22.27 二次函数“将军饮马”问题（巩固篇）（人教版）.docx

专题22.27 二次函数“将军饮马”问题（巩固篇） （专项练习） 一、单选题 1．如图,抛物线与直线交于两点,点为轴上点,当周长最短时;周长的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为______． 3．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(m﹣4，0)和B(m，0)，与直线y＝﹣x+p相交于点A和C(2m﹣4，m﹣6)，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，连PA，PD，当PA+PD的长最短时，点P的坐标为_____． 4．如图抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为______． 5．如图，已知点B（3，3）、C（0，6）是抛物线 ()上两点，A是抛物线的顶点，P点是轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标是_____． 6．如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a=﹣1，则b=3； ③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2； ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6． 其中真命题的序号是____________． 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于、（点在点的右侧）两点，顶点为，点是轴上一点，且使得最大，则的最大值为_________． 8．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点关于轴的对称点为．点为轴上的一个动点，连接，则的最小值为__________． 9．如图，抛物线y＝﹣4x+4与y轴交于点A，B是OA的中点，一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过物线对称轴上的点N，然后返回到点A，则点G走过的最短路程为____． 10．如图， 过抛物线上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣1，在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D，连结BD，则线段BD的最小值为______. 11．已知中，边的长与边上的高的和为，当面积最大时，则其周长的最小值为________（用含的代数式表示）． 三、解答题 12．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值． 13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 14．如图，已知二次函数图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求该二次函数的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标． 15．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 16．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当ACD的周长最小时，点D的坐标为 ． 17．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使值最小的点P的坐标． 18．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． （1）求点C及顶点M的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值； （3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值及此时点N的坐标． 19．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；    20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，4），已知点A的坐标为（-2，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△ACQ是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．B 【分析】 联立方程先求出抛物线和直线的交点坐标，然后已知在中的边的长已经确定，只需要求出的最小值即可，可以做B点关于y轴的对称点,连接交y轴于点C，此时就为的最小值，所以周长最短为的长，求出即可. 解：根据题意联立方程得： ，得出，把横坐标分别代入表达式得出交点坐标， 即：,, 已知在中的边的长已经确定， 做B点关于y轴的对称点,连接交y轴于点C,如图所示， 此时就为的最小值, ， , 周长最小为：; 故选B. 【点拨】本题考查的是两个函数图像的交点问题，以及求线段的最小值问题，需要根据题意去解读信息，借助于勾股定理去求最终结果. 2． 【分析】 根据题意和两点之间线段最短，先确定点P所在的位置，然后根据题意和图形求出点P的横坐标和纵坐标，再将横坐标和纵坐标相加，即可解答本题． 