21.27 解一元二次方程39题（拓展篇）（人教版）.docx

专题21.27 解一元二次方程39题（拓展篇）（专项练习） 一、解答题 1．解方程： 2．解方程． 3．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 4．解方程． 5．用适当方法解下列方程： （1）；    （2）； （3）； （4）若为整数，； 6．解关于的方程：． 7．解方程： (1)； (2)； (3)． 8．先阅读下面的内容，再解决问题 例题：若m+2mn+2n-6n+9=0，求m和n的值． 解：∵m+2mn+2n-6n+9=0 ∴m+2mn+n+n-6n+9=0 ∴(m+n)+(n-3)=0 ∴m+n=0，n-3=0 ∴m=-3，n=3 问题（1）若x+2y-2xy-4y+4=0，求x的值 （2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a+b=10a+8b-41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围． 9．阅读下列材料： 解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0…①， 解这个方程得：y1＝1，y2＝5． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝5时，x2＝5，∴x＝± 所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为　 　；求出x （2）利用换元法解方程：＝2． 10．解方程： 11．解方程： 12．解方程： -2（x+1）=3 13．按要求解方程： （1）直接开平方法： 4(t-3)2=9(2t-3)2 （2）配方法：2x2-7x-4=0 （3）公式法：   3x2+5(2x+1)=0      （4）因式分解法：3(x-5)2=2(5-x) （5）abx2-(a2+b2)x+ab=0 (ab≠0)        （6）用配方法求最值：6x2-x-12 14．（1）解方程组：            （2） 15．已知，求的值 16．阅读理解： 解方程：． 解：方程左边分解因式，得 ， 解得，，． 问题解决： （1）解方程：． （2）解方程：． （3）方程的解为 ． 17．解方程 （1）                                   （2） （3）                            （4） 18．若实数a,b分别满足和，求的值 19．用适当的方法解方程 ． 20．阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2–3|x|+2=0． 解：设|x|=y，则原方程可化为：y2–3y+2=0． 解得：y1=1，y2=2． 当y=1时，|x|=1，∴x=±1； 当y=2时，|x|=2，∴x=±2． ∴原方程的解是：x1=1，x2=–1，x3=2，x4=–2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：x4–10x2+9=0． (2)解方程：–=1． (3)若实数x满足x2+–3x–=2，求x+的值． 21．解方程：. 22．解方程：. 23．解方程： 24．已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于的一元二次方程的解． 25．解方程时，有一位同学解答如下： 这里， ∴． ∴． ∴． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果． 26．观察下列方程： ①；②；③； ④；⑤；… 上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程的值均为1． （1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同． （2）对于一般形式的一元二次方程（a≠0，≥0），能否作出一个新方程，使与相等？若能，请写出所作的新的方程（，需用a，b，c表示），并说明理由；若不能，也请说明理由． 27．解方程： （）． （）． 28．解关于x的一元二次方程：． 29．解方程： (1)x(x＋8)＝16;    (2)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 30．已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解． 31．解方程 （1）x2+4x﹣5＝0 （2）（x﹣3）（x+3）＝2x+6． 32．解方程：(x＋1)(x－1)＝2x. 33．解方程：（3x+1）2=9x+3． 34．如果x2－4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值． 35．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016． 36．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0. 37．用适当的方法解方程 (1)                     (2) (3)                  (4) 38． 解方程： （1） （2） 39．解方程：． 参考答案 1． 【分析】 将原方程整理，移项，令，然后解关于t的一元二次方程，获得t的值，代回原方程即可求解． 解： 移项，整理得： 令，原式变为 解得，（舍去） ∴，即 解得， 故答案为 ，． 