21.34 一元二次方程中考真题专练（培优篇）（人教版）.docx

专题21.34 一元二次方程中考真题专练（培优篇） （专项练习） 一、单选题 1．（2014·四川内江·中考真题）关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（        ） A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2 二、填空题 2．（2015·江苏宿迁·中考真题）当时，代数式的值相等，则时，代数式的值为_______． 3．（2018·山东济南·中考真题）已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=_____． 4．（2019·山东泰安·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____. 5．（2012·江苏盐城·中考真题）一批志愿者组成了一个“爱心团队”，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第(≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时，相应的的值为________．(参考数据:，，) 三、解答题 6．（2016·湖北鄂州·中考真题）关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0 （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由． 7．（2005·江苏南通·中考真题）已知关于的方程有两个不相等的实数根、,且. （1）求证：; （2）试用的代数式表示; （3）当时,求的值. 8．（2015·四川广元·中考真题）李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 9．（2018·四川广元·中考真题）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？ 10．（2013·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E． （1）求点C的坐标． （2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式． （3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 11．（2013·黑龙江黑河·中考真题）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，点C在x轴负半轴上， 且AB：AC=1：2 （1）求A、C两点的坐标； （2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2011·湖北黄冈·中考真题）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点． 已知函数(m为常数)． （1）当=0时，求该函数的零点； （2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分 别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式． 13．（2021·湖南张家界·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 14．（2019·广西贵港·中考真题）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册. （1）求这两年藏书的年均增长率； （2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？ 15．（2019·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6,0），点B在y轴的正半轴上，．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2.． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标； （Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为．设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）． 16．（2019·辽宁沈阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B， （1）k的值是　 　； （2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上． ①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长； ②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标． 17．（2019·吉林·中考真题）如图，在矩形中，，为边上一点，，连接．动点从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为，在运动过程中，点，点经过的路线与线段围成的图形面积为． ⑴________,________°； ⑵求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ⑶当时，直接写出的值． 参考答案 1．B 解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±， 而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2， 所以-h-=-3，-h+=2， 方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±， 所以x1=3-3=0，x2=3+2=5． 故选：B． 【点拨】本题考查解一元二次方程-直接开平方法． 2．3 解：根据题意，把m和n分别代入可得，移项，因式分解得 （m+n）（m-n）-2（m-n）=0，即（m+n-2）（m-n）=0,由m≠n可知m+n=2，代入可知="3" ． 考点：因式分解法解一元二次方程 3． 【分析】 根据根与系数的关系得到x1+x2=，x1x2=，再利用完全平方公式变形得x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，最后代入求值即可． 解：根据题意得x1+x2= ，x1x2=， ∴x12+x22 =（x1+x2）2-2x1x2 =（）2-2×() =. 故答案为. 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系. 利用完全平方公式将x12+x22变形为（x1+x2）2-2x1x2是解题的关键. 4． 【分析】 根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出k的取值范围. 解：根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则. 故答案为. 【点拨】本题主要考查二元一次方程的根与系数的关系，根据方程根的个数，列不等式求解. 5．