21.2 一元二次方程（基础篇）（人教版）.docx

专题21.2 一元二次方程（基础篇）（专项练习） 一、单选题 知识点一、一元二次方程的定义 1．下列是关于x的一元二次方程的是（       ） A． B． C． D． 2．下列方程，是一元二次方程的是（       ） A．＝0 B．＝1 C．x2＋y2＝1 D．x2＝1 3．关于的方程是一元二次方程，则满足（       ） A． B． C． D．为任意实数 4．若方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．±2 B．+2 C．﹣2 D．以上都不对 知识点二、一元二次方程的一般形式 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5 6．关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（       ） A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．－4，－2 7．把一元二次方程化为一般形式，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 8．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（       ） A． B． C． D． 知识点三、一元二次方程的解 9．若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（       ） A．2 B．3 C．12 D．5 10．已知是方程的一个解，则的值为（       ） A．10 B．－10 C．2 D．－40 11．若是关于的一元二次方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 12．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣3a2﹣3a+2021的值是（　　） A．2018 B．2019 C．2021 D．2022 二、填空题 知识点一、一元二次方程的定义 13．只含有__________个未知数，并且未知数的__________次数是2的方程，叫做一元二次方程，它的一般形式为____________________． 14．下面三个方程：x²＋2x－4＝0，x²－75x＋350＝0，x²－x＝56，它们有什么共同点？ 特点： （1）都是_________方程； （2）只含有______个未知数； （3）未知数的最高次数是______． 15．若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ________． 16．若关于的方程是一元二次方程，则______． 知识点二、一元二次方程的一般形式 17．一元二次方程化为一般形式为___________________________，它的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______． 18．方程的一次项系数是______． 19．一元二次方程5x2– 3x = 4＋2x化为一般形式是_______． 20．把一元二次方程化为一般形式为______． 知识点三、一元二次方程的解 21．已知关于x的方程有一个根是1，则代数式的值是___． 22．若x＝－1是方程的根，则a＋b＋c＋2022的值为______． 23．若m是方程的一个根，则的值为_____． 24．方程- x=1的根是_________． 三、解答题 25．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问： （1）k为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 26．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 27．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值． 28．（1）关于x的一元二次方程的一个根为0，则求a的值； （2）如果关于x的一元二次方程中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：必是该方程的一个根． 29．阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 参考答案 1．B 【分析】 根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元三次方程，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．D 【分析】 根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 解：A．不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，故此选项不符合题意； C．是二元二次方程，故此选项不符合题意； D．是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；一元二次方程的一般形式是． 3．C 【分析】 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m21≠0，再解即可． 解：由题意得：m21≠0， 解得：m≠±1， 故选：C． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2（二次项系数不为0）． 4．C 【分析】 根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足三个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 解：由题意，得 |m|＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2， 故选：C． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 5．B 【分析】 根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可． 解：∵一元二次方程2x2+x-5=0， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5， 故选：B． 【点拨】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）． 6．C 【分析】 根据一元二次方程的概念，方程的解的概念即可求求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 解：，化为一般式为 则二次项系数和一次项系数分别是 故选C 【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 7．C 【分析】 方程移项变形即可得到结果. 解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确变形是解题关键． 8．B 【分析】 直接利用完全平方公式以及平方差公式去括号，进而得出答案． 解：， 去括号得：x2-5+4x2-4x+1=0， 整理得：5x2-4x-4=0． 故选：B． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确应用乘法公式是解题关键． 9．D 【分析】 由题意将代入原方程求解即可． 解：关于的一元二次方程的一个根是2 解得 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．B 【分析】 将a代入方程得到，再将其整体代入所求代数式即可得解． 解：∵a是方程的一个解， ∴有，即，， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求a值再代入计算，此方法耗时费力不可取． 11．D 【分析】 根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x＝0代入一元二次方程即可得出m的值． 