专题22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】（人教版）（原卷版）.docx

专题22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】 【人教版】 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 2 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 4 【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 6 【题型4 二次函数中求线段最值】 10 【题型5 二次函数中求线段和差最值】 18 【题型6 二次函数中求周长最值】 32 【题型7 二次函数中求面积最值】 42 【题型8 二次函数在新定义中求最值】 52 【知识点1 二次函数的最值】 1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）： （1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值． （2）若，如图②，当，；当，． （3）若，如图③，当，；当，． （4）若，，如图④，当，；当，． 2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小． 【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 【例1】（2022秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为　 　（用含m的式子表示）． 【变式1-1】（2022秋•河西区期末）当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（　　） A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4 【变式1-2】（2022秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下： 解：当x＝﹣1时，y＝1； 当x＝2时，y＝4； 所以函数y的最小值为1，最大值为4． 小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程． 【变式1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1． （1）求b+c的值． （2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值． （3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． 【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 【例2】（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（　　） A．±16 B．−16或12 C．−16或23 D．16或2 【变式2-1】（2022秋•龙口市期末）已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1时，y的最大值为10，则a的值为 　　． 【变式2-2】（2022•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（　　） A．3 B．9 C．293 D．253 【变式2-3】（2022•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（　　） A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3 【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 【例3】（2022•宁阳县一模）当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（　　） A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2 【变式3-1】（2022•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）． 【变式3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t时，函数的最大值是6，求t的值； （3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围． 【变式3-3】（2022•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点（2，c）． （1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标． （2）当t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t的值． 【题型4 二次函数中求线段最值】 【例4】（2022•黔东南州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值； （3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（2022•太原一模）综合与实践 如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E． （1）求直线AC的函数表达式； （2）求线段DE的最大值； （3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 【变式4-2】（2022•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在第一象限，连接AM，BM．当线段PM最长时，求△ABM的面积； （3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（2022春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式； （1）过点P作PE⊥AC于点E，求22PE的最大值及此时点P的坐标； （2）将抛物线y＝ax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【题型5 二次函数中求线段和差最值】 【例5】（2022春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=−34x2−94x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C． （1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标； （3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р的坐标，并请直接写出|NP﹣BP|的最大值． 【变式5-1】（2022•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9． （1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标； （2）当m＝﹣3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N． ①若点P是x轴上的动点，求PN﹣PM的最大值及对应的点P的坐标； ②设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（2022•建华区二模）综合与实践 如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y=12x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t＞0）交x轴于点F． （1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标； （2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为：　 　； （3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标； （4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q． ①当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值； ②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值． 【题型6 二次函数中求周长最值】 【例6】（2022•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E． （1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标； （2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标； （3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】（2022•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA． （1）求抛物线的表达式； （2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值； （3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标． 【变式6-3】（2022•黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），直线l：y=−12x−4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长． 【题型7 二次函数中求面积最值】 【例7】（2022•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求点A的坐标； （2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D． ①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值； ②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由． 【变式7-1】（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E． （1）求证OC=12OE； （2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=−12时，求△CMN的周长的最小值； （3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由． 【变式7-2】（2022秋•九龙坡区校级月考）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−38x2+34x+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，当四边形PACB面积最大时，S△BPQS△OAQ=　　． 【变式7-3】（2022•大庆三模）如图，已知抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝CD． （1）求抛物线及直线DE的函数表达式； （2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标及△GDF面积的最大值； 【题型8 二次函数在新定义中求最值】 【例8】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−2，−2），……都是和谐点． （1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）． ①求a，c的值； ②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围． 【变式8-1】（2022•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”． 如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）． （1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 　　，面积为 　　； ②若m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值； （2）若点P在直线y＝﹣2x+5上． ①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围； ②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标； （3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式． 【变式8-2】（2022•碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 问题发现： （1）如图1，筝形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，若AC+BD＝12，求筝形ABCD的面积的最大值； 问题解决： （2）如图2是一块矩形铁片ABCD，其中AB＝60厘米，BC＝90厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH，要求点E是AB边的中点，点F、G、H分别在BC、CD、AD上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFGH的面积最大值，若不存在，请说明理由． 【变式8-3】（2022春•崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）． （1）若A为（3，﹣2），O为坐标原点，则d（O，A）＝　　； （2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形； （3）若M（1，1），点N为抛物线y＝x2﹣1上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”．