专题24.3 垂径定理【十大题型】（人教版）（解析版）.docx

专题24.3 垂径定理【十大题型】 【人教版】 【题型1 利用垂径定理求线段长度】 1 【题型2 利用垂径定理求角度】 5 【题型3 利用垂径定理求最值】 9 【题型4 利用垂径定理求取值范围】 13 【题型5 利用垂径定理求整点】 18 【题型6 利用垂径定理求面积】 22 【题型7 垂径定理在格点中的运用】 26 【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 33 【题型10 垂径定理的应用】 37 【知识点1 垂径定理及其推论】 （1）垂径定理      垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论      推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．      推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．      推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【题型1 利用垂径定理求线段长度】 【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝213，则CD的长为（　　） A．1 B．3 C．2 D．4 【分析】由垂径定理得出AC＝BC＝4，连接BE，由∠CBE＝90°及CE长度求出BE＝6，在Rt△ABE中求出AE＝10，从而得出半径OA＝OD＝5，再在Rt△AOC中求出OC，从而得出答案． 【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8， ∴AC＝BC＝4， 如图，连接BE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵CE＝213， ∴BE=CE2−BC2=(213)2−42=6， 则AE=AB2+BE2=82+62=10， ∴AO＝OD＝5， 在Rt△AOC中，OC=AO2−AC2=52−42=3， 则CD＝OD﹣OC＝2， 故选：C． 【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　） A．6 B．62 C．8 D．82 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决． 【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示， 则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°， 又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16， ∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8， ∴四边形OEPF是矩形，OE＝6， 同理可得，OF＝6， ∴EP＝6， ∴OP=62+62=62， 故选：B． 【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　） A．5 B．23 C．42 D．22+3+1 【分析】因为∠AED＝30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为3，进而求得OE＝3﹣1＝2，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF=12OE＝1，再根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出CD的长． 【解答】解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO， ∵AE＝5，BE＝1， ∴AB＝6， ∴⊙O的半径为3， ∴OE＝3﹣1＝2． ∵∠AEC＝30°， ∴OF＝1， ∴CF＝22， ∴CD＝2CF＝42， 故选：C． 【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 　23　． 【分析】先证明△AFO和△BCE是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5列方程，求出x得到AD=3，从而得解． 【解答】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT． ∵D为半径OA的中点，CD⊥OA， ∴FD垂直平分AO， ∴FA＝FO， 又∵OA＝OF， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°， ∵CE＝CB，CT⊥EB， ∴ET＝TB， ∵BE＝2AE， ∴AE＝ET＝BT， ∵AD＝OD， ∴DE∥OT， ∴∠AOT＝∠ADE＝90°， ∴OE＝AE＝ET， ∵OA＝OB， ∴∠OAE＝∠OBT， ∵AO＝BO，AE＝BT， ∴△AOE≌△BOT（SAS）， ∴OE＝OT， ∴OE＝OT＝ET， ∴∠ETO＝60°， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°， ∴△CEB是等边三角形， ∴CE＝CB＝BE， 设DE＝x， ∴AE＝2x，BE＝CE＝4x， ∴CD＝5x＝5， ∴x＝1， ∴AD=3， ∴AO＝23． 故答案为：23． 【题型2 利用垂径定理求角度】 【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（　　） A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30° 【分析】设圆的半径是r，作直径BD，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，再由直角三角形的性质即可解答． 【解答】解：如图，设圆的半径是r，则AO＝r，BO＝r，作直径BD，作BC⊙O的弦BC，使∠DBC＝30°，作BC关于直径BD的对称线段BE， 连接EC，BE，ED，AC， 直角△BED中，可以得∠EBD＝30°， ∵线段BE与线段BC关于直线BD对称， ∴BC＝BE， ∴BD垂直平分线段CE， ∴DE=CD， ∴∠CBD＝30°而∠BCA=12∠AOB＝45°． 在△ABC中，∠OAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO＝15°． 同理，当E为C时，∠OAC＝75°． 故∠OAC的度数为15°或75°． 故选：A． 【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 【分析】如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DE=12PT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明∠AOB＝90°，即可解决问题． 【解答】解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT． ∵OA⊥PC，OB⊥CT， ∴CD＝DP，CE＝TE， ∴DE=12PT， ∴当PT是直径时，DE的长最大， 连接OC， ∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT， ∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT， ∴∠AOB＝∠COA+∠COB=12∠POT＝90°， 故选：B． 【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=2． （1）求弦AB的长； （2）求∠CAB的度数． 【分析】（1）连接OB，先由垂径定理得OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，再由勾股定理求出BE=2，即可求解； （2）先证△BOE是等腰直角三角形，得∠BOC＝45°，再由圆周角定理即可求解． 