解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0， 得m2﹣1＝0， 解得：m＝±1， ∵m﹣1≠0， ∴m≠1，m＝﹣1， 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义，解题的关键是运用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0． 12．A 【分析】 利用一元二次方程根的定义得到a2+a=1，再把﹣3a2﹣3a+2021变形为﹣3（a2+a）+2021，然后利用整体代入的方法计算． 解：∵a是方程x2+x1=0的根， ∴a2+a1=0， ∴a2+a=1； ∴； 故选：A． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解的问题，解题的关键是利用整体代换的思想求解. 13．     一     最高     【分析】 根据一元二次方程的定义和标准形式进行填空即可． 解：根据一元二次方程的定义可知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元一次方程．，它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 故答案为：一；最高；ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义和它的标准形式，熟练一元一次方程的定义是解题的关键． 14．     整式     一     2 略 15．-1 【分析】 根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，求解即可． 解：关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0 故答案为：-1． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 16．﹣2 【分析】 本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 解：由题意，得且， 解得， 故答案是：． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 17．          3     2     【分析】 首先利用完全平方公式进行计算，然后再把5移到等号左边，合并同类项即可得到，然后再确定二次项、一次项系数和常数项． 解：方程整理为一般形式为， ∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是， 故答案为：，3，2，． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 18．-8 【分析】 根据一元二次方程的一般形式解答． 解：方程的一次项是，其系数是． 故答案是：． 【点拨】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义． 19．5x2– 5x -4=0 【分析】 根据一元二次方程一般式的形式化简即可． 解：5x2– 3x = 4＋2x化为一般式为5x2– 5x -4=0， 故答案为：5x2– 5x -4=0． 【点拨】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是． 20． 【分析】 先展开完全平方式、再移项，变成一般形式即可． 解：， 即 即 故答案为： 【点拨】考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0） 21．-1 【分析】 把代入原方程，可得从而可得答案． 解： 关于x的方程有一个根是1， 故答案为： 【点拨】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“一元二次方程的根使方程的左右两边相等”是解本题的关键． 22．2022 【分析】 根据x=-1是方程ax2-bx+c=0根，得到a+b+c=0，整体代入即可求得答案． 解：∵x=-1是方程ax2-bx+c=0根， ∴a+b+c=0， ∴原式=0+2022=2022， 故答案为：2022． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值． ` 23．2023 【分析】 由题意知，即，再将整理并将整体代入计算求解即可． 解：，即， ∴ =2023． 故答案为：2023． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义． 24． 【分析】 先对已知方程进行变形．然后结合二次方程即可求解． 解：方程整理得， 两边平方得，即， 解得或， 根据二次根式的性质可得， 所以原方程的根是． 故答案为：． 【点拨】本题主要考察了二次根式的性质以及含有根式方程的一般解法．二次根式的性质：，含有根式方程的一般解法：先移项，然后两边同时平方，再利用一元二次方程的知识求解即可． 25．（1）；（2），二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】 （1）根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程进行求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程进行求解即可； 解：（1）∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得 （2）∵是关于x的一元二次方程， ∴即， ∴这个一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【点拨】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程和一元二次方程的定义． 26．见分析 【分析】 根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3 1 1 1 7 0 【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 27． 【分析】 根据一元二次方程解的定义，将代入中，可得,将 变形求解即可． 解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根 ∴ ∴ ∴ = 【点拨】本题考查一元二次方程解的定义，以及代数式化简求值．根据定义解题关键． 28．（1）；（2）证明见分析． 【分析】 （1）把x=0代入方程得到a2-1=0，解得a=±1，然后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值． （2）由题意得到a+c=b，变形后得到a-b+c=0，可得出x=-1是方程的根． 解：（1）∵一元二次方程的一个根为0， ∴a-1≠0且a2-1=0， ∴a=-1． （2）证明：根据题意，得：a+c=b，即a-b+c=0； 当x=-1时，ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0， ∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 29．（1）﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）1 【分析】 （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可． 解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1， 移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0， ∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程， ∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0， 解得：m＝0，n＝﹣1， ∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1， 答：（m+n）2的值是1． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．