22.6 二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质（提高篇）（专项练习）（人教版）.docx

专题22.6 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（巩固篇)（专项练习） 一、单选题 1．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（       ） A． B． C． D． 2．若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，则a的取值范围是（） A．a≥－1 B．a≤－1 C．a>－1 D．a<－1 3．抛物线与y轴的交点为（       ） A． B． C． D． 4．若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在二次函数y＝mx2（m＞0）图象上，则a、b、c的大小关系是（　　） A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 5．已知二次函数有最小值，则有（     ） A．a < 0 B．a > 0 C．a <-2 D．a > -2 6．若a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根，则（a+2）（b+2）的最小值为（　　） A．7 B．10 C．14 D．16 7．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝(　　) A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 9．抛物线，，的图象开口最大的是（       ） A． B． C． D．无法确定 10．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是(   ) A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 11．如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 12．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为 A． B． C． D． 13．抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（       ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴 14．关于二次函数图象，下列叙述正确的有（       ） ①它的图象是抛物线；       ②它的图象有最低点； ③它的图象经过；       ④它的图象开口向上． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 15．若在同一直角坐标系中，作，，的图像，则它们（       ） A．都关于轴对称 B．开口方向相同 C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到 16．下列说法中正确的是（        ） A．抛物线的顶点是原点 B．抛物线的开口向下 C．抛物线的开口向上 D．抛物线的顶点是抛物线的最低点 17．已知：，且点都在函数的图像上，那么的大小关系是（       ） A． B． C． D． 18．已知某函数经过点，，，且，则这个函数的表达式可以是（       ） A． B． C． D． 19．已知二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为（        ） A． B． C． D．2 20．关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x＞10时，y随x的增大而减小；③当－1＜x＜2时，－4＜y＜－1；④若(m，p)、(n，p)是该抛物线上两点，则m＋n＝0.其中正确的说法有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（       ） A．4 B． C．2 D． 22．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（　　） A．2 B． C． D． 23．如图，分别过点Pn(n，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交二次函数 (x＞0)的图象于点An，交直线 (x＞0)于点Bn，则的值为（       ） A． B．2 C． D． 24．如图，菱形ABCD的边长为5cm，AB边上的高DE＝3cm，垂直于AB的直线l从点A出发，以1cm/s的速度向右移动到点C停止若直线l的移动时间为x（s），直线l扫过菱形ABCD的面积为y（cm2），则下列能反映y关于x函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 25．抛物线的图像一定经过__________象限． 26．已知点在二次函数的图象上，那么n的值为______． 27．抛物线y＝ax2经过点（2，﹣3），则a＝___． 28．若抛物线y=ax2经过点A (，－9)，则其解析式为_______________． 29．若是二次函数，且图象的开囗向下，则m的值为______． 30．二次函数的图象与轴交于（2，0），则b=_________． 31．如图，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B（-1，-1），若抛物线与线段AB有交点，则的取值范围是______. 32．若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是________． 33．在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则的大小关系为___________（用“”连接）． 34．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____． 