22.28 二次函数与一元二次方程（知识讲解）（人教版）.docx

专题22.28 二次函数与一元二次方程（知识讲解） 【学习目标】 1. 会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系； 2. 会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系； 3. 经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】 要点一、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 特别说明： 　二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 特别说明： 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 特别说明： 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 要点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 要点四、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 特别说明： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【典型例题】 类型一：抛物线与坐标轴交点坐标 1．已知二次函数表达式为y=x2-4x+1． (1)求出这个二次函数图象的对称轴； (2)求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1)直线x=2(2)与x轴的交点坐标为(2+,0)和(2-,0)，与y轴的交点坐标为（0，1） 【分析】 （1）将抛物线函解析式配成顶点式，即可得出抛物线对称轴； （2）令x=0，求出y值即可得到抛物线与y轴的交点坐标，令y=0，求出x值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标． (1)解：∵y=x2-4x+1=(x-2)2-3， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 答：这个二次函数图象的对称轴为直线x=2； (2)解：令x=0，则y=1， ∴这个二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0,1)， 令y=0，则x2-4x+1=0， 解得：x1=2+，x2=2-， ∴这个二次函数的图象与x轴的交点坐标为(2+,0)和(2-,0)． 【点拨】本题考查二次函数图象性质和图象与坐标轴交点，将函数解析式化成顶点式是解题的关键． 举一反三： 【变式1】 已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)y＝x 2+ x﹣；(2)（0，﹣）． 【分析】 （1）利用待定系数法，把代入函数解析式即可求； （2）令x＝0，求得y的值即可得出结论． (1)解：∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6）， ∴a（﹣5+1）2﹣2＝6． 解得：a＝． ∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）2﹣2，即y＝x 2+ x﹣； (2)解：令x＝0，则y＝×（0+1）2﹣2＝﹣， ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣）． 【点拨】本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键． 【变式2】 已知二次函数y=x2﹣x﹣6．求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积． 【答案】 【分析】 根据二次函数解析式求出二次函数图像与坐标轴的三个交点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可． 解：二次函数y=x2﹣x﹣6， 当时，， 解得：，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的交点为， 与轴的交点为， ∴二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积为． 【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，根据题意求出二次函数与坐标轴的交点坐标是解本题的关键． 类型二：由函数值求自变量的值 2．已知二次函数的图象经过点（，），求当时，的值． 【答案】 【分析】先根据二次函数的图象经过点（，），求出a的值，然后把y=8代入二次函数解析式求解即可得到答案． 解：∵二次函数的图象经过点（，）， ∴， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得． 【点拨】本题主要考查了求二次函数解析式和其二次函数的自变量的值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 举一反三： 【变式1】 已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． （1）求a，b的值； （2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值； （2）将(5，)，(m，)代入解析式，联立即可求得m的值. 解：（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13）， ∴，解得， ∴a的值为1，b的值为-4； （2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点， ∴，解得或（舍去） ∴m的值为-1. 【点拨】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键. 【变式2】 图1是一种数值转换器的示意图，图2是小敏按照其对应关系画出的y关于x的函数图象．已知点A的坐标为（0，3），点B的横坐标为4． （1）求m，n的值和输出y的最小值； （2）当y=5时，求x的值． 【答案】（1）m=3，n=2；y最小=2；（2）x1=6+，x2=6﹣，x3=． 【分析】 （1）根据数值转换器，可得函数解析式，根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点坐标是函数的最值，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得相应自变量的值． 解：（1）由数值转换器，得 y=， 当x=0时，y=m=3， 当x=4时，y=3+3=6，即B（4，6）． 将B点坐标代入y=（x﹣6）2+n，得 4+n=6，解得n=2； 当x=6时，y最小=n=2； （2）当y=5时，x+3=5，解得x=， 当y=5时，（x﹣6）2+2=5，解得x1=6+，x2=6﹣． 【点拨】本题考查了二次函数图象，利用待定系数法求函数解析式是解题关键，又利用了二次函数的性质得出自变量与函数值的对应关系． 类型三：图象法确定一元二次方程的近似根 3、利用二次函数与一次函数的图象，求一元二次方程的近似根． 【答案】． 【分析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数与的图象，它们交点的横坐标的值即为一元二次方程的解． 解：在同一平面直角坐标系中分别作出函数与的图象，如图所示： 由图形可知，二次函数与一次函数的交点坐标是（−0.8，1.2），（1.3，3.3）， 所以一元二次方程的近似根为． 【点拨】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，准确作出函数图象是解题的关键． 举一反三： 【变式1】 利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解，可得一元二次方程的近似根． 