专题24.8 正多边形与圆【十大题型】（人教版）（原卷版）.docx

专题24.8 正多边形与圆【十大题型】 【人教版】 【题型1 正多边形与圆中求角度】 1 【题型2 正多边形与圆中求线段长度】 3 【题型3 正多边形与圆中求半径】 4 【题型4 正多边形与圆中求面积】 5 【题型5 正多边形与圆中求周长】 6 【题型6 确定正多边形的边数】 6 【题型7 正多边形与圆中的实际应用】 7 【题型8 正多边形与圆中的规律问题】 8 【题型9 正多边形与圆中求最值】 10 【题型10 正多边形与圆中的证明】 11 【知识点1 正多边形与圆】 （1）正多边形的有关计算 中心角 边心距 周长 面积 为边数；为边心距；为半径；为边长 （2）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为 【题型1 正多边形与圆中求角度】 【例1】（2022春•株洲期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（　　） A．36° B．45° C．48° D．60° 【变式1-1】（2022•长春一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AF上，则∠CMD的大小为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【变式1-2】（2022春•福州期中）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 　 　． 【变式1-3】（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为 　　 　度． 【题型2 正多边形与圆中求线段长度】 【例2】（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（　　） A．33 B．32 C．332 D．3 【变式2-1】（2022秋•西城区期末）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（　　） A．4 B．8 C．22 D．42 【变式2-2】（2022•德城区模拟）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（　　） A．3−13 B．13−1 C．13+1 D．23−1 【变式2-3】（2022•凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　） A．22：3 B．2：3 C．3：2 D．3：22 【题型3 正多边形与圆中求半径】 【例3】（2022春•临海市期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆把以OA为半径的大圆O的面积三等分，这两个圆的半径分别为OB，OC．则OA：OB：OC的值是（　　） A．3：2：1 B．9：4：1 C．3：2：1 D．3：6：2 【变式3-1】（2022•虹口区二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的半径是 　 　． 【变式3-2】（2022•钦州模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AC，已知AC＝6，则圆的半径是（　　） A．3 B．6 C．23 D．43 【变式3-3】（2022•碑林区校级模拟）如图：⊙O与正六边形ABCDEF的两边AB和EF相切于点B和点E两点，若正六边形的边长是3，则⊙O的半径长是（　　） A．1 B．3 C．2 D．3 【题型4 正多边形与圆中求面积】 【例4】（2022•泗水县三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．83 B．123 C．16 D．163 【变式4-1】（2022秋•宣化区期末）如图，已知⊙O的周长等于6π，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　） A．2732 B．2734 C．934 D．273 【变式4-2】（2022•庐阳区校级一模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为（　　） A．334 B．3 C．534 D．23 【变式4-3】（2022秋•庐江县期末）⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（　　） A．2 B．3 C．22 D．23 【题型5 正多边形与圆中求周长】 【例5】（2022•和平区一模）如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（　　） A．22：3 B．2：1 C．2：3 D．1：3 【变式5-1】（2022•鼓楼区校级模拟）正六边形的周长为12，则它的外接圆的内接正三角形的周长为（　　） A．23 B．33 C．63 D．6 【变式5-2】（2022秋•梅河口市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 　 　cm． 【变式5-3】（2022•旌阳区模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的周长是（　　） A．9+33 B．12+63 C．18+33 D．18+63 【题型6 确定正多边形的边数】 【例6】（2022•宽城县一模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在AB上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【变式6-1】（2022秋•滨江区期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式6-2】（2022•息烽县二模）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【变式6-3】（2022秋•钢城区期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．15 【题型7 正多边形与圆中的实际应用】 【例7】（2022•安国市一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（　　） A．11.125mm B．22.25mm C．8928mm D．8938mm 【变式7-1】（2022秋•门头沟区期末）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是　 　　米． 【变式7-2】（2022秋•东城区期末）斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 　 　　尺． 【变式7-3】（2022•清苑区一模）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm．目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案； （1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是　 　　cm． （2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为 　13　cm． 【题型8 正多边形与圆中的规律问题】 【例8】（2022秋•椒江区校级月考）已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作： 将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（　　） A．2.2 B．﹣2.2 C．2.3 D．﹣2.3 【变式8-1】（2022秋•铁锋区期末）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 　 　． 【变式8-2】（2022•江西模拟）如图，我们把先作正方形ABCD的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A1B1C1D1．称为第一次数学操作，接下来，作正方形A1B1C1D1的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A2B2C2D2，称为第二次数学操作，按此规律如此下去，…，当完成第n次数学操作后，得到正方形AnBn∁nDn，则AnBnAB的值为（　　） A．（22）n B．（12）n C．（32）n D．（34）n 【变式8-3】（2022•威海）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（　　） A．24329 B．81329 C．8129 D．81328 【题型9 正多边形与圆中求最值】 【例9】（2022•南山区三模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为8π，MN＝2，则△AMN周长的最小值是（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式9-1】（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（　　） A．211−2 B．213−2 C．6 D．43 【变式9-2】（2022•浙江自主招生）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点（不与A、B重合），点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，则△GBH周长的最小值为　 　． 【变式9-3】（2022秋•广陵区期末）如图，⊙O半径为2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在ADC上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为　 　． 【题型10 正多边形与圆中的证明】 【例10】如图，⊙O的内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BE相交于点F． （1）求∠BAC的度数． （2）求证：四边形CDEF为菱形． 【变式10-1】已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB． 求证：五边形AEBCD是正五边形． 【变式10-2】（2022•河南模拟）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形PEQB为平行四边形； （2）填空： ①当t＝　　 　s时，四边形PBQE为菱形； ②当t＝　　 　s时，四边形PBQE为矩形． 【变式10-3】（2022•张家口一模）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为BC上一动点，求证：PA＝PB+PC． 下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法． 证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE ∵△ABC是正三角形 ∴AB＝CB ∵∠1和∠2的同弧圆周角 ∴∠1＝∠2 ∴△ABE≌△CBP （2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为BC上一动点，求证：PA＝PC+2PB． （3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．