解：连接AC，与对称轴交于点P，则此时PB+PC＝AC，PB+PC取得最小值， ∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝2， ∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ，解得， 即直线AC的解析式为， ∵点P在二次函数的对称轴上的一动点， ∴点P的横坐标为﹣1， ∵点P在直线AC上， ∴点P的纵坐标， ∴点P的纵坐标与横坐标之和为：， 故答案为：． ． 【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、轴对称，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 3．(1，﹣2) 【分析】 把点A（m-4，0）和C（2m-4，m-6）代入直线y=-x+p上得到方程组，求出方程组的解，得出A、B、C的坐标，设抛物线y=ax2+bx+c=a（x-3）（x+1），把C（2，-3）代入求出a，得出函数的解析式，找出P的位置，求出AN的解析式，把x=1代入即可． 解：∵点A(m﹣4，0)和C(2m﹣4，m﹣6)在直线y＝﹣x+p上 ∴， 解得：m＝3，p＝﹣1， ∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(2，﹣3)， 设抛物线y＝ax2+bx+c＝a(x﹣3)(x+1)， ∵C(2，﹣3)，代入得：﹣3＝a(2﹣3)(2+1)， ∴a＝1 ∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4， 对称轴EF为x＝1， 当x＝0时y＝﹣3， 即D点的坐标为(0，﹣3)， 作D关于EF的对称点N，连接AN，交EF于P，则此时P为所求， 根据对称得N的坐标为(2，﹣3)， 设直线AN的解析式为y＝kx+e， 把A、N的坐标代入得：， 解得：k＝﹣1，e＝﹣1， 即y＝﹣x﹣1， 把x＝1代入得：y＝﹣2， 即P点的坐标为(1，﹣2)， 故答案为：(1，﹣2)． 【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 4．． 【分析】 先确定抛物线的对称轴为直线，C（0，﹣6），通过解方程得 A（﹣3，0），B（1，0），再根据三角形中位线性质得，，所以 ，连接AC交直线于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时PB+PC的值最小，其最小值为AC的长，从而得到DE+ DF的最小值． 解：抛物线可化为： ∴抛物线的对称轴为直线 ， 当x＝0时，，则C（0，﹣6）， 当y＝0时，，解得， ，则A（﹣3，0），B（1，0）， ∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点， ∴DE和DF都为△PBC的中位线， ∴，， ∴， 连接AC交直线于P，如图， ∵PA＝PB， ∴PB+PC＝PA+PC＝AC， ∴此时PB+PC的值最小，其最小值为 ∴DE+DF的最小值为． 故答案为． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于 x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． 5．(2.4，0) 【分析】 根据点B（3，3）、C（0，6）是抛物线（a≠0）上两点，可以求得该抛物线的解析式，从而可以求得顶点A的坐标，然后即可得到点A关于x轴的对称点的坐标，则点A关于x轴的对称点的坐标与点B所连直线与x轴的交点即为所求的点P的坐标． 解：∵点B(3，3)、C(0，6)是抛物线 (a≠0)上两点， ∴，得 ， ∴抛物线解析式为， ∴点A的坐标为(2,2)， 点A关于x轴的对称点的坐标为(2,−2)， 则点(2,−2)与点B(3,3)所连直线与x轴的交点即为所求的点P，此时PA+PB最小， 设过点(2,−2)与点B(3,3)的直线解析式为y=kx+b， ，得 ， 即过点(2，−2)与点B(3，3)的直线解析式为y=5x−12， 当y=0时，0=5x−12，得x=2.4， ∴点P的坐标为(2.4,0)， 故答案为：(2.4，0)． 【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数上点的坐标特征、对称轴最短路径问题，解本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合思想解答． 6．②③． 【分析】 （1）根据二次函数所过象限，判断出y的符号； （2）根据A、B关于对称轴对称，求出b的值； （3）根据，由x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，由图象性质判断出y1＞y2； （4）作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接，DE和的和即为四边形EDFG周长的最小值，求出D、E、、的坐标即可解答． 解：（1）当x＞0时，函数图象过一、四象限，当0<x<b时，y>0；当x>b时，y<0，故本选项错误； （2）二次函数对称轴为x=-=1，点A、B关于x=1对称，当a=-1时，有=1，解得b=3，故本选项正确； （3）∴x1+x2＞2， ∴， 又∵x1＜1＜x2， ∴Q点距离对称轴较远， ∵函数图象开口向下， ∴y1＞y2，故本选项正确； （4）如图，作D关于x轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接，的和即为四边形EDFG周长的最小值， 当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则为（-1，4），C点坐标为（0，3），则E为（2，3），为（2，-3）则DE=，=， ∴四边形EDFG周长的最小值为， ∴四边形EDFG周长的最小值为，故本选项错误， 故答案为：②③． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，把二次函数图象与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质和求最短路径的解决． 