【解答】解：（1）连接OB，如图所示： ∵半径OC过弦AB的中点E， ∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2， ∴BE=OB2−OE2=22−(2)2=2， ∴AB＝2BE＝22； （2）由（1）得：BE＝OE，OC⊥AB， ∴△BOE是等腰直角三角形， ∴∠BOC＝45°， ∴∠CAB=12∠BOC＝22.5°． 【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE． （1）若AB＝6，求DE的长； （2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数． 【分析】（1）根据垂径定理得到AB=AC，则AC＝AB＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE的长； （2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出∠C＝40°，然后利用ED＝EC得到∠CDE＝∠C＝40°． 【解答】解：（1）∵BC⊥OA， ∴AB=AC，∠ADC＝90°， ∴AC＝AB＝6， ∵点E为AC的中点， ∴DE=12AC＝3； （2）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BAC＝100°， ∴∠C=12（180°﹣100°）＝40°， ∵点E为AC的中点， ∴ED＝EC， ∴∠CDE＝∠C＝40°． 【题型3 利用垂径定理求最值】 【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（　　） A．12 B．1 C．32 D．2 【分析】因为CD⊥OC交⊙O于点D，连接OD，△OCD是直角三角形，则CD=OD2−OC2，因为半径OD是定值，当OC取得最小值时线段CD取得最大值． 【解答】解：连接OD， ∵CD⊥OC交⊙O于点D， ∴△OCD是直角三角形， 根据勾股定理得CD=OD2−OC2， ∵半径OD是定值， ∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD=OB2−OC2， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC=12AB=12， ∴CD=OB2−OC2=BC=12． 故选：A． 【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则 S△PAB的最大值为（　　） A．1 B．233 C．334 D．332 【分析】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD＝BD，AC=BC，再根据OD＝DC可得到OD=12OA=12，所以AD=32，由勾股定理，则AB=3．△PAB底AB不变，当高越大时面积越大，即P点到AB距离最大时，△APB的面积最大．则当点P为AB所在优弧的中点时，此时PD＝PO+OD＝1+12=32，△APB的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：连接OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴AD＝BD， ∵OD＝DC， ∴OD=12OA=12， ∴AD=OA2−OD2=32，AB＝2AD=3． 当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+12=32． ∴△APB的面积的最大值为=12AB⋅PD=12×3×32=334． 故选：C． 【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 　83　． 【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD＝25，则利用面积法可计算出AH＝36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为43，然后根据垂径定理可判断MN的最大值． 【解答】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， 在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=202+152=25， ∵12×AH×BD=12×AD×AB， ∴AH=20×1525=12， ∵⊙O的直径为16， ∴⊙O的半径为8， ∴点O在AH上时，OH最短， ∵HM=OM2−OH2， ∴此时HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4， 则最大值为82−42=43， ∵OH⊥MN， ∴MN＝2MH， ∴MN的最大值为2×43=83． 故答案为：83． 【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　） A．910 B．65 C．85 D．125 【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值． 【解答】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM， ∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE， ∴OC=12DE=32， 只有C、O、G三点在一条直线上OG最小， ∵OM=32， ∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值， 过C作CF⊥AB于F， ∴G和F重合时，MN有最大值， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB=BC2+AC2=32+42=5， ∵12AC•BC=12AB•CF， ∴CF=AC×BCAB=4×35=125， ∴OG＝CF﹣OC=125−32=910， ∴MG=OM2−OG2=(32)2−(910)2=65， ∴MN＝2MG=125， 故选：D． 【题型4 利用垂径定理求取值范围】 【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（　　） A．8＜m≤45 B．45＜m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m＜10 【分析】连接PD，DF，OC，BD，利用垂径定理可得AB是CD的垂直平分线，则PC＝PD；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论． 【解答】解：连接PD，DF，OC，BD，如图， ∵CD⊥AB，BA为⊙O的直径， ∴CE＝ED=12CD＝4， ∵OC=12AB＝5， ∴OE=OC2−CE2=3， ∴BE＝OE+OB＝8． ∴BD=BE2+DE2=45． ∵P是直径AB上的动点，CD⊥AB， ∴AB是CD的垂直平分线， ∴PC＝PD． ∵m＝PC+PF， ∴m＝PD+PF， 由图形可知：PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号）， ∵点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合， ∴DC＜DF≤直径， ∴8＜m≤10． 故选：C． 【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围． 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE＝BE=12AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论． 【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB， ∵AB＝8cm， ∴AE＝BE=12AB=12×8＝4cm， ∵⊙O的直径为10cm， ∴OB=12×10＝5cm， ∴OE=OB2−BE2=52−42=3cm， ∵垂线段最短，半径最长， ∴3cm≤OP≤5cm． 【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP＝5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有 　4　条． 