35．抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是________． 36．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序） 37．抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是______．（填“上升”或“下降”） 38．若二次函数有最小值，则m=________. 39．若抛物线的开口向下，则________，对称轴是________． 40．函数y=2x2的图象对称轴是______，顶点坐标是______. 41．在平面直角坐标系中，已知点，点，如果二次函数的图象与线段有交点，那么a的取值范围为__________． 42．已知，二次函数的图象上有三个点，请比较的大小：___________．（用“＜”连接） 43．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 ______y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接） 44．若点、、都在二次函数的图象上，则、、从小到大的关系是__________．（用“”表示）. 45．如图，在平面直角坐标系中，点A(，2)在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上．以CD为边在抛物线内作正方形CDFE，点E，F分别在抛物线上，则线段CD的长为_______． 46．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝_______________． 47．如图，点是轴正半轴上一点，直线平行于轴，分别交抛物线与于两点，过点作轴的平行线交的图像于点，直线，交的图像于点，则_____． 48．如图，正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为__． 三、解答题 49．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标． 50．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 51．根据下列条件求a的取值范围： （1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； （2）函数y＝(3a-2)x2有最大值； （3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同； （4）函数的图象是开口向上的抛物线． 52．已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求： （1）满足条件的k的值； （2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？ 参考答案 1．C 【分析】 本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致． 解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误； B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误； C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确； D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误． 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点． 2．C 【分析】 解：∵若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数， ∴其图象开口应该向上， ∴a+1>0 ，解得a>-1. 故选C. 3．C 【分析】 令x=0，则y=3，抛物线与y轴的交点为（0，3）． 解：令x=0，则y=3， ∴抛物线与y轴的交点为（0，3）， 故选：C． 【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键． 4．B 【分析】 先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离对称轴的远近得到a、b、c的大小关系． 解：∵二次函数y＝mx2（m＞0） ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵A（﹣2，a）、B（﹣1，b）、C（3，c） ∴点C离y轴最远，点B离y轴最近， 而抛物线开口向上， ∴b＜a＜c； 故选：B． 【点拨】本题考查了抛物线的性质，找到对称轴，熟悉函数的增减性是解决本题的关键. 5．D 【分析】 根据二次函数有最小值可知抛物线开口向上，根据二次函数的性质列不等式求出a的取值范围即可得答案. 解：∵二次函数有最小值， ∴图象的开口向上， ∴a+2>0， 解得：a>-2， 故选D. 【点拨】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数y=ax2+bx+x+c(a≠0)，当a>0时，图象的开口向上，y有最小值，当a<0时，图象的开口向下，y有最大值.熟练掌握二次函数的性质是解题关键. 6．D 【分析】 根据方程的系数结合根的判别式△≥0，可得出关于t的一元一次不等式，解之即可得出t的取值范围，根据根与系数的关系可得出a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4，将其代入（a+2）（b+2）＝ab+2（a+b）+4中可用含t的代数式表示出（a+2）（b+2），再利用二次函数的性质即可解决最值问题. 