【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令，然后解关于t的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根． 2．，，，． 【分析】 将化为，设，则原方程可化为，解得，，即：或，分别求解即可得到结果． 解：∵， ∴ ∴ 设，则原方程可化为， 化简得： ∴ ∴，， 即：或 解之得：，，或，， 经检验，，，，都是原方程得解， 则原方程得解为：，，，． 【点拨】本题考查了换元法解分式方程和解一元二次方程，熟悉相关解法是解题的关键． 3．（1），，，；（2），． 【分析】 （1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=，求解即可． （2）同理，令，即原方程=，求解即可． 解：（1）设， 得：， 解得：，． 当时，，解得：， 当时，，解得：，． ∴原方程的解为，，，． （2）设，则方程可变成， ∴， ，． 当时，，所以无解． 当时，， ∴， ∴，． 经检验，是原方程的解． 【点拨】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键． 4． 【分析】 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得，然后设，解得y的值，最后解得x的值． 解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 （x2+5x-14）（x2+5x+4）=19． 设，① 则（y-9）（y+9）=19， 即y2-81=19． 解得，将y1、y2的值代入①式得， 或， 解得． 【点拨】本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法降次解之，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心． 5．（1），；（2），；（3）；（4）， 【分析】 （1）先把方程化为系数为整数的一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解即可； （2）根据两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可； （3）采用从外往里逐步去分母的方法，同时把其中系数为小数的数化为分数，最后变为系数为整数的一元一次方程，解方程即可； （4）逆用同底数幂的乘法及幂的乘方，转化为关于的一元二次方程，用换元法解即可． 解：（1）原方程化简得： 分解因式得： 即2x－5=0或x－12=0 ∴， （2）由题意得：x－5=±(2x－7) 即x－5=2x－7或x－5=－（2x－7） ∴， （3）方程两边同乘3，得： 即 方程两边同乘12，得： 即 即 方程两边同乘4，得： 即114x=－149 即： （4）原方程可化为： 设，则方程可化为： 即(X－16)(X－4)=0 ∴， 当时，， 当时，， 即原方程的解为， 【点拨】本题是解一元二次方程、含绝对值的方程、一元一次方程及含指数的方程，题目有一定的难度，重要的是转化思想及换元思想的应用． 6．当时，方程的解为：当时，方程的解为：当时，方程无解. 【分析】 先把方程变形为再分解因式可得再分两种情况解一元二次方程即可. 解：把原方程变形为： 解得：或 当时，则 当时，即 方程的解为： 当时，则 当时，即 方程的解为： 综上：当时，方程的解为：当时，方程的解为：当时，方程无解. 【点拨】本题考查的是利用因式分解法解高次方程，一元二次方程根的判别式的应用，熟练的进行因式分解是解本题的关键. 7．(1)(2)或(3) 【分析】 （1）利用拆项分组的方法把左边分解因式，再化为一次方程即可； （2）分四种情况去绝对值，化为一元一次方程，再解一元一次方程即可； （3）先整理为关于的一元二次方程，根据根的判别式求解 再代入原方程求解即可. (1)解： 解得： (2)解： 当时，原方程为： 即 解得： 经检验符合题意； 当时，原方程为： 即 解得：，经检验不符合题意舍去， 当时，原方程为： 即 解得： 经检验不符合题意，舍去， 当时，原方程为： 即 解得：，经检验符合题意； 综上：方程的解为或 (3)解： 整理为： 则 所以原方程化为： 解得： 所以方程的解为： 【点拨】本题考查的是利用因式分解解高次方程，分段去绝对值符号解绝对值方程，利用一元二次方程根的判别式解二元二次方程，熟练的掌握解方程的合适的方法是解本题的关键. 8．（1）4；（2）5≤c＜9． 【分析】 （1）将原式变形为x2-2xy+y2+y2-4y+4=0，得到：（x-y）2+（y-2）2=0，利用非负数的性质求得x、y，从而确定代数式的值； （2）根据a2+b2=10a+8b-41，可以求得a、b的值，由a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的最长边，可以求得c的值，本题得以解决． 解：（1）∵x2+2y2-2xy-4y+4=0， ∴x2-2xy+y2+y2-4y+4=0   ∴（x-y）2+（y-2）2=0   ∴x-y=0，y-2=0 ∴x=2，y=2   ∴xy=22=4   （2）∵a2+b2=10a+8b-41， ∴a2-10a+25+b2-8b+16=0 ∴（a-5）2+（b-4）2=0 ∴a-5=0，b-4=0 ∴a=5，b=4 ， ∵a，b，c是△ABC的三边， ∴c的取值为：1＜c＜9   又∵c是△ABC中最长的边，且a=5 ∴c的取值为：5≤c＜9． 【点拨】本题考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确配方法和三角形三边的关系． 9．