7．5 【分析】 先确定A、B、C的坐标，设P点坐标为（0，a），然后根据两点间的距离公式，建立一个关于a二次函数，求最大值即可． 解：由题意可知：A、B、C的坐标分别为（-2,0）、（4,0）、（1,4） 设P点坐标为（0，p） 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：PC-PB＜BC, ∴当P、C、B在同一条直线上，PC-PB=BC,即此时PC-PB有最大值BC ∴BC= 故答案为5． 【点拨】本题考查了二次函数的性质以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键． 8． 【分析】 过点作，交AC的延长线与H，交轴于点P，则点P为所求， ，故的最小值为：，即可求解. 解： 令，则，解得, 则 令 ，则,则 函数的顶点D的坐标为 ，则点 连接AC，则 , 过点作，交AC的延长线与H，交轴于点P，则点P为所求，如图所示： 故的最小值为： ∴,则直线的函数表达式为：，将点的坐标代入上式子解得： ∴直线的函数表达式为： 同理直线的函数表达式为： 联立解得 ，故点 ∴的最小值为： 故答案为： 【点拨】本题考查了抛物线与轴的交点，主要考查了函数图像上点的坐标特征，解题的关键是确定，也是这一类题目的一般解题方法. 9．10． 【分析】 作点A关于抛物线y＝﹣4x+4的对称轴的对称点A',作点B关于x轴的对称点B',连接A'B',分别交x轴、抛物线对称轴于点M、N,则BM+MN+NA就是点G运动的最短路径,由对称的性质得AN＝A'N,BM＝B'M,得出点G运动的最短路径＝BM+MN+NA＝A'B',求出抛物线y＝﹣4x+4的对称轴为直线x＝4,点A的坐标为（0,4）,A'的坐标为（8,4）,B的坐标为（0，2），B'的坐标为（0,﹣2）,得出AB'＝6,AA'＝8,由勾股定理求出A'B'＝＝10即可． 解：作点A关于抛物线y＝﹣4x+4的对称轴的对称点A',作点B关于x轴的对称点B',连接A'B',分别交x轴、抛物线对称轴于点M、N,如图所示: 则BM+MN+NA就是点G运动的最短路径,由对称的性质得:AN＝A'N,BM＝B'M, ∴点G运动的最短路径＝BM+MN+NA＝A'B', ∵抛物线y＝﹣4x+4＝（x﹣4）2﹣4, ∴抛物线y＝﹣4x+4的对称轴为直线x＝4, 当x＝0时,y＝4,即点A的坐标为（0,4）, ∴点A'的坐标为（8,4）, ∵B是OA的中点, ∴B的坐标为（0,2）, ∴B'的坐标为（0,﹣2）, ∴AB'＝4+2＝6,AA'＝8, ∴A'B'＝＝＝10, 即点G走过的最短路程为10; 故答案为:10． 【点拨】本题考查了点的轨迹,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,轴对称的性质,勾股定理,最短路径等知识,熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质是解题的关键． 10．2 【分析】 （1）首先确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标，当点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB-OD. 解：（1）把x=-1代入中，得y=3， 故A（-1，3），C（0，3）， 对称轴x=-， ∵A、B关于对称轴对称， ∴B（4，3）， 如图1中， 由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上， ∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB-OD=-3=2． 故答案为2 【点拨】本题考查抛物线中最短路径问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型． 11． 【分析】 设BC上的高为x，则BC=a﹣x，△ABC的面积为S，S=x（a﹣x），根据二次函数的顶点坐标，可得出x的值，过点A作直线l∥BC，再作出点B关于直线l的对称点E，连接CE，交l于点F，可得△CBE是直角三角形，根据勾股定理求出CE的长，从而得出周长的最小值． 解：设BC上的高为x． ∵边BC的长与BC边上的高的和为a，∴BC=a﹣x，设△ABC的面积为S，∴S=x（a﹣x）=﹣x2+ax． ∵当△ABC面积最大时，∴x=a，∴BC=a，过点A作直线l∥BC，再作出点B关于直线l的对称点E，连接CE，交l于点F，当点A与点F重合时，△ABC周长的最小值，∴BG=GE=AD=a，∴BE=a． ∵直线l∥BC，∴∠EBC=∠EGA=90°，∴CE==a，∴△ABC的最小周长=a． 故答案为a． 【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，是一道二次函数的综合题，还考查了二次函数的解析式以及顶点的运用，轴对称的应用，正确运用轴对称是解题的关键． 12．(1)(2) 【分析】 （1）根据的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值． 解：(1)在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上， 解得 抛物线的解析式为 (2) 对称轴为 如图，连接， 关于轴对称 的周长等于， 当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为 由抛物线解析式， 令，即 解得 ， 的周长的最小值为 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 13．