛物线的对称性， 是等腰直角三角形， ， ， 又对称轴 由顶点坐标公式可知 由题意，解得 或者 由①知，所以④不正确． 综上所述：②③正确共2个 故选B． 【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数（a≠0），a的符号由抛物线的开口决定；b的符号由a及对称轴的位置确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键． 12． 【分析】 将点代入，得，再将x与y的对应关系代入函数解析式得到不等式组，解不等式组即可求得k的取值范围. 解：将点代入， 得36a+k=2， ∴， 当时，当时得， 解得， ∴， 故填. 【点拨】此题考查二次函数的性质，将点的横纵坐标代入函数解析式即可得到对应的不等式组，注意将点代入，得36a+k=2是解题的关键，可将不等式组中的a用含k的代数式表示，解不等式组即可求解. 13． 【分析】 直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3），利用二次函数的性质得到C（0，1），再证明△ABC为等腰直角三角形得到CD=AD=BD=4，所以B（4，-3），然后把B点坐标代入y=ax2+1即可得到a的值． 解：直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3）， ∵C（0，1）， ∴CD=4， ∵AB过点（0，-3）且平行于x轴， ∴△ABC为等腰三角形， ∵∠ACB=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴CD=AD=BD=4， ∴B（4，-3）， 把B（4，-3）代入y=ax2+1得16a+1=-3，解得a=-． 故答案为-． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质． 14．          【分析】 （1）过点F作FD⊥BC于点D，由已知先证≌，得，，进可得∠FCD的度数，所以可求得FD，设等边△ABC的边长为a，则可把△ECF的面积表示出来，并求出面积的最大值，此时便可求得∠FEC的度数； （2）由图知△ECF的最大值，由（1）中计算知道它的面积的最大值，则两者相等，可求得等边△ABC的边长． 解：过F作，交BC的延长线于D，如图： 为等边三角形，为等边三角形， ，，， ， ≌， ，， ， ，， ， 设等边边长是a，则， ， 当时，有最大值为， (1)当的面积最大时，，即E是BC的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）当时，有最大值为， 由图可知最大值是， ，解得或边长，舍去， 等边的边长为， 故答案为：． 【点拨】本题考查等边三角形及二次函数知识，解题关键是证明由≌，用x的代数式表示的面积． 15．或7##7或-1 【分析】 对对称轴的位置进行分类讨论，再根据最小值求出m的值即可． 解：当m<2时，二次函数在x=2时取得最小值， 所以，解得，（舍）； 当时，二次函数在x=m时取得最小值， ∴所以，该方程无解； 当m>4时，二次函数在x=4时取得最小值， 所以，解得，（舍）； 故答案为：或7． 【点拨】本题考查二次函数的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，同时注意分类讨论思想的使用． 16． 【分析】 过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，则，设，用x、y表示出AB的长度即可得到x、y的关系式，最后根据求最值即可． 解：过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，设， ∵等腰 ∴（AAS） ∴ ∵等边 ∴ ∴ ∵ ∴ 即 整理得 ∴ ∴ ∴当时，最小． 故答案为：． 【点拨】本题综合考查全等三角形中的一线三垂直模型、等边三角形的性质、二次函数最值，利用二次函数来求最值是解题的关键． 17．y=x2-4x+3 【分析】 A、B两点在x轴上，用|AB|=|a-b|表示线段AB的长，由两根关系转化为m、n的表达式，根据顶点坐标公式得P（），故有，将点（2，-1）代入解析式得4+2m+n=-1，即n=-2m-5转化为关于m的二次函数，求面积最小时m、n的值． 解：由题意知4+2m+n=-1，即n=-2m-5， ∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x2+mx+n上， ∴a+b=-m，ab=n， 又 ∵n=-2m-5， ∴ ∴，P点纵坐标为， ∴， 所以，当m=-4时，S△PAB最小，此时， 此时，该抛物线解析式为y=x2-4x+3． 故答案是：y=x2-4x+3 【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征以及求三角形的面积问题，将原题转化为二次函数最值问题是解答的基本思路． 18．， 【分析】 根据抛物线y=a（x+m）2+b与x轴的两交点为（-2，0），（1，0），得出方程a（x+m）2+b=0的解，然后根据方程a（x+m）2+b=0的解与a（x+m+2）2+b=0的解的关系得出答案即可． 