【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝24，即可得出答案； ②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP， 则弦AB即为所求； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短， 连接OA，如图2所示： ∵OP⊥AB， ∴AP＝BP=OA2−OP2=132−52=12， ∴AB＝2AP＝24， ∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26； ②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24， ∴长度为25的弦有两条， ∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条， 故答案为：4． 【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d． （1）求AB的长； （2）如果点P只有两个时，求d的取值范围； （3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积． 【分析】（1）连接OA，根据勾股定理求出AH，根据垂径定理得出即可； （2）求出HC和HD的值，结合图形得出即可； （3）先找出符合条件时的位置，求出三角形的高和底边，根据三角形的面积公式求出即可． 【解答】解：（1） 连接OA，如图1， ∵点O到弦AB的距离OH＝3， ∴AB⊥OC， ∴∠OHA＝90°，AB＝2AH， 在Rt△AHO中，OA＝5，OH＝3，由勾股定理得：AH＝4， ∴AB＝2AH＝8； （2） 延长CO交⊙O于D，如图2， ∵CH＝5﹣3＝2，HD＝5+3＝8， ∴点P只有两个时d的取值范围是2＜d＜8； （3） 如图3，∵CH＝5﹣3＝2，HD＝5+3＝8， ∴点P有且只有三个时，d＝2， 如图，P在C、E、F处，连接OE， ∵OC⊥AB，AB∥EF， ∴OC⊥EF， ∴EF＝2EM， ∵OE＝5，OM＝5﹣2﹣2＝1，CM＝2+2＝4， ∴由勾股定理得：EM=52−12=26； ∴EF＝2EM＝46， ∴S△CEF=12×EF×CM=12×46×4＝86 即点P有且只有三个时，连接这三个点所得到的三角形的面积是86． 【题型5 利用垂径定理求整点】 【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（　　） A．1个 B．3个 C．6个 D．7个 【分析】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可． 【解答】解：∵CD是直径， ∴OC＝OD=12CD=12×10＝5， ∵AB⊥CD， ∴∠AMC＝∠AMD＝90°， ∵AM＝4.8， ∴OM=52−4．82=1.4， ∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6， ∴AC=4．82+6．42=8，AD=4．82+3．62=6， ∵AM＝4.8， ∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6， A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8， 直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个， 故选：C． 【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，求出AB长，再利用三角形边之间的关系进而得出AO≤AP≤AB，即可得出答案． 【解答】解：连接OA， ∵OC⊥AB于点C，OB＝5，OC＝3， ∴BC=52−32=4， ∴AB＝2×4＝8， ∵AO≤AP≤AB， ∴5≤AP≤8， ∴AP的长度不可能是：9（答案不唯一）． 故选：D． 【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 　3　，⊙C上的整数点有 　12　个． 【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO＝BO＝4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可． 【解答】解：过C作直径UL∥x轴， 连接CA，则AC=12×10＝5， ∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB＝8， ∴AO＝BO＝4，∠AOC＝90°， 由勾股定理得：CO=AC2−OC2=52−42=3， ∴ON＝5﹣3＝2，OM＝5+3＝8， 即A（﹣4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，﹣2）， 同理还有弦QR＝AB＝8，弦WE＝TS＝6，且WE、TS、QR都平行于x轴， Q（﹣4，6），R（4，6），W（﹣3，7），E（3，7），T（﹣3，﹣1），S（3，﹣1），U（﹣5，3），L（5，3）， 即共12个点， 故答案为：3；12． 【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，由OC＝3，OA＝5，得到PC＝2，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，则还有两个点M，N到直线AB的距离为3． 【解答】解：过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，如图， ∴OC＝3， 而OA＝5， ∴PC＝2，即点P到直线AB的距离为2； 在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形， ∴在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为2． 故选：B． 【题型6 利用垂径定理求面积】 【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（　　） A．2 B．1 C．32 D．22 【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则△AOB、△COD分别为等边三角形，等腰直角三角形，进而可得到AB、CD长；再过点O作OH⊥EF于点H，根据垂径定理可得EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，根据锐角三角形函数可求出FH，进而可得EF；再根据AB2+CD2＝EF2可判断以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，即可求出其面积． 【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则∠AOB＝60°，∠COD＝90°，∠EOF＝120°， 在Rt△COD中，CD=12+12=2． ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝1， 过点O作OH⊥EF于点H，则EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°， ∴FH＝1×32=32． ∴EF＝2FH=3． ∵12+(2)2=(3)2，即AB2+CD2＝EF2， ∴以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形， ∴其面积为：12×2×1=22． 故选：D． 【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为　96　． 【分析】先连接OH，根据BD＝12得出OD长，那么可得到圆的半径为OD+DF，利用三角形全等可得菱形边长等于圆的半径，再根据勾股定理求出OA的长，由S菱形ABCD＝4S△AOD即可得出结论． 【解答】解：如图：连接OH， ∵BD＝12，DF＝4 ∴⊙O的半径r＝OD+DF=12BD+DF=12×12+4＝10， ∴OH＝10 在Rt△HOD与Rt△ADO中，OD＝OD，AO＝HD，∠AOD＝∠HDO＝90° ∴△AOD≌△GDO， ∴OH＝AD＝10， 在Rt△AOD中， ∵AD＝10，OD＝6， ∴OA=AD2−OD2=102−62