21.7 一元二次方程解法-配方法（人教版）.docx

专题21.7 一元二次方程解法-配方法（专项练习） 一、单选题 类型一、一元二次方程的解法---配方法 1．一元二次方程x2﹣6x+2＝0经过配方后可变形为（　　） A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝7 2．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（       ） A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2＋4x＝3 D．x2＋2x＝5 3．若把方程化为的形式，则的值是（       ） A．5 B．2 C． D． 4．下列代数式的值可以为负数的是（       ） A． B． C． D． 5．对于任意实数x，多项式x－6x+10的值是一个（   ） A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定正负的数 6．代数式x2﹣4x+5的值（       ） A．恒为正 B．恒为负 C．可能为0 D．不能确定 类型二、配方法的应用 7．已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定 8．已知代数式x2﹣5x+7，当x＝m时，代数式有最小值q．则m和q的值分别是（       ） A．5和3 B．5和 C．﹣和 D．和 9．若，则（       ） A．12 B．14.5 C．16 D． 10．在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（       ） A．点P是三边垂直平分线的交点 B．点P是三条内角平分线的交点 C．点P是三条高的交点 D．点P是三条中线的交点 11．已知点为平面直角坐标系中一点，若为原点，则线段的最小值为（       ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 12．无论x为何值，关于x的多项式﹣x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（　　） A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜ 二、填空题 类型一、一元二次方程的解法---配方法 13．如果方程x2＋4x＋n＝0可以配方成（x＋m）2﹣3＝0，那么（n﹣m）2020＝______． 14．将方程配方成的形式为______． 15．方程x2+a＝0的一个解是x＝﹣1，另一个解是______． 16．对方程进行配方，得，其中______． 17．下面是用配方法解关于的一元二次方程的具体过程， 解：第一步： 第二步： 第三步： 第四步：， 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是________． 18．方程的根是___________． 类型二、配方法的应用 19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________． 20．若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是___________ 21．代数式的最小值是_______． 22．已知，那么的值是______． 23．当x＝___二次根式有最小值，最小值为 ___． 24．如图，矩形，，的4个顶点都落在矩形边上，且有，设的面积为，矩形的面积为，则的最大值为__________． 三、解答题 25．用配方法解下列关于x的方程 （1）                                （2） 26．用配方法解下列方程： （1）；          （2）；                 （3）； （4）；       （5）；     （6）． 27．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4 ∵（y＋2）2≥0， ∴（y＋2）2＋4≥4 ∴y2＋4y＋8的最小值是4． （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）求代数式4－x2＋2x的最大值； （3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 28．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立． 示例：当时，求的最小值． 解：，当，即时，的最小值为6． （1）尝试：当时，求的最小值． （2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？ 参考答案 1．D 【解析】 【分析】 利用配方法的步骤配方即可解答． 【详解】 解：移项，得：x2﹣6x＝﹣2， 配方，得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7， 故选：D． 【点睛】 本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键． 2．C 【解析】 【分析】 根据配方法的一般步骤逐项判定即可． 【详解】 解：A、因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意； B、将该方程的二次项系数化为1，得x2-2x=，此方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意； C、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项符合题意； D、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题词的关键． 3．A 【解析】 【分析】 根据配方法求解即可． 【详解】 解：将配方得， ， 则， 故选A． 【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 4．B 【解析】 【分析】 各式化简得到结果，利用非负数的性质判断即可． 【详解】 解：A、|3-x|≥0，不符合题意； B、当x=时，原式=＜0，符合题意； C、≥0，不符合题意； D、原式=（3x-1）2≥0，不符合题意． 故选：B． 【点睛】 此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．C 【解析】 【分析】 把多项式进行配方，即可判断. 