21.17 一元二次方程根与系数关系（拓展篇）（人教版）.docx

专题21.17 一元二次方程根与系数关系（拓展篇） （专项练习） 一、单选题 1．已知，是方程的两根，则代数式的值是（       ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0 C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0 3．如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若，是方程的两个实数根，则的值为      A．2015 B． C．2016 D．2019 5．已知=1，则ax2+bx+c=0（　　） A．无实根 B．有两个相等实根 C．有相异的两实根 D．有实根，但不能确定是否一定是相等两实根 6．已知关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，那么的值是（ ） A．5 B．-1 C．5或-1 D．-5或1 7．若，关于的方程的根的情况是（ ） A．有一正根和一负根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．没有实数根 8．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　） A．﹣402 B． C． D． 10．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 11．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 12．关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（　　） A．﹣＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣＜a＜0 二、填空题 13．已知a、b、c均为实数，且，，则______． 14．将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______． 15．设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程的两根，c，d是方程的两根，那么的值为______． 16．关于x的方程x2-kx-2k=0的两个根的平方和为12，则k=________． 17．若，边是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________． 18．关于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根为整数，则实数k=________． 19．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为_____． 20．已知-2是三次方程的唯一实数根，求c的取值范围．下面是小丽的解法: 解：因为-2是三次方程的唯一实数，所以 ，可得， 再由，得出c>2 根据小丽的解法，则b的取值范围是______________． 21．已知等腰△ABC的两边是关于x的方程x²-3mx+9m=0的两根，第三边的长是4，则m=______. 22．已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为和，则=____________ 23．设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值是_____． 24．如图，点是的边的中点，且，设，则的取值范围是__________. 三、解答题 25．定义，若关于x的一元二次方程的两个实数根为（），分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的的衍生点． (1)若方程为，写出该方程的的衍生点M的坐标． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论k（）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由． 26．一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根同为正根； (2)两个根均大于； (3)． 27．关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根 （2）设该方程两个同号的实数根为，，试问是否存在使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 28．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形．顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形． （1）判断： ①在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是_______； ②命题：如图1，在四边形中，，，则四边形是神奇四边形．此命题是________．(填“真”或“假”)命题； ③神奇四边形的中点四边形是_______； （2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，． ①求证：四边形是神奇四边形； ②若，，求的长； （3）如图3，四边形是神奇四边形，若，，、分别是方程的两根，求的值．            参考答案 1．D 【分析】 由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值． 解：∵a与b是方程的两根 ∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0 ∴a2=a+1，b2=b+1 ∵，同理： ∴ 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键． 2．A 【分析】 根据题意，先要表示出AD、AC的长，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出DE=BE=CE，则AC=AE+CE，求出AD、AC之后，根据韦达定理判断以它们的长为根的一元二次方程． 解：∵AB⊥BE，BD⊥BC， ∴∠ABE＝∠DBC＝90°， 在Rt△ABE中，a2+b2＝c2， ∵DE＝BE＝a， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵∠EBD+∠EBC＝90°，∠EDB+∠C＝90°， ∴∠EBC＝∠C， ∴CE＝BE＝a， ∴AC＝AE+CE＝c+a， ∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c，AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2， ∴以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2﹣2cx+b2＝0． 故选：A． 【点拨】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用数形结合的方法，先表示出线段长度再根据韦达定理判断原方程． 3．D 【分析】 先将无理方程化为一元二次方程，根据根的判别式可求得，再根据根与系数关系可求得，由此可得p的取值范围． 解：∵， ∴，， ∵方程有两个不同的实数解， ∴， 解得：． 又∵方程的两根， ∴，即， ∴， 故选：D． 【点拨】本题考查无理方程，一元二次方程根的判别式，根与系数关系．需注意本题中容易忽略由一个数的算术平方根是非负数，得出，从而根据根与系数关系得出． 4．C 【分析】 根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论． 解：是方程的两个实数根，，即，则． 故选C． 