解：∵方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0有实数根， ∴△＝（﹣2t）2﹣4×1×（t2﹣2t+4）≥0， ∴t≥2. ∵a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根， ∴a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4， ∴（a+2）（b+2）＝ab+2a+2b+4＝ab+2（a+b）+4＝t2﹣2t+4+4t+4＝t2+2t+8＝（t+1）2+7. ∵1＞0，t≥2， ∴当t≥2时，（a+2）（b+2）的值随t的增大而增大， ∴当t＝2时，（a+2）（b+2）取得最小值，最小值＝（2+1）2+7＝16. 故选：D. 【点拨】本题主要考查了根的判别式、二次函数的性质、根与系数的关系，准确计算是解题的关键． 7．A 【分析】 求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a=， 观察图象可知≤a≤3， 故选：A． 【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．A 【分析】 根据二次函数的定义，可知二次项系数不等于0，且x的次数等于2，从而得出k的可能值，再根据二次函数有最大值，可知二次项系数为负值，据此可解． 解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2 ∴k≠1，k＝±2，故C错误； ∵有最大值 ∴k﹣1＜0 ∴k＜1 ∴k＝﹣2． 故选A． 【点拨】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，明确相关定义、性质，是解题的关键． 9．A 【分析】 先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答． 解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1）， ∵||＜|1|＜|-3|， ∴抛物线开口最大． 故选A． 【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大． 10．B 【分析】 抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 解：∵3>>, ∴开口最大对应函数是②，其次是③，开口最小对应函数是①,即从里到外的依次是①③②. 故选B. 【点拨】考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽． 11．A 【分析】 求出抛物线经过两个特殊点时的a的值，再根据∣a∣越大，抛物线的开口越小即可解决问题． 解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3， 当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a=， 观察图象可知：， 故选：A． 【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12．A 解：由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越小”分析可得： . 故选A. 【点拨】（1）二次函数的图象的开口方向由“的符号”确定，当时，图象的开口向上，当时，图象的开口向下；（2）二次函数的图象的开口大小由的大小确定，当越大时，图象的开口越小. 13．B 【分析】 根据二次函数的性质即可判断． 解：抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点； 故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴， 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 14．A 【分析】 根据二次函数的图象和性质逐个判断即可． 解：二次函数图象是抛物线；①正确； 函数的图像有最低点；②正确； 函数的图像经过点（0，0）；③正确； 函数的图像开口向上；④正确； ∴正确的选项有4个； 故选：A． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 15．A 解：因为，，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确； 抛物线，的图象开口向上，抛物线的图象开口向下，故选项B错误； 抛物线，的图象不经过原点，故选项C错误； 因为抛物线，，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D选项错误； 故选A. 16．A 【分析】 根据二次函数的性质直接作出选择． 解：A.抛物线的顶点是原点，正确；         B.抛物线的开口不确定，因为a不知是正是负； C.抛物线的开口不确定，因为a不知是正是负； D.抛物线的顶点不确定，因为a不知是正是负， 故选A． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标，对称轴以及开口方向等知识，此题难度不大． 17．B 【分析】 计算对应的函数值，后作差比较大小，判断即可． 解：∵点都在函数的图像上， ∴，，， ∵， ∴-4a＞0，-4a+4＞0，4a＜0，4a+4=4（a+1）＞0， ∴＞0，＜0， ∴，， ∴， 故选B． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确进行作差进行实数大小的比较是解题的关键． 18．B 【分析】 先假设选取各函数，代入自变量求出的值，比较大小即可得出答案． 解： A. 这个函数的表达式可以是时， ， ∴，故选项A不合题意； B. 这个函数的表达式可以是时，       ， ∴，故选项B合题意； C. 这个函数的表达式可以是时， ， ∴，故选项C不合题意； D. 这个函数的表达式可以是时， ， ∴，故选项D不合题意． 故选择B． 【点拨】本题考查利用函数值的大小变化选取函数，函数的性质，掌握函数值的大小变化和函数的性质是解题关键． 19．A 【分析】 根据次数为2可列方程，再根据函数增减性确定m值． 解：根据题意可知，， 解得，， ∵二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得m＜-2， 综上，m=， 故选：A． 【点拨】本题考查了二次函数的定义和增减性，解题关键是根据二次函数的定义列方程，依据增减性确定二次项系数的符号． 