解：∵抛物线y=a（x+m）2+b与x轴的两交点为（-2，0），（1，0）， ∴方程a（x+m）2+b=0的解为x1=-2，x2=1， ∴方程a（x+m+2）2+b=0中，x+2=-2或x+2=1， ∴方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1． 故答案为：x1=-4，x2=-1． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点坐标与对应的一元二次方程的关系是解题的关键． 19．（2，0） 【分析】 根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标． 解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4， ∴该抛物线的对称轴是直线x，点D的坐标为（0，4）， ∴OD＝4， ∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D， ∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上， ∴CD∥AB，即CD∥x轴， ∴CD2＝5， ∴AD＝5， ∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5， ∴AO3， ∵AB＝5， ∴OB＝5﹣3＝2， ∴点B的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 20．##1.5 【分析】 设，则，过点D作 PQ∥EF交CE于Q，GF于P，证明四边形EQPF是矩形，得到EC=EF=PQ，即可推出，从而得到，由此利用二次函数的性质求解即可． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CDE=90°， 设，则， 过点D作 PQ∥EF交CE于Q，GF于P， ∵四边形CEFG是正方形， ∴∠QEF=∠EFP=90°，EF=EC=FG， ∴∠EQP=90°， ∴四边形EQPF是矩形， ∴EC=EF=PQ， ∴ ， ， 当时，面积的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 21． 【分析】 连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC＝45°，过点B作BD⊥y轴于D，然后求出∠BOD＝60°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OD＝OB，设OD=x，再利用勾股定理列式求出BD，从而表示点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可． 解：如图，连接OB， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠BOC＝45°， 过点B作BD⊥y轴于D， ∵OC与y轴正半轴的夹角为15°， ∴∠BOD＝45°+15°＝60°， ∴∠OBD＝30°， ∴OD＝OB，设OD=x， ∴， ∴点B的坐标为（，x）， ∵点B在抛物线y＝x2的图象上， ∴（）2＝x， 解得x＝1． ∴OB=2,设AO=AB=a， 2a2=4， ∵a>0，解得a=， 故答案为：． 【点拨】本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出OB与x轴的夹角为30°，然后表示点B的坐标是解题的关键． 22．（-3，0） 【分析】 根据A、B点坐标求出AB的长，然后根据三角形面积公式求解出S△ABM的高即OM的长，然后确定AB的最小值时对应的OM长即可确定M点坐标． 解：由题意得： ∵ ∴，即 ∴当OM最长，即AB最小时对应的OM即为所求 令 ∵ ∴当时，t取得最小值为4, ∴OM=3 ∴M点坐标为 故答案为． 【点拨】本题考查了二次函数的最值，利用二次函数的性质进行求解是本题的关键． 23．     4.     3. 【分析】 （1）根据△ADE与△ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明△CAE≌△BAD，再根据全等三角形的性质即可求解； （2）作于F，先求出∠CEF=30°，然后用a表示出DC、EF，再用面积公式表示出面积，最后用二次函数的性质即可求解. 解：（1）∵△ADE与△ABC都是等边三角形， ∴AC=AB=BC=6，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°． ∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD． 即∠CAE=∠BAD． 在△CAE和△BAD中， ， ∴△CAE≌△BAD（SAS）． ∴EC=DB； ∵, ∴DB=6-2=4， ∴CE =4； 故答案是：4. （2）如图，作于F， ∵， ∴CE =a，DC=6- a， ∵△CA