【点拨】本题考查了方程的解的概念及韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键． 5．D 【分析】 将已知方程整理可得c=b﹣2003a（a≠0），要判断一元二次方程根的情况，即要计算Δ的正负，将c=b﹣2003a代入Δ=b2﹣4ac中，结合完全平方公式判断Δ的正负即可. 解：∵=1， ∴c=b﹣2003a（a≠0）， ∴Δ=b2﹣4ac= b2﹣4a（b﹣2003a）= b2﹣4ab+4×2003a2=（b﹣2a）2≥0， ∴方程有实数根，但不能确定是否一定是相等的两个实数根. 故选D. 【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及完全平方公式. 6．B 【分析】 设方程的两个根为x1、x2，则x12+x22=7，根据方程根与系数的关系可知x1、x2的和与积，列出方程即可求出m的值. 解：设方程的两个根为x1、x2，则x12+x22=7， ∵x1、x2，是方程x2-mx+2m-1=0的两个根， ∴x1+x2=m，x1x2=2m-1， ∴（x1+x2）2= x12+x22+2 x1x2=m2， ∴m2-2(2m-1)-7=0， 解得：m=5或m=-1， ∵方程有两个实数根， ∴（- m）2-4（2 m -1）= m 2-8 m+4≥0， 解得m≥4+2 或m≤4-2． ∴m=5舍去，m=-1， 故选B. 【点拨】本题考查一元二次方程判别式的性质及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和判别式的性质是解题关键. 7．B 【分析】 根据根的判别式与0的关系判断出根的情况，再根据根与系数的关系判断根的正负即可． 解：方程的△=（4k+1）2-4×2（2k2-1）=8k+9， ∵k＞1， ∴△＞17， ∴方程有两不相等的实数根． ∴x1+x2= ＞>0， x1·x2=＞>0 ， ∴方程的两根为正根． 故选B． 【点拨】本题考查了根与系数的关系及根的判别式：①一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根；②根与系数的关系为：x1+x2=−，x1·x2=． 8．D 【分析】 设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论． 解：设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2． ①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0， ∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n， ∴这两个方程的根都是负根，①正确； ②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0， ∴m2-2n≥0，n2-2m≥0， ∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确； ③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n， ∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1， ∵y1、y2均为负整数， ∴（y1+1）（y2+1）≥0， ∴2m-2n≥-1． ∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m， ∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1， ∵x1、x2均为负整数， ∴（x1+1）（x2+1）≥0， ∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1． ∴-1≤2m-2n≤1，③成立． 综上所述：成立的结论有①②③． 故选D． 【点拨】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点． 9．C 解：将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，,又5m2+2010m+9=0， ∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==． 故选C 10．B 解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，可得：α•β=﹣6，α+β=3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0， 故选B． 11．A 【分析】 把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可 解：，， 看作以上方程的两个不同的根， 即是方程的两根， 故，即 故选A 【点拨】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键． 12．D 【分析】 根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1-1）（x2-1）＜0，x1x2-（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围． 解：∵方程有两个不相等的实数根， 则a≠0且△＞0， 由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0， 解得， 又∵x1＜1＜x2， ∴x1-1＜0，x2-1＞0， 那么（x1-1）（x2-1）＜0， ∴x1x2-（x1+x2）+1＜0， ，x1x2=9， 即， 解得， 综上所述，a的取值范围为：. 故选D． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．根与系数的关系为：. 13．4 【分析】 先变形得到a+b=4，ab=2c2-4c+10，再根据根与系数的关系，a、b可看作是方程x2-4x+2c2-4c+10=0的两实数解，配方后可得（x-2）2+2（c-）2=0，得到x=2，c=，然后计算abc的值即可； 解：∵a+b=4，ab=2c2-4c+10 ∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-4c+10=0的两实数解 ∴（x-2）2+2（c-）2=0 ∴x-2=0或c-=0 解得x=2，c= ∴ab=2×3-4×+10=4 ∴abc=4×=4 故答案为：4． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．学会观察算式形式，正确写出一元二次方程是解决本题的关键． 14．     4；     -3 【分析】 利用（）与方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出，设（），得，根据方程有正数解可知，求出t的取值范围即可求出的最大值． 解：根据新的定义可知，方程（）可变形为， ∴， 展开，， 可得，， ∴； ∵，， ∴， ∵方程（）有两个根为、， ∴，且， ∴， 设（），得， ∵方程有正数解， ∴， 解得，即， ∴． 故答案为：4，-3． 【点拨】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到是解题的关键． 15． 【分析】 由根与系数的关系得，，两式相加得，根据一元二次方程根的定义可得，可得，同理可得，两式相减即可得，根据,求得，进而可得 解：由根与系数的关系得，，两式相加得．        因为是方程的根，所以，又， 所以①                     同理可得②                     ①-②得． 因为，所以，所以． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键． 16．2 【分析】 设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2，根据根与系数的关系可求出x1+x2=k，x1•x2=-2k．