21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-九年级数学人教版（上）（解析版）.doc

第二十一章 一元二次方程 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是 A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 【答案】A C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根， ∴x1•x2=﹣2，结论C错误； D、∵x1•x2=﹣2， ∴x1，x2异号，结论D错误． 故选A． 【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是 A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在 【答案】A ∴x1+x2=，x1x2=， ∵=4m， ∴=4m， ∴m=2或﹣1， ∵m＞﹣1， ∴m=2， 故选A． 【名师点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于﹣、两根之积等于． 3．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为 A．﹣2 B．1 C．2 D．0 【答案】D 【解析】∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2， ∴x1x2=0． 故选D． 【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 4．已知关于x的一元二次方程kx2−2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是 A．k<1 B．k≤1 C．k≤1且k≠0 D．k<1且k≠0 【答案】C 【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．[来源:学&科&网] 5．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足= −1，则m的值是 A．3或 −1 B．3 C．−1 D．−3 或 1 【答案】B 【解析】∵α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根； ∴α+β=−2m−3,α⋅β=m2， ∴===−1， ∴m2−2m−3=0， 解得m=3或m=−1. ∵一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根， ∴=(2m+3)2−4×1×m2=12m+9>0， ∴m>−， ∴m=−1不合题意舍去， ∴m=3. 【名师点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，根据根与系数的关系结合=1，找出关于m的方程是解题的关键.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 6．关于x的方程的两根互为相反数，则k的值是 A．2 B．±2 C．−2 D．−3 【答案】C [来源:Zxxk.Com] 【名师点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式 是解决本题的关键. 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 7．一元二次方程的两根为 ,则的值为__________． 【答案】2 【解析】由题意得：+2=0，=2， ∴=−2，=4， ∴=−2+4=2， 故答案为：2. 【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 8．设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________． 【答案】， 【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，=−，=. 9．方程的两个根为、，则的值等于__________． 【答案】3 【解析】根据题意得，，所以===3．故答案为3． 【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．来源:学科网] 10．若是一元二次方程 x²−6x−2=0的两个实数根，则=__________． 【答案】6 【解析】∵x1+x2=﹣，∴x1+x2=6．故答案为：6． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=． 11．已知方程x2−mx−3m＝0的两根是x1、x2，若x1＋x2＝1，则 x1x2＝__________． 【答案】−3 【解析】∵， ∴． 【名师点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题型．理解根与系数的关系的公式是解决这个问题的关键． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．已知关于的一元二次方程. （1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根，满足，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）−2. [来源:学_科_网] 【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22−x1x2=3p2+1，求出p值． 13．已知关于x的一元二次方程x2＋（m−1）x−2m2＋m＝0（m为实数）有两个实数根x1，x2． （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若x12＋x22＝2，求m的值． 【答案】（1）;（2），. 【名师点睛】本题是常见的根的判别式、根与系数关系的结合试题.把求未知系数m的问题转化为解方程问题是解决本题的关键.