（1）y2﹣4y﹣12＝0，x1＝-2，x2＝3；（2）x1＝1+，x2＝1﹣ 【分析】 （1）直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果； （2）设y=把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x的值． 解：（1）设y＝x2﹣x，原方程可变形为：y2﹣4y﹣12＝0 故答案为：y2﹣4y﹣12＝0 ， ∴， ∴或， ∴或 解得：x1＝-2，x2＝3． （2）设y＝，则， 原方程变形为：， 去分母，得y2﹣2y+1＝0， 即（y﹣1）2＝0 解得，y1＝y2＝1 经检验，y＝1是分式方程的根． ∴＝1， 即x2﹣2x﹣4＝0 解得：x1＝1+，x2＝1﹣． 经检验，1±是分式方程的根． ∴原分式方程的解为：x1＝1+，x2＝1﹣． 【点拨】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根． 10．当时，原方程的解是，当时，原方程无实数解 【分析】 先移项，再合并同类项可得，根据求出，再讨论时，，分别计算出方程的解. 解：移项得：， 化简得：， ， ， 当时，， 原方程无实数解， 当时，， ， 当时，原方程的解是 当时，原方程无实数解． 【点拨】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键. 11．原方程的解为或 【分析】 令，将方程转化为，解出或，再代回中，即可解答． 解：令，则原方程转化为：， 整理得：， 解得：或， 经检验：或都是方程的根， 当时，即， 去分母得：，解得：或 经检验，或是方程的根， 当时，， 去分母得：， 整理得： ∵， ∴方程无解， 综上，原方程的解为或． 【点拨】本题考查了利用换元法解分式方程，解题的关键是通过换元将方程转化为． 12． 【分析】 先将 -2（x+1）=3化成 -2（x+1）-3=0,再将x+1当作一个整体运用因式分解法求出x+1,最后求出x． 解：∵ -2（x+1）=3化成 -2（x+1）-3=0 ∴（x+1-3）(x+1+1)=0 ∴x+1-3=0或x+1+1=0 ∴ 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法,掌握整体换元法是解答本题的关键． 13．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）时，有最小值 【分析】 （1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）等式两边同时除以2，然后移项，将常数项移到等式右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再开方求解即可； （3）整理为一般式后，代入求根公式求解即可； （4）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （6）将原式进行配方变形即可得出答案． 解：（1）4(t-3)2=9(2t-3)2 开方得：， ∴或， ∴； （2）2x2-7x-4=0 方程两边同时除以2得： ， ， ， ， ， ∴； （3）3x2+5(2x+1)=0      方程整理为一般式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ （4）3(x-5)2=2(5-x) 方程变形为：， ∴， ∴， ∴； （5）abx2-(a2+b2)x+ab=0         ， ∵， ∴， ∴； （6）6x2-x-12， ∴当时，原式有最小值． 【点拨】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法是解此题的关键． 14．（1）或；（2）. 【分析】 （1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出，再代入第一个方程可求出y的值，然后将y的最代入第二个方程可求出x的值，从而可得方程组的解； （2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可. 解：（1） 由②可得： 两边平方化简得：，即 代入①得：，即 解得：或 将代入②得：，解得： 将代入②得：，解得： 故原方程组的解为：或； （2） 去括号化简得：，即 得：，解得： 将代入①得：，解得： 故原方程组的解为. 【点拨】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键. 15． 【分析】 根据一元二次方程跟与系数的关系可得：x+y=1，xy=-2，对代数式进行因式分解变形整体代入即可. 解：根据题意得： x+y=1，xy=-2 ∴ ∴ 【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式的求值，能根据根与系数的关系求出x与y的和与积，并能根据公式对算式进行分解变形是关键. 16．（1），，；（2），，，；（3），． 【分析】 （1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可； （3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可． 解：（1）， ∴， ∴，， 解得：，，； （2）， ∴， ∴，， 解得：，，，； （3）， 整理得：， 开方得：， ∴，， 解方程得：，； 方程中，此方程无解， 所以原方程的解为：，， 故答案为，． 【点拨】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键． 17． 