解：画出函数的图象（如图），它与x轴的公共点的横坐标大约是，2.7， 所以方程的实数根为 ． 【点拨】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是理解二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解． 【变式2】 从不同角度谈谈你对等式x（x+4）＝5的理解． 【分析】看作一元二次方程或看作分式方程转化得到的一元二次方程；也看作二次函数y＝x2+4x与直线y＝5的交点或一次函数与反比例函数的交点；还可看作边长为x和 x+4，面积为5的矩形等等． 解：①方程：一元二次方程x2+4x﹣5＝0，两根分别为x1＝1，x2＝﹣5； 或 分式方程x+4﹣＝0，两根分别为x1＝1，x2＝﹣5； ②函数：二次函数y＝x2+4x与直线y＝5的交点， 或 一次函数y＝x+4与反比例函数y＝的交点； ③图形：边长为x和 x+4，面积为5的矩形． 【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了函数与方程的关系． 类型四：图象法解一元二次不等式 4、抛物线的图象与x轴交于A，B两点，利用图象解答下列问题： (1)点A，B的坐标分别是A______，B______； (2)若函数值y＞0，则x的取值范围是______； (3)函数值y的最小值是______； 【答案】(1)(﹣2，0)，(2，0)(2)或(3)﹣4 【分析】 （1）根据图象可得到A点坐标，然后由二次函数对称轴为y轴可求出B点坐标； （2）根据图象可得函数值y＞0为x轴上方的图象，然后根据A，B两点的横坐标求解即可； （3）根据图象可得抛物线的最低点坐标为(0，﹣4)，进而可求出函数值y的最小值是﹣4． 解：(1)由图象可得，A点坐标为(﹣2，0)， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴点A和点B关于y轴对称， ∴点B的坐标为(2，0)， 故答案为：(﹣2，0)，(2，0)． (2)由图象可得， 当函数值y＞0时，表示的是x轴上方的图象， ∵A点坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(2，0)， ∴x的取值范围是或． 故答案为：或． (3)由图象可得， 抛物线的最低点坐标为(0，﹣4)， ∴函数值y的最小值是﹣4． 【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，对称性以及最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 举一反三： 【变式1】 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集； （3）求y的取值范围． 【答案】（1）﹣5和1；（2）﹣5＜x＜1；（3）y≤9 【分析】 （1）根据二次函数的图像与轴的交点，即可求解； （2）根据二次函数的图像，即可求解； （3）求得二次函数的解析式，根据二次函数的性质求得最大值，即可求解． 解：（1）如图所示：方程ax2+bx+c=0的两个根为：﹣5和1； （2）如图所示：不等式ax2+bx+c＞0的解集为：； （3）∵抛物线与坐标轴分别交于点A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5）， 设抛物线解析式为：， ∵抛物线过点C（0，5）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵， ∴当时， ， ∴y的取值范围为：． 【点拨】此题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解． 【变式2】 （1）请在坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象． （2）观察图象，回答下列问题： ①直接写出方程x2﹣2x﹣3＝0的根是 ． ②当x 时y时随的增大而增大． ③当y＞0时x的取值范围是 ． 【答案】（1）见分析；（2）①；②；③或． 【分析】 （1）利用五点作图法求出二次函数的顶点坐标，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标以及关于对称轴对称的点的坐标，然后用平滑的曲线连起来即可； （2）①根据图像得到二次函数与x轴的交点坐标，即可求出方程x2﹣2x﹣3＝0的根； ②根据图像可判断出当时，y时随的增大而增大； ③根据图像得到二次函数与x轴的交点坐标，由x轴上方的图像可求出当y＞0时x的取值范围． 解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3， ∴顶点坐标为（1，-4），对称轴为， 当x＝0时，y＝-3， ∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，-3）， ∴点（0，-3）关于对称轴对称的点的坐标为（2，-3）， 当时，，解得：， ∴二次函数与x轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）， 如图所示，用平滑的曲线将点（1，-4），（0，-3），（2，-3），（3，0）和（-1，0）连起来． （2）①由图像可得，二次函数与x轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）， ∴方程x2﹣2x﹣3＝0的根是， 故答案为：； ②由图像可得，二次函数的对称轴为， ∴当时，y时随的增大而增大， 故答案为：； ③由图像可得，二次函数与x轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）， ∴当y＞0时x的取值范围是或． 故答案为：或． 【点拨】此题考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质以及二次函数与一元二次方程的关系． 类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围 5、已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，c是常数，a≠0）经过A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）． (1)求抛物线y＝ax2+bx﹣3的函数解析式； (2)抛物线有两点M（2，y1）、N（m，y2），当y1＜y2时，求m的取值范围． 【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x﹣3(2)﹣4＜m＜2 【分析】 （1）把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3可求出a、b的值，即可确定二次函数关系式； （2）先确定出抛物线对称轴x＝﹣1，进而得出点M的对称点的坐标，即可得出结论． 解：(1)把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3得， 解得， ∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x﹣3； (2)∵y＝﹣x2﹣2x﹣3， ∴抛物线开口向下，对称轴直线x＝＝﹣1， ∴由图象上取抛物线上点Q，使Q与N关于对称轴x＝﹣1对称， ∴点M（2，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣4，y1）， 又∵N（m，y2）在抛物线图象上的点，且y1＜y2， ∴﹣4＜m＜2． 【点拨】本题考查待定系数法求二次函数的关系式，抛物线的对称性，抛物线的增减性，熟知待定系数法是解题的关键． 举一反三： 【变式1】 如图，已知抛物线的对称轴为，请你解答下列问题： (1) ，抛物线与x轴的交点为 ． (2)x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ (3)x取什么值时，． 