14 【分析】 根据第(≥2)个月募集到的资金都将会比上个月增加20%，可表示出第(≥2)个月募集到的资金，求解即可． 解：第一个月募集到资金1万元，则第二个月募集到资金（1+20%）万元，第三个月募集到资金（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金（1+20%）n-1万元，由题意得： （1+20%）n-1＞10 即   1.2 n-1＞10 ∵1.26×1.27=10.8＞10 ∴n-1=6+7=13 n=14 故答案为：14． 【点拨】本题主要考查了增长率的问题，以及同底数幂的乘法，解题的关键是根据题意列出第n个月募集到的资金，再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 6．（1）详见分析；（2）S的值能为2，此时k的值为2． 【分析】 （1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 解：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1, x=-1有一个解； ②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， △=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0 方程有两不等根 综合①②得不论k为何值，方程总有实根 （2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂= ∴S=++ x1+x2 = = = = =2k-2=2， 解得k=2， ∴当k=2时，S的值为2    ∴S的值能为2，此时k的值为2． 考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系． 7．（1）见分析（2）或（3）1 ⑴证明：∵关于的方程有两个不相等的实数根, ∴△=,∴. 又,∴. ⑵或 (3)当时,k=1.当时,k不存在.所求的k的值为1 （1）方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于n，k的不等式，结合不等式的性质，证出结论； （2）根据根与系数的关系，把x1+x2=k代入已知条件（2x1+x2）2-8（2x1+x2）+15=0，即可用k的代数式表示x1； （3）首先由（1）知n＜- k2，又n=-3，求出k的范围．再把（2）中求得的关系式代入原方程，即可求出k的值． 8． (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见分析. 试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 解：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm的两段； （2）两正方形面积之和为48时，， ，∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确． 考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题． 9．（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【分析】 （1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 解：（1）设平均每次下调x%，则 7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%． （2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠． 10．（1）C（0，12）．（2）．（3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形， 点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）． 解：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长，证△AOC∽△COB，推出OC2=OA•OB，即可得出答案． 解x2﹣25x+144=0得x=9或x=16， ∵OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB）， ∴OA=9，OB=16． 在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO=90°， 在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°， ∴∠ACO=∠CBA． ∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB．∴OC2=OA•OB．∴OC=12， ∴C（0，12）． （2）应用相似三角形求得点D 的坐标，应用待定系数法即可求得直线AD的解析式． 在Rt△AOC和Rt△BOC中，∵OA=9，OC=12，OB=16，∴AC=15，BC=20． ∵DE⊥AB，∴∠ACD=∠AED=90°． 又∵AD平分∠CAB，AD=AD，∴△ACD≌△AED．∴AE=AC=15． ∴OE=AE﹣OA=15﹣9=6，BE=10． ∵∠DBE=∠ABC，∠DEB=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BAC． ∴，即，解得． ∴D（6，）． 设直线AD的解析式是y=kx+b， 将A（﹣9，0）和D（6，）代入得： ，解得． ∴直线AD的解析式是：． （3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形． ① 以BC为对角线时，作BC的垂直平分线交BC于Q，交x轴于F，在直线FQ上取一点M，使∠CMB=90°，则符合此条件的点有两个， BQ=CQ=BC=10， ∵∠BQF=∠BOC=90°，∠QBF=∠CBO， ∴△BQF∽△BOC．∴． ∵BQ=10，OB=16，BC=20，∴BF=． ∴OF=16﹣=．∴F（，0）． ∵OC=12，OB=16，Q为BC中点，∴Q（8，6）． 设直线QF的解析式是y=ax+c， 代入得：，解得． ∴直线FQ的解析式是：． 设M的坐标是（x，）， 根据CM=BM和勾股定理得：（x﹣0）2+（﹣12）2=（x﹣16）2+（﹣0）2， 解得x1=14，x2=2． ∴M的坐标是（14，14），（2，﹣2）． ②以BC为一边时，过B作BM3⊥BC，且BM3=BC=20，过M3Q⊥OB于Q，还有一点M4，CM4=BC=20，CM4⊥BC， 则∠COB=∠M3B=∠CBM3=90°． ∴∠BCO+∠CBO=90°， ∠CBO+∠M3BQ=90°． ∴∠BCO=∠M3BQ． ∵在△BCO和△M3BQ中， ， ∴△BCO≌△M3BQ（AAS）． ∴BQ=CO=12，QM3=OB=16， OQ=16+12=28， ∴M3的坐标是（28，16）． 同法可求出CT=OB=16，M4T=OC=12，OT=16﹣12=4， ∴M4的坐标是（﹣12，﹣4）． 综上所述，存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形， 点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）． 11．