再利用完全平方式可知，即可得到方程，解出方程．再利用根的判别式求出k的取值范围，舍去不合题意的解即可． 解：设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2， 则x1+x2=k，x1•x2=-2k． ∵原方程两实数根的平方和为12， ∴， ∴，即． 解得：，． ∵方程有两实数根， ∴，即， ∴或． ∴舍去． 综上． 故答案为：2． 【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，熟记一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的公式是解答本题的关键． 17．2024 【分析】 根据根与系数的关系以及等式的性质即可求出答案． 解：是一元二次方程的两个实数根， 【点拨】题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解． 18．0或1或 【分析】 分情况讨论，假设或，当时，原式是一元一次方程必有根，当时，利用根与系数的关系公式求出根的可能性，从而求出k的值． 解：若，则是方程的根， 若，根据根与系数的关系，得，， 两式相减得，则， 不妨设， 若，，解得，，此时，， 若，，解得，，此时，， 综上：k的值为0或1或． 故答案是：0或1或． 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系公式． 19． 【分析】 运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可． 解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c， 依题意可得 x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0， ∴x＝4，x2﹣6x+m＝0， 设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b， ∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9， 根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4， ①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2 ∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）； ②a为斜边时，c2+b2＝a2， 42+（6﹣a）2＝a2， a＝ ，b＝6﹣a＝ ， ∴m＝ab＝ = 故答案为． 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的综合运用，先由根与系数的关系得到另外两边的关系，再结合勾股定理列出方程。本题的关键是分类讨论。 20．b>-3 【分析】 小丽的解法为待定系数法，先左边展开，根据多项式相等可知：，b=n+2m，再依据题意可知，所设二次方程无解，故代入可得b的取值范围． 解：因为-2是三次方程的唯一实数，所以， 则 可得m=-2，n=c， 再由 4-4n<0，n>1 n-4>-3， 又∵b=n+2m=n-4 b>-3 故答案为：b>-3． 【点拨】本题是高次方程，考查了高次方程解的情况，解题思路是降次，根据一元二次方程和一次方程解的情况进行解答． 21．4或 【分析】 等腰三角形ABC中4可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，①4是底时，关于x的方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，从而求出m,再根据三角形的边不能是零，舍去；②4是腰时，则方程有一个根是4，代入即可求得m的值. 解：当4是底边时，则关于x的方程有两个相等的实数根， ∴ ， 解得，或 （舍去） 当4是腰时，则方程有一个根是4，把x=4代入方程得， 解得： 综上所述，m的值为4或 故答案为4或 【点拨】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 22．±6 【分析】 先利用两根分别表示出错误的方程为：对于甲：设，得： ；对于乙：设，得：，乙的错误不可能是看错了一次项系数的符号，分两种情况：①若乙看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相等；②若乙看错了常数项的符号，那么甲和乙的方程里面一次项相等，常数项互为相反数，则正确的方程为，求代数式的值即可. 解：对于甲：设 得： 对于乙：设 得： 分情况讨论： ①若乙看错了二次项系数的符号，那么 解得：，不符合题意，舍去 ②若乙看错了常数项的符号，那么 解得： 则 ③若乙看错了一次项项的符号，那么 解得： 则 故答案为±6 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较大，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键. 23．9. 【分析】 由韦达定理得出α+β=2，αβ=1﹣m，将|α|+|β|=6左右两边同时平方，利用完全平方公式对方程进行转化， 转化为关于α+β、αβ的形式，分类讨论，解出m的值即可. 解：由韦达定理可得α+β=2，αβ=1﹣m， ∵|α|+|β|=6， ∴（|α|+|β|）2=36， 即（|α|）2+（|β|）2+2|α|·|β|=36， α2+β2+2|α·β|=36， （α+β）2﹣2α·β+2|α·β|=36， 4﹣2（1﹣m）+2|1﹣m |=36， 当1﹣m≥0时，方程无解； 当1﹣m＜0时，方程的解为m=9. 故答案为9. 【点拨】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记常见的转换公式是解题的关键． 24． 【分析】 根据“点是的边的中点，且”得出AB的长度以及△ABC是直角三角形，设出AC和BC的值，得到一个一元二次方程，根据根的判别式求出x的取值范围，即可得出答案. 解：∵点是的边的中点，且 ∴AB=4，△ABC是直角三角形 故x=AC+BC>AB=4 令AC=a，BC=b ∴ ∴ ∴a，b是关于y的一元二次方程的两个实数根 ∴ 即：. 综上所述，x的取值范围是：. 【点拨】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式．解题时，还利用了一元二次方程的根与系数的关系这一知识点．. 25．(1)M(0，3) (2) (3)， 【分析】 （1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题； （2）先整理一元二次方程为一般形式，再根据过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得原方程有两个相等的实数根或原方程的两个实数根互为相反数，从而可得答案； （3）先证明过定点，求解定点的坐标即为的坐标，再利用根与系数的关系解决问题即可． (1)解：∵， ∴x（x-3）=0， 解得：，， 故方程x2-3x=0的衍生点为M（0，3）． (2)解： 整理得： 设方程的两根分别为、， 且 由于过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围成一个正方形， 当时， ， 整理得： 此时方程无解， 当时，则， ， 解得 (3)解：存在． 理由如下： 直线 直线过定点， ∴x2+bx+c=0两个根为， ∴，， ∴，． 【点拨】本题考查一次函数过定点问题、一元二次方程根的判别式的应用、一元二次方程的根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 26．(1) (2) (3)或 【分析】 （1）由一元二次方程有两个正根，可列不等式组，再解不等式组即可； （2）由一元二次方程两个均大于1，可得 即再结合根与系数的关系列不等式，结合，从而可得答案； （3）由可得 结合求解 再利用 再解方程求解的值，再