(1)(2)点M坐标（1，2） (3)存在，点P坐标为（1，6），（1，），（1，），（1，） 【分析】 （1）把A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）由抛物线的对称性可知点A与点B关于对称轴对称，所以BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值等于线段BC长，求出直线BC与抛物线对称轴交点M坐标即可； （3）分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①PC=CD；②PD=CD．设出点P的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可； ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，点P在CD的垂直平分线上，PC=PD，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． (1)解：把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3； (2)解：由抛物线的对称性可知点A与点B关于抛物线的对称轴对称， 所以设BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值=BC，如图， ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4； ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∵A（-1，0），点A与点B关于抛物线的对称轴对称， ∴B（3，0）， 设直线BC解析式为y=kx+m， 则，解得， ∴直线BC解析式为y=-x+3， 当x=1时，y=2， ∴M（1，2）． (3)解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴对称轴为直线x=1， ∴D（1，0）． 设点P的坐标为（1，t）， ∵C（0，3）， ∴CD2=12+32=10． 分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若PC=CD，则12+（t-3）2=10，解得t=0（舍弃）或6， 所以点P的坐标为（1，6）； ②若PD=CD，则t2=10，解得t=±， 所以点P的坐标为（1，）或（1，-）； ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，PC=PD， 则1+（t-3）2=t2，解得：t=， 所以点P的坐标为（1，）； 综上所述，点P的坐标有三个，分别是（1，6）或（1，））或（1，-）或（1，）． 【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、利用轴对称求最短距离；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨论的思想． 14．(1)(2)存在，(3)MN取得最大值为， 【分析】 （1）直接将三点坐标代入解析式求解，即可求得解析式； （2）周长最小即要使得PA+PC最小，A点关于对称轴的对称点是B点，连接CB交对称轴于P点，此时的PA+PC即为最小值； （3）设Q（m，0），再把m代入BC所在一次函数解析式和二次函数解析式，把两者相减，得到一个代数式，再求这个代数式的最大值即可． 解：(1)将，，代入得： 解得： 二次函数的解析式为：； (2)存在点P，使△PAC的周长最小 连接BC交抛物线对称轴于P，连接AP，如图： ， 由得抛物线对称轴是 ，关于抛物线对称轴对称 而当B、P、C共线时，PB+CP最小，此时PA+CP也最小， 因，故此时△PAC的周长最小 设直线BC为，将，代入得： 解得： 直线BC解析式为： 令x＝1时，得y＝－2　 (3)如图： 设，， 该函数为开口向下的二次函数，且在时取得最大值 又Q在OB上， ∴ ∴m可取的值包括了 时， MN取得最大值为， 当x=时，y= 故M点坐标为：． 【点拨】本题考查二次函数交点式解析式的应用，考查一个点动点到两个顶点距离最小值的将军饮马模型，考查两点之间距离的最小值，掌握这些知识和模型是解题关键． 15．(1)．(2)存在Q（﹣1，2），理由见分析． (3)四边形BOCE面积的最大值为，此时E点的坐标为． 【分析】 （1）将和代入抛物线解析式中，利用待定系数法求解即可． （2）由已易得抛物线的对称轴为直线，由题意可知点A、B关于直线对对称，连接BC交直线x=1于点Q，则此时△QAC的周长最小，由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，把代入所求解析式中求得对应的值，即可得到点Q的坐标． （3）过点E作轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），根据割补法可找出S四边形EFOC = S△BEF + S四边形EFOC之间的关系，在利用配方法将函数关系式化为顶点式即可完成解题． (1)解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）， ∴， 解得：， ∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3． (2)解：存在Q（﹣1，2），理由如下： 连接BC交对称轴于Q，如图： 在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴C（0，3）， 而A（1，0）， ∴AC＝， 要使得△QAC的周长最小，只需QC+AQ最小，又A、B关于对称轴对称，有QA＝QB， ∴只需QC+QB最小即可， ∴Q、B、C共线时，△QAC的周长最小， 设直线BC解析式为y＝kx+t，则， 解得， ∴直线BC解析式为y＝x+3， 令x＝﹣1得y＝2， ∴Q（﹣1，2）． (3)解：过点E作EF⊥x轴于点F，如