（1）A（1，0），C（﹣3，0）；（2）S=2﹣t（0≤t＜2）；②S=t﹣2（t＞2）；（3）存在，Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q1（1，）． 【分析】 （1）通过解一元二次方程，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据勾股定理可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标． （2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式． （3）分AB是边和对角线两种情况讨论可求Q点的坐标 解：（1） （x﹣）（x﹣1）=0， 解得x1=，x2=1． ∵OA＜OB，∴OA=1，OB=． ∴A（1，0），B（0，）． ∴AB=2． 又∵AB：AC=1：2， ∴AC=4． ∴C（﹣3，0）； （2）由题意得：CM=t，CB=2． ①当点M在CB边上时，S==2﹣t（0≤t＜2）； ②当点M在CB边的延长线上时，S==t﹣2（t＞2）． （3）存在，Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q1（1，）． 12．（1）当=0时，该函数的零点为和． （2）见分析, （3）AM的解析式为． 【分析】 （1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点； （2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式 解：（1）当=0时，该函数的零点为和． （2）令y=0，得△= ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有， 由解得． ∴函数的解析式为． 令y=0，解得 ∴A()，B(4,0) 作点B关于直线的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线的交点就是满足条件的M点． 易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（） 设直线AB’的解析式为，则 ，解得 ∴直线AB’的解析式为， 即AM的解析式为． 13．（1）10%；（2）13.31万 【分析】 （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可； （2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． （1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． （2）（万人）， 答：六月份的参观人数为13.31万人． 【点拨】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测． 14．（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几. 解：（1）设这两年藏书的年均增长率是， ， 解得，，（舍去）， 答：这两年藏书的年均增长率是20%； （2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：， 答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题. 15．（Ⅰ）的坐标为；（Ⅱ）①，；②. 【分析】 （Ⅰ）先根据A点坐标和已知得出AD的长，再根据30角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理得出CO的长即可得到点E的坐标 （Ⅱ）①根据平移的性质和30角所对的直角边等于斜边的一半得出，再根据勾股定理得出，再根据得出S与t的函数关系式 ②分2和4两种情况，根据平移的性质和30角所对的直角边等于斜边的一半得出S与t的函数关系式，分别求出s=和s=时t的值即可 解：（Ⅰ）由点，得． 又，得． 在矩形中，有，得． ∴在中，． ∴由勾股定理，得．有． ∴点的坐标为． （Ⅱ）①由平移知，，，． 由，得． ∴在中，． ∴由勾股定理，得． ∴． ∵, ∴． ∴，其中的取值范围是． ②当时， 当S=时，，解得t= 当S=时，，解得t= 当2时，如图，OF=,G= ∴S= 当S=时，=；解得t=4.5 当S=时，=；解得t=； 当4时，如图，F=，A= ∴S=（6-t）（6-t）= 当S=时， =；解得t= 或t= 当S=时， =；解得t= 或t= ∴当时，． 【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，勾股定理，二次函数以及一元二次方程的解法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 16．（1）；（2）①▱OCED的周长8+4；②C的坐标为（﹣3，）或（11，）． 【分析】 （1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值； （2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由平行四边形的性质结合点E为OB的中点可得出CE是△ABO的中位线，结合点A的坐标可得出CE的长，在Rt△DOE中，利用勾股定理可求出DE的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED的周长； ②设点C的坐标为（x，），则CE＝|x|，CD＝，利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为可得出关于x的方程，解之即可得出结论． 解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4， 解得：k＝． 故答案为． （2）①由（1）可知直线AB的解析式为y＝x+4． 当x＝0时，y＝x+4＝4， ∴点B的坐标为（0，4）， ∴OB＝4． ∵点E为OB的中点， ∴BE＝OE＝OB＝2． ∵点A的坐标为（8，0）， ∴OA＝8． ∵四边形OCED是平行四边形， ∴CE∥DA， ∴， ∴BC＝AC， ∴CE是△ABO的中位线， ∴CE＝OA＝4． ∵四边形OCED是平行四边形， ∴OD＝CE＝4，OC＝DE． 在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2， ∴DE＝， ∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2）＝8+4． ②设点C的坐标为（x，+4），则CE＝|x|，CD＝|x+4|， ∴S△CDE＝CD•CE＝|﹣x2+2x|＝， ∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0． 方程x2+8x+33＝0无解； 解方程x2+8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11， ∴点C的坐标为（﹣3，）或（11，）． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k值；（2）①利用勾股定理及三角形中位线的性质，求出CE，DE的长；②利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为，找出关于x的方程． 17．（1），45；（2）；（3）或 【分析】 （1）由勾股定理可求AE的长，由等腰直角三角形的性质可求∠EAD的度数； （2）分三种情况讨论，画出图象，根据点的运