20．C 【分析】 直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 解：∵y＝－x2 ∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确； ②对称轴为x=0，当x>10时，y随x的增大而减少，故该项正确； ③当-1<x<2时，-4<y<0，故该项错误； ④若(m，p)、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n=0，故该项正确． 故选：C． 【点拨】此题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 21．B 【分析】 先求出点A、B的坐标由此得到AB的长，由此得到CD的长，点D的坐标，代入解析式即可得到答案． 解：如图，设直线AB交y轴于点E， ∵直线与二次函数交于A、B， ∴当时， ，得， ∴， ∴, ∵， ∴CD=4， 由二次函数的对称性可得CE=DE=2， ∴D（2，2）， 将点D的坐标代入，得8a=2， 解得a=， 故选：B． 【点拨】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是解题的关键． 22．C 【分析】 设点B（x，），构造方程+x=6，确定点B的坐标，计算OB的长度，根据正方形的性质即可得到AC． 解：设点B（x，y） ∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6， ∴AC=BO，+x=6， 解得（舍去）， ∴B（2，4）， ∴BO==， ∴AC=， 故选C． 【点拨】本题考查了二次函数的解析式与点的坐标，正方形的性质，一元二次方程的解法，两点间的距离公式，熟练掌握抛物线的性质，灵活求解方程是解题的关键． 23．A 【分析】 根据题意写出An、Bn 的坐标，然后可得到，从而，然后进行计算即可． 解：由题意可知An、Pn、Bn 的横坐标相同， ∵Pn(n，0)， ∴Bn(n，)，An(n，)， ∴， ， ∴ 故选：A． 【点拨】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标，代数式的化简，得出是解题的关键． 24．C 【分析】 先由勾股定理计算出AE，BE，从而就可以得出0≤x≤4时的函数解析式，排除掉A和D；再得出当4＜x≤5时的函数解析式，进而排除B，从而得正确选项为C． 解：∵菱形ABCD的边长为5cm，AB边上的高DE＝3cm， ∴在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AE＝4cm， ∴BE＝1cm， 当0≤x≤4时，由相似三角形的性质及三角形的面积公式得：y＝＝，从而函数图象应为开口向上的抛物线， 因此排除选项A和D； 当4＜x≤5时，y＝，从而函数图象是直线的一部分，且y随x的增大而增大，因此排除选项B； 综上，排除A，B和D． 故选C． 【点拨】本题是动点函数图象题型，当某部分的解析式好写时，可以写出来，结合排除法，答案还是不难得到的． 25．一、二 【分析】 根据二次项系数大于0，二次函数图象开口向上解答． 解：∵a＞0， ∴抛物线的图象经过坐标原点，且开口方向向上， ∴一定经过第一、二象限. 故答案为一、二. 【点拨】此题考查二次函数的图象，解题关键在于判断图象的开口方向 26．6 【分析】 将代入二次函数的关系式，然后解关于n的方程即可． 解：在二次函数的图象上， 满足二次函数， ，即， 故答案是：6． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象上所经过的点，均能满足该函数的解析式． 27．-． 【分析】 将点（2，﹣3）代入y＝ax2可得关于a的方程，解之可得． 解：将点（2，﹣3）代入y＝ax2，得4a＝﹣3， 解得a＝﹣， 故答案为﹣． 【点拨】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标符合二次函数的解析式． 28．y=-3x2 解：把点A代入：得，，解得：， ∴该抛物线的解析式为：. 29． 【分析】 根据二次函数的定义，令m2−3＝2，求m的值，二次函数图象开口向下，则二次项系数2−m＜0，确定m的值． 解：∵已知函数为二次函数， ∴m2−3＝2， 解得m＝−或， 当m＝时，2−m＝2−＜0，二次函数图象开口向下， 当m＝−时，2−m＝2＋＞0，二次函数图象开口向上，不符合题意， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的定义及性质．二次函数y＝ax2＋bx＋c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．当a＜0时，二次函数图象开口向下． 30．2 【分析】 由题意可得点（2，0）在二次函数图像上，将点的坐标代入二次函数解析式，求出b的值即可． 解：将（2，0）代入可得： 4+2b－8=0， 解得：b=2． 故答案为：2． 【点拨】本题主要考查二次函数的图像以及一元一次方程的求解，将点的坐标代入函数解析式是解题关键． 31． 【分析】 分别把A、B点的坐标代入y=ax2得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 解：把A（-2，-1）代入y=ax2得a=； 把B（-1，-1）代入y=ax2得a=-1， 所以a的取值范围为 故答案为 【点拨】本题考查二次函数的图象上的点的特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 32．a＞2 【分析】 利用二次函数图像的性质直接求解. 解：∵抛物线的开口向上， ∴a-2>0， ∴a＞2， 故答案为a＞2. 【点拨】本题考查二次函数图像的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题关键. 33．． 【分析】 抛物线的开口方向由a的符号决定，开口大小由的绝对值决定，绝对值越大，开口越小． 解：∵二次函数y1=a1x2的开口最大，二次函数y3=a3x2的开口最小， 而抛物线的开口都是向上的，则二次项的系数都为正数， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查二次函数的性质