【详解】 ∵x－6x+10= x－6x+9+1= (x-3)+1＞0. ∴多项式x－6x+10的值是一个正数， 故选C. 【点睛】 此题主要考查多项式的值，解题的关键是熟知配方法的应用. 6．A 【解析】 【分析】 直接利用配方法将原式变形，进而得出答案． 【详解】 解：， ， ， 代数式的值恒为正． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是正确配方． 7．B 【解析】 【分析】 根据配方法可求出a与b的值，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】 解∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0 ∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0 ∴a﹣1＝0，b﹣4＝0 解得a＝1，b＝4 ∵3＜c＜5 ∵△ABC是等腰三角形 ∴c＝4 故△ABC的周长为：1+4+4＝9 故选：B． 【点睛】 本题考查配方法，解题的关键是熟练运用配方法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型． 8．D 【解析】 【分析】 利用配方法得到：x2﹣5x+7＝（x﹣）2+，利用偶数次幂的非负性作答． 【详解】 解：∵x2﹣5x+7＝（x﹣）2+7﹣＝（x﹣）2+， ∴当x＝时，q有最小值， ∴m和q的值分别是和， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了配方法的应用，偶数次幂的非负性．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2． 9．B 【解析】 【分析】 将已知等式变形后，利用非负数的性质和完全平方式求出关于a的等式和b的值，代入所求式子中计算可解． 【详解】 将已知等式整理： ∴a-4a+1=0，2b-1=0 整理得：a+=4，b=， 即a+=( a+)-2=16-2=14， 则14.5． 故选：B． 【点睛】 此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10．D 【解析】 【分析】 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案． 【详解】 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图， 则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)， 设P(x，y)，则= ==， ∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小， ∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：， AC边上中线所在直线表达式为：， 又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式， ∴点P是三条中线的交点， 故选D． 【点睛】 本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键． 11．B 【解析】 【分析】 利用勾股定理求出两点的距离OP=配方得，当时，OP最小即可． 【详解】 ， OP=， ， ， ∴，OP最小， 故选择：B． 【点睛】 本题考查勾股定理求两点距离问题，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键． 12．B 【解析】 【分析】 首先判断出：﹣x2+3x+m＝﹣（x﹣3）2+m+，然后根据偶次方的非负性质，可得-（x﹣3）2+m+≤m+，再根据无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0，推得m+＜0，据此判断出常数m的取值范围即可． 【详解】 解：∵﹣x2+3x+m＝﹣（x2﹣6x+9）+m+＝﹣（x﹣3）2+m+ ∵﹣（x﹣3）2≤0， ∴﹣（x﹣3）2+m+≤m+， ∵无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0， ∴m+＜0， 解得m＜﹣． 故选：B． 【点睛】 本题考查的知识点是配方法的应用，将多项式进行配方是解此题的关键． 13．1 【解析】 【分析】 先把方程进行配方，即可求出n、m的值，再最后求值即可． 【详解】 解：把方程x2＋4x＋n＝0进行配方， 得：； 由已知可得：，化简， ∴； 故答案为：1． 【点睛】 本题考查配方法，掌握完全平方公式的合并化简是解题的关键． 14． 【解析】 【分析】 先将-9移到等号右边变成，然后等号左右两边同时除以2得到，最后等号左右两边同时加上1，再把左边变成完全平方的形式即可． 【详解】 解：     故答案为： 【点睛】 本题考查了一元二次方程的配方，掌握如何配方是解题关键． 15．x＝1 【解析】 【分析】 先将x＝﹣1代入方程求出a的值，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】 解：根据题意，将x＝﹣1代入方程x2+a＝0，得：1+a＝0， 解得a＝﹣1，则方程为x2﹣1＝0， ∴x2＝1， ∴x1＝1，x2＝﹣1， 故答案为：x＝1． 【点睛】 本题主要考查含参一元二次方程的求解问题，解决问题的关键是正确理解一元二次方程解的概念． 16． 【解析】 【分析】 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求m． 【详解】 解：由题意得：m=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-配方法，将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 17．④①③② 【解析】 【分析】 根据配方法的步骤：二次项系数化为1，移项，配方，求解，进行求解即可． 【详解】 解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数； 第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； 第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方； 第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程； 故答案为：④①③②． 