【答案】(1)m＝2       （2，0）（－1，0）(2)x＞(3)－1＜x＜2 【分析】 （1）利用抛物线的对称轴方程得到−=，解方程得到m的值，从而得到y＝−x2＋x＋2，然后解方程−x2＋x＋2＝0得抛物线与x轴的交点； （2）根据二次函数的性质求解； （3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 解：(1)抛物线的对称轴为直线x＝−=， ∴m＝2， 抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2， 当y＝0时，﹣x2+x+2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0）； 故答案为：2，（﹣1，0），（2，0）； (2)由函数图象可知，当x＞时，y的值随x的增大而减小； (3)由函数图象可知，－1＜x＜2时． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 【变式2】 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图形，求y＞0时自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】 （1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可； （2）根据解析式令，求得点的坐标，进而根据抛物线与轴的交点结合函数图象即可求得y＞0时自变量x的取值范围． (1)解：将点代入抛物线y＝x2+bx+c，得 解得 则抛物线的解析式为： (2)由抛物线的解析式，令 即 解得 ，，且抛物线开口向上， y＞0时自变量x的取值范围为或 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数图象求自变量的范围，数形结合是解题的关键． 类型六：根据交点确定不等式的解集 6、已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0）两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当y＜0时，求x的取值范围． 【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2(2)﹣1＜x＜2 【分析】 （1）利用待定系数法确定函数关系式； （2）结合函数与x轴交点进行判断． (1)解：把A（﹣1，0），B（2，0）两点分别代入y＝x2+mx+n，得 ，解得， 故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x﹣2． (2)解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0）两点，且开口方向向上， ∴当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜2． 【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数关系式，难度不大． 举一反三： 【变式1】 已知：二次函数． (1)通过配方，将其写成的形式； (2)求出函数图象与轴的交点的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围； (4)当________时，随的增大而减少． 【答案】(1)(2)A（-2，0），B（4，0），C（0，4）(3)-2＜x＜4(4)＞1 【分析】 （1）利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； （2）令y=0，解得x的值，可得出函数图象与x轴的交点坐标，令x=0，解得y的值，可得出函数图象与y轴的交点坐标． （3）根据函数的开口方向，与x轴的交点坐标结合图象可得； （4）根据二次函的性质即可求得． (1)解： = = =； (2)令y=0，则， 解得：x=-2或x=4， ∴函数图象与x轴的交点坐标为A（-2，0）和B（4，0）， 令x=0，则y=4， ∴函数图象与y轴的交点坐标为C（0，4）； (3)∵中，， ∴函数图象开口向下， ∵函数图象与x轴交于A（-2，0）和B（4，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是-2＜x＜4； (4)∵， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线x=1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小． 【点拨】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点，二次函数的性质，等知识点，掌握二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k的性质和数形结合思想是解题的关键． 【变式2】 已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标． (2)若点A是抛物线与x轴交点（在y轴右侧），点是抛物线上一点，直线AB的函数表达式为，求满足的x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为(2) 【分析】 （1）根据公式求对称轴，将顶点坐标代入求解的值，进而可得抛物线解析式； （2）画二次函数图象，根据图象与交点可得不等式的解集． (1)解：对称轴为， 将代入抛物线得 解得或（舍去） ∴抛物线的函数表达式为，顶点坐标为． (2)解：如图， 令，解得，或（舍去） ∴ 由图象可知当时，． 【点拨】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，不等式的解集．解题的关键在于对二次函数知识的灵活运用． 类型七：抛物线与x轴交点问题 7、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1． (1)抛物线的对称轴为 　 　，抛物线与y轴的交点坐标为 　 　． (2)试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1一定存在两个交点． 【答案】(1)直线x＝1；（0，﹣1）(2)见分析 【分析】 （1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令x＝0，求得y的值即可求得抛物线与y轴的交点坐标； （2）令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，说明Δ＞0即可． (1)解：∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1， 令x＝0，则y＝﹣1． ∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴的交点为（0，﹣1）． 故答案为：直线x＝1；（0，﹣1）； (2)解：令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1， 整理得：ax2﹣（2a+1）x+1﹣0． ∵△＝[﹣（2a+1）]2﹣4×a×1＝4a2+1＞0， ∴直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 举一反三： 【变式1】 已知二次函数． (1)求证：无论k取任何实数，该函数的图象与x轴总有交点； (2)如果该函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)见分析(2)对称轴为，顶点坐标为 【分析】 （1）计算判别式的值得到＝（k−1）2≥0，然后根据判别式的意义可判断此二次函数的图象与x轴总有交点； （2）由可得的值，进而将二次函数化为顶点式即可求解． 解：(1)证明：令y＝0，则kx2＋（k＋1）x＋1＝0 ∵a＝k，b＝k＋1，c＝1 ∴＝k2−2k＋1 ＝（k−1