【分析】 (1)       方程变形后，利用平方根的定义开立方即可求出解; (2)       把x-1看作一个整体，再把方程变形后，利用立方根的定义开立方即可求出解; (3)       把x-2看作一个整体，在利用平方根的定义开方即可求出解; (4)       根据立方根的定义解答即可; 解：（1）∵36x2-16=0， ∴36x2=16， ∴; （2）∵ , ∴, ∴, ∴ . （3）∵, ∴, ∴, ∴, ∴ . （4）∵; ∴ ; ∴ . 【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义． 18． 【分析】 把a、b看作方程的两个根，根据根与系数的关系得到，得出，利用二次根式的性质化简，然后利用整体代入的方法进行计算即可. 解：∵实数a,b分别满足和 ∴a、b看作方程的两个根， ∴ ∴ ∴ 【点拨】本题主要考查根与系数的关系以及二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键. 19．． 试题分析：先移项，再因式分解后，变为ab=0，解方程即可. 解：， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 20．(1)x=±1或x=±3；(2)x=1或x=–；(3)x+=4． 【分析】 （1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，解方程求得a的值，再求x的值即可；（2）设=m，则原方程可化为m–=1，即m2–m–2=0，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解；（3）设x+=y，则原方程可化为y2–3y–4=0，解方程求得y的值，即可求得x+的值． 解：（1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0， 即（a–1）（a–9）=0， 解得：a=1或a=9， 当a=1时，x2=1，∴x=±1； 当a=9时，x2=9，∴x=±3； （2）设=m，则原方程可化为m–=1，即m2–m–2=0， ∴（m+1）（m–2）=0， 解得：m=–1或m=2， 当m=–1时，=–1，即x2+x+1=0，由Δ=1–4×1×1=–3＜0知此时方程无解； 当m=2时，=2，即2x2–x–1=0，解得：x=1或x=–， 经检验x=1和x=–都是原分式方程的解； （3）设x+=y，则原方程可化为：y2–2–3y=2，即y2–3y–4=0， ∴（y+1）（y–4）=0， 解得：y=–1或y=4， 即x+=–1（方程无解，舍去）或x+=4， 故x+=4． 【点拨】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 21．或． 【分析】 利用换元法，根据方程的特点设，则原方程可化为，解方程求y，再求x即可. 解：设，则原方程可化为 解得，或． 当时，，解得,. 当时，，方程无解． 经检验,都是原方程的根， ∴原方程的根是,. 【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根 22．或． 【分析】 根据方程的特点用完全平方公式将分式化为，设，原方程化为解一元二次方程求y，再求x即可. 解：. ， ， 设，原方程化为 解得，. 当时，，方程无解，后者解得或． 当时，，解得或． 经检验：或都是原方程的根， ∴原方程的根是,. 【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 23．x＝－1. 【分析】 设，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解． 解：设，则， 原方程化成， 解这个方程，得，， 当y＝1时，=1，即．由知，此方程无实根， 当y＝－2时，，即， 解得 经检验，x＝－1是原分式方程的解. 原方程的解为x＝－1. 【点拨】此题考查了换元法方程，关键是利用进行转化，进而设，将原方程转化为一元二次方程． 24．或 【分析】 先求出a的值，再代入求出方程的解即可. 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得或， 当时，，化简得，解得或， 当时，两个二次根式不是最简二次根式故舍弃. 故答案为：或. 【点拨】本题主要考查了同类二次根式及因式分解法，解题的关键是正确的求出a的值. 25．见解析. 【分析】 这位同学没有把方程化为一般式就使用了求根公式，导致c的值错误，整个解题错误. 解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式，c应为，结果是． 【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程公式法应用的前提是解决此题的关键. 26．（1）答案不唯一，如；（2）能，见解析. 【分析】 （1）先根据已知条件每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同这个条件，再根据根的判别式即可求出答案. （2）根据（1）可得出一个新方程，使与相等. 解：（1）答案不唯一，如 ； （2）能，所作的新方程为 ． 通过观察可以发现． 【点拨】本题主要考查了根的判别式，解题时要找出规律，得出新的方程是此题的关键. 27．(1) ，．(2) ，． 解：分析：（1）先移项，化为一元二次方程的一般式，然后根据公式法求解即可； （2）根据因式分解法把方程化为ab=0的形式进行解答即可. （）． 解：原式可化为， ， ∴， ∴，． （）． 解：， ， ∴，． 【点拨】此题主要考查了一元