【点睛】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤是解题的关键． 18． 【解析】 【分析】 根据题意得出配方得出，开方得出：，即可求解得出根． 【详解】 解：∵． ∴配方得出， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了运用配方法求解二次方程的根的问题，难度很小，很容易做出，本题属于基础题． 19． 【解析】 【分析】 根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解． 【详解】 解：∵，p=3，c=2， ∴， ∴a+b=4， ∴a=4−b， ∴ ∴当b=2时，S有最大值为． 【点睛】 本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积． 20．30 【解析】 【分析】 把方程x2-10x+m=0移项后配方，即可得出（x-5）2=25-m，得出25-m=0，n=5．求出m=25． 【详解】 解：x2-10x+m=0， 移项，得x2-10x=-m， 配方，得x2-10x+25=-m+25， （x-5）2=25-m， ∵关于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通过配方写成（x-n）2=0的形式， ∴25-m=0，n=5， ∴m=25， ∴ 故答案为：30． 【点睛】 本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 21．##0.25 【解析】 【分析】 利用配方法得到：．利用非负数的性质作答． 【详解】 解：因为≥0， 所以当x=1时，代数式的最小值是， 故答案是：． 【点睛】 本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2． 22．-5 【解析】 【分析】 先利用配方法把所求的代数式配方，然后代值计算即可． 【详解】 解：∵， ∴ ， 故答案为：-5． 【点睛】 本题主要考查了配方法的使用和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握配方法． 23．     -1     【解析】 【分析】 把配方得：，即可解决． 【详解】 ∵ ∴ 当x=-1时，有最小值，从而有最小值，且最小值为 故答案为：-1， 【点睛】 本题考查了配方法及求最小值，关键是配方． 24． 【解析】 【分析】 设，由矩形和平行四边形的性质，易得△AFE≌△CHG，△BFG≌△DHE；的面积等于矩形的面积减去△AFE、△CHG、△BFG、△DHE，据此计算得解． 【详解】 设，则， ，∴当时，的最大值为 ∴的最大值为：． 【点睛】 本题考查矩形中平行四边形面积的最大值，关键是设未知数，建立代数关系，运用配方法求最值． 25．（1），；（2）， 【解析】 【分析】 （1）根据配方法，先把常数项移到等式右边，再两边同时加上36，等式左边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果； （2）根据配方法，先把二次项系数化为1，然后把常数项移到等式右边，再两边同时加上1，等式左边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果． 【详解】 （1） ，； （2） ，． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解法——配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的方法． 26．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解析】 【分析】 根据配方的方法，正确、认真配方，注意二次项系数，即可得出正确答案． 【详解】 解：（1）3x2−5x=2 x2-x= x2-x+=+ （x-）2= x-=± x1=+=2 x2=-=- （2）x2+8x=9 x2+8x +16=9+16 （x+4）2=25 x+4=±5 x1=5-4=1 x2=-5-4=-9 （3）x2+12x−15=0 x2+12x+36=15+36 （x+6）2=51 x+6=± x1=-6＋ x2=-6－ （4）x2−x−4=0 x2-4 x+4=16+4 （x-2）2=20 x-2=±2 x1=2＋2 x2=2－2 （5）2x2+12x+10=0 x2+6x+9=-5+9 （x+3）2=4 x+3=±2 x1=2-3=-1 x2=-2-3=-5 （6）x2+px+q=0 x2+px+=-q+ (x+)2= x+=± x+=± x= 【点睛】 本题考察了用配方法解一元二次方程，做题的关键是将二次项系数化1，正确配方，认真即可． 27．（1）3；（2）5；（3）当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2 【解析】 【分析】 （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可． 【详解】 解：（1）x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3 ∵（x＋1）2≥0， ∴（x＋1）2＋3≥3 ∴x2＋2x＋4的最小值是3． （2）4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5 ∵（x－1）2≥0， ∴－（x－1）2≤0 ∴－（x－1）2＋5≤5 ∴4－x2＋2x的最大值是5． （3）设花园的面积为S（m2），根据题意，得 S＝AB·BC ＝x（20－2x） ＝－2x2＋20x ＝－2（x2－10x） ＝－2（x2－10x＋25－25） ＝－2（x－5）2＋50 ∵－2（x－5）2≤0 ∴－2（x－5）2＋50≤50 ∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2． 【点睛】 此题考查了配方法的应用，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式． 28．（1）3；（2）10，2.5． 【解析】 【详解】 试题分析：（1）首先根据，可得，然后应用配方法，即可求出答案． （2）首先根据题意，求出年平均费用，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可． 试题解析：（1）=≥=3，∴当，即x=1时，y的最小值为3； （2）年平均费用==≥=2+0.5=2.5，∴当，即n=10时，最少年平均费用为2.5万元． 考点：1．配方法的应用；2．阅读型；3．最值问题；4．综合题．