专题22.2 二次函数的图象【六大题型】（人教版）（原卷版）.docx

专题22.2 二次函数的图象【六大题型】 【人教版】 【题型1 二次函数的配方法】 1 【题型2 二次函数的五点绘图法】 3 【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 6 【题型4 二次函数图象的平移变换】 7 【题型5 二次函数图象的对称变换】 8 【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】 9 【知识点1 二次函数的配方法】 y=ax2+bx+ca≠0 =ax2+bax+ca ①提取二次项系数； =ax2+bax+b2a2−b2a2+ca ②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方； =ax+b2a2+4ac−b24a2 ③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项; =ax+b2a2+4ac−b24a2 ④化简：去掉中括号. 二次函数的一般形式y=ax2+bx+ca≠0配方成顶点式y=ax+b2a2+4ac−b24a2，由此得到二次函数对称轴为，顶点坐标为． 【题型1 二次函数的配方法】 【例1】（2022秋•饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1）y=12x2﹣2x+3； （2）y＝（1﹣x）（1+2x）． 【变式1-1】（2022•西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点坐标． （1）y＝2x2﹣8x+7； （2）y＝﹣3x2﹣6x+7； （3）y＝2x2﹣12x+8； （4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）． 【变式1-2】（2021•邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝a（x+m）2+k的形式，并写出他们顶点坐标及最大值或最小值． （1）y＝﹣2x﹣3+12x2 （2）y＝﹣2x2﹣5x+7 （3）y＝ax2+bx+c（a≠0） 【变式1-3】（2022•监利市期末）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题 例如：因为5a2≥0，所以5a2+1≥1，即：当a＝0时，5a2+1有最小值1．同样，因为﹣5（a2+1）≤0，所以﹣5（a2+1）+6≤6有最大值1，即当a＝1时，﹣5（a2+1）+6有最大值6． （1）当x＝　　时，代数式﹣3（x﹣2）2+4有最　　（填写大或小）值为　　． （2）当x＝　　时，代数式﹣x2+4x+4有最　　（填写大或小）值为　　． （3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是14m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【知识点2 二次函数的五点绘图法】 利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 【题型2 二次函数的五点绘图法】 【例2】（2022•东莞市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当x＝6时，求y的值； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象． 【变式2-1】（2022•竞秀区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3 （1）求出该抛物线顶点坐标． （2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象． x … … y … … 【变式2-2】已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过（﹣1，1）． （1）求出这个函数的表达式； （2）画出该函数的图象； （3）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【变式2-3】（2022•越秀区模拟）如图，已知二次函数y=−12x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x轴的另一个交点； （3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴． 【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 ① 二次项系数：总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． ②一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置，对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” ③常数项：总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 【例3】（2022春•玉山县月考）函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022•邵阳县模拟）二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022•凤翔县一模）一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022•澄城县三模）已知m，n是常数，且n＜0，二次函数y＝mx2+nx+m2﹣4的图象是如图中三个图象之一，则m的值为（　　） A．2 B．±2 C．﹣3 D．﹣2 【知识点4 二次函数图象的平移变换】 （1）平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2）平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【题型4 二次函数图象的平移变换】 【例4】（2022•绍兴县模拟）把抛物线y＝ax2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝（x﹣3）2+5，则a+b+c＝　　． 【变式4-1】（2022•澄城县二模）要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（　　） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【变式4-2】（2022秋•滨江区期末）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 　　． 【变式4-3】（2022•澄城县二模）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2，将该二次函数的图象沿y轴向下平移k个单位，使其经过点（0，﹣1），则k的值为（　　） A．3 B．4 C．2 D．6 【知识点5 二次函数图象的对称变换】 （1）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （2）关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； （4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 【题型5 二次函数图象的对称变换】 【例5】（2022•绍兴县模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（　　） A．﹣5 B．3 C．5 D．15 【变式5-1】（2022•苍溪县模拟）抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为 　　　　　　． 【变式5-2】（2022•蜀山区校级二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2 【变式5-3】（2022春•仓山区校级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）与抛物线L2关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（　　） A．﹣1或3 B．1或﹣2 C．1或3 D．1或2 【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】 【例6】（2022•苍溪县模拟）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（　　） A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝0 【变式6-1】（2022•合肥模拟）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于　　． 【变式6-2】（2022•襄城区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数图象上，求n的值为 　　． 【变式6-3】（2022•公安县期中）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣1，根据下列条件求m的值． （1）图象的顶点在y轴上． （2）图象的顶点在x轴上． （3）二次函数的最小值是﹣1．