22.17 待定系数法求二次函数解析式（知识讲解）（人教版）.docx

专题22.17 待定系数法求二次函数解析式（知识讲解） 【学习目标】 1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式； 2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的． 【要点梳理】 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 特别说明： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 【典型例题】 类型一、用待定系数法求二次函数解析式——顶点式 1．已知：二次函数图象的顶点坐标为，且经过点；求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：，再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式． 解：设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得， 则抛物线的解析式为：． 【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式． 举一反三： 【变式1】已知一条抛物线顶点为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】y=-2x2+8x-3 【分析】设出顶点式，利用待定系数法求解． 解：因为抛物线顶点坐标为(2，5)， 设抛物线解析式为y=a（x-2）2+5， 代入（3,3）得3=a（3-2）2+5， 解得a=-2， ∴解析式为y=-2（x-2）2+5=-2x2+8x-3． 【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，掌握解题不是是解决问题的关键：一设二代三解四写． 【变式2】已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】已知顶点坐标，设成顶点式y=a（x+2）2﹣3，将（﹣3，﹣2）代入即可． 解：设二次函数的解析式为：y=a（x+2）2﹣3， 将（﹣3，﹣2）代入得：﹣2=a（﹣3+2）2﹣3， 解得：a=1， ∴这个二次函数的解析式为：y=（x+2）2﹣3． 【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式，根据顶点坐标设出二次函数的顶点式是解题的关键． 类型二、用待定系数法求二次函数解析式—— 一般式 2．已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】把点、代入二次函数关系式，即可求出a、b的值，进而可得二次函数解析式． 解：把，代入二次函数解析式得 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．解题的关键在于正确的计算． 举一反三： 【变式1】已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)． (1)填空：抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 ； (2)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象． (3)当 1 < x £4时， y的取值范围是 【答案】(1)2；（3，0）． (2)见分析 (3)﹣1≤y≤3 【分析】 （1）根据二次函数图象的对称性可得抛物线对称轴为直线x＝2，由点C坐标为（1，0）可得点D坐标为（3，0）． （2）由待定系数法求函数解析式，然后根据解析式作出图象． （3）由抛物线开口方向及对称轴可确定x＝2时，y取最小值，x＝4时，y取最大值． (1)解：∵点A（0，3）、B（4，3）关于直线x＝2对称， ∴对称轴为直线x＝2， ∵C（1，0）关于直线x＝2对称点为（3，0）， ∴点D坐标为（3，0）， 故答案为：2；（3，0）． (2)解：将A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c得， ， 解得， ∴y＝x2﹣4x+3， 由（1）可知抛物线顶点坐标为（2，-1）． 图象如下： (3)解：由图象可知，在1 < x £4时， 当x＝2时，y取最小值为y＝22﹣2×4+3＝﹣1， x＝4时，y取最大值为y＝42﹣4×4+3＝3， ∴﹣1≤y≤3． 故答案为：﹣1≤y≤3． 【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数解析式的方法，掌握二次函数图象的性质． 【变式2】一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 【答案】y=-2x2+4x+6 【分析】设一般式y=ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可． 解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 根据题意得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为y=-2x2+4x+6． 【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 类型三、用待定系数法求二次函数解析式——两根式 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式． 【答案】y＝﹣x2﹣2x+3 【分析】根据图象确定经过抛物线的三个点，设二次函数解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，再代入(0,3)利用待定系数法计算即可． 解：由图象可知，抛物线经过(﹣3，0)、(1，0)、(0，3)， 设抛物线的解析式为：y＝a(x+3)(x﹣1)， 代入点(0,3)， 则3＝a(0+3)(0﹣1)， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的解析式为：y＝﹣(x+3)(x﹣1)， 整理得到：y＝﹣x2﹣2x+3． 【点拨】本题考查了二次函数解析式的求法，属于基础题，计算过程中细心即可． 举一反三： 【变式1】二次函数经过（1，0），（3，0）和（0，3）． (1)求该二次函数解析式； (2)将该二次函数图像以轴为对称轴作轴对称变换得到新的抛物线，请求出新抛物线的解析式． 【答案】(1)(2) 【分析】 （1）根据二次函数图像与x轴的交点坐标，设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3)，再将（0，3）代入关系式，求出a的值即可； （2）由题意可知新抛物线与x轴的交点坐标，可设交点式，再将点（0，-3）代入求出m的值即可. 解：(1)设该二次函数解析式为 把（0，3）代入解析式得 ∴该二次函数解析式为 (2)由题意可知，抛物线与x轴的交点是（1，0）和（3，0），且经过点（0，-3）. 设新二次函数解析式为， 再代入（0，-3），得到m=-1 ∴轴对称变换后二次函数解析式为 【点拨】本题主要考查了求二次函数关系式，掌握交点式y=a(x-x1)(x-x2)是解题的关键. 【变式2】已知抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】首先设出抛物线的两点式，然后代入点的坐标，计算可得答案． 解：∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（3，0）两点， ∴可设其解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3）， 代入点C（0，3）得， a（0+2）（0﹣3）＝3， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝﹣x2+x+3． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，设两点式：．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（，0），（，0），则设所求二次函数为，将第三个点的坐标（m，n）（其中m，n为已知数）或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式． 类型四、用待定系数法求二次函数解析式——综合应用 4．已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，P是线段BC上一点，过点P作轴交x轴于点N，交抛物线于点M． (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且和的面积相等，求点Q的坐标． 【答案】(1)y=-x2+2x+3(2)（1+，1） 【分析】 （1）根据点B、C的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式； （2）根据点B、C的坐标利用待定系数法，求出直线BC的表达式，由点P的横坐标，即可求出点P、M的坐标，进而可求出△PMC的面积，根据△QMC和△PMC的面积相等，可求出点Q的纵坐标为1，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合点Q在第一象限，即可求出点Q的坐标，即可求解． (1)解：（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c， 得：， 解得：． ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3． (2)依照题意画出图形，如图所示． 设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0）， 将点C（0，3）、B（3，0）代入y=kx+b， 得：，解得：， ∴直线BC的表达式为y=-x+3， ∴P（2，1），M（2，3）， ∴S△PCM=CM•PM=2． 设△QCM的边CM上的高为h，则S△QCM=×2×h=2， ∴h=2， ∴Q点的纵坐标为1， ∴-x2+2x+3=1， 解得：x1=1+，x2=1-（舍去）， ∴点Q的坐标为（1+，1）． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解直角三角形，掌握一次函数与二次函数的性质． 举一反三： 【变式1】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求c的值及a，b满足的关系式． (2)结合函数图象判断抛物线能否同时经过点．若能，写出符合要求的抛物线的表达式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)c=3， 3a+b=-1；(2)能，y= 【分析】 （1）将点和代入解析式即可求解； （2）根据题意求得对称轴，设，将和代入解析式，待定系数法求解析式即可求解． 解：(1)抛物线经过点和， ， ， c=3， 3a+b=-1； (2)，， 抛物线的对称轴为 若同时经过点， 则对称轴为， 故存在抛物线能否同时经过点 设，将和代入解析式， ， 解得， ， ． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】已知抛物线的图象经过坐标原点O． (1)求抛物线解析式． (2)若B，C是抛物线上两动点，直线恒过点，设直线为，直线为． ①若B、C两点关于y轴对称，求的值． ②求证：无论k为何值，为定值． 【答案】(1)；(2)①；②证明见分析 (1)解：把(0，0)代入，得 0=(0-n)(0-n)+c， ∴c=n2， 把c=n2代入得 y=x2-n2+n2=x2， ∴抛物线解析式为：y=x2； (2)解：把(0，1)代入y=kx+b，得b=1， ∴直线BC解析式为：y=kx+1， ①∵B、C两点关于y轴对称， ∴BCx轴， ∴k=0，即直线BC：y=1，将y=1代入y=x2，得 x2=2，解得：x=， 设B(-，1)，C(，1)， 把B(-，1)代入y=k1x，得1=-k1， ∴k1=-， 把C(，1)代入y=k2x，得1=k1， ∴k2=， ∴k1k2=-=-， ②联立：，得x2-kx-1=0， 设此方程两根为x1，x2，则x1x2==-2， y1y2====1， 把(x1，y1)代入y=k1x，得k1=， 把(x2，y2)代入y=k2x，得k2=， ∴k1k2===， 无论k为何值，为定值，值为． 【点拨】本题考查二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的联系，本题是二次函数综合题目，熟练掌握相关知识是解题的关键．