专题23.2 旋转章末题型过关卷（人教版）（解析版）.docx

第23章 旋转章末题型过关卷 【人教版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2022•湖北）在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（　　） A．（4，1） B．（4，﹣1） C．（5，1） D．（5，﹣1） 【分析】先利用B，C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标，再画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′，然后写出点A′的坐标即可． 【解答】解：如图，A点坐标为（0，2）， 将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的A′的坐标为（5，﹣1）． 故选：D． 2．（3分）（2022•宁津县二模）如图，将Rt△ABC（∠B＝25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　） A．65° B．80° C．105° D．115° 【分析】由三角形的外角性质得出∠BAB1＝∠C+∠B＝115°，即可得出结论． 【解答】解：∵C，A，B1在同一条直线上，∠C＝90°，∠B＝25°， ∴∠BAB1＝∠C+∠B＝115°．故选：D． 3．（3分）（2022•焦作二模）若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法．正确的是（　　） ①对称点的连线必过对称中心； ②这两个图形一定全等； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等； ④将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合． A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【分析】根据（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． （2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案． 【解答】解：根据分析可得：①对称点的连线必过对称中心，正确； ②中心对称的两个图形一定全等，正确； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等，正确； ④根据定义可得此说法正确； ①②③④均符合题意． 故选：D． 4．（3分）（2022春•邯郸校级期末）如图，平面直角坐标系内Rt△ABO的顶点A坐标为（3，1），将△ABO绕O点逆时针旋转90°后，顶点A的坐标为（　　） A．（﹣1，3） B．（1，﹣3） C．（3，1） D．（﹣3，1） 【分析】画出旋转后图形的位置，根据A点坐标可得OB、AB的长度，从而确定对应线段的长度，根据旋转后A点所在象限，确定其坐标． 【解答】解：将△ABO绕O点逆时针旋转90°后，位置如图所示． ∵A（3，1），∴OB＝3，AB＝1． ∴OB′＝3，A′B′＝1． ∵A′在第二象限， ∴A′（﹣1，3）． 故选：A． 5．（3分）（2022秋•明山区校级月考）将点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（　　） A．（2，6） B．（2，﹣6） C．（2，﹣3） D．（2，0） 【分析】首先利用平移变化规律得出P1（﹣2，6），进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标． 【解答】解：∵点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1， ∴P1（﹣2，6）， ∵点P2与点P1关于原点对称， ∴P2的坐标是：（2，﹣6）． 故选：B． 6．（3分）（2022•香坊区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（　　） A．50° B．60° C．40° D．30° 【分析】根据旋转的性质得知∠A＝∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解． 【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80° ∴∠A＝∠C，∠AOC＝80° ∴∠DOC＝80°﹣α ∵∠A＝2∠D＝100° ∴∠D＝50° ∵∠C+∠D+∠DOC＝180° ∴100°+50°+80°﹣α＝180° 解得α＝50° 故选：A． 7．（3分）（2022•涪城区校级自主招生）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠AA′B′＝20°，则∠BAA′的度数是（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 【分析】由旋转的性质可得AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，由等腰直角三角形的性质可求∠CA'B'＝25°＝∠BAC，即可求解． 【解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′ ∴AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'， ∴∠CAA'＝∠CA'A＝45°，且∠AA′B′＝20°， ∴∠CA'B'＝25°＝∠BAC， ∴∠BAA'＝∠BAC+∠CAA'＝70° 故选：A． 8．（3分）（2022秋•海拉尔区校级月考）下列是中心对称图形的有（　　） （1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）正方形；（5）平行四边形；（6）矩形；（7）等腰梯形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】把一个图形绕一点旋转180度，能够与原来的图形重合，则这个点就叫做对称点，这个图形就是中心对称图．依据定义即可进行判断． 【解答】解：由中心对称图形的概念可知，（1）（4）（5）（6）是中心对称图形，符合题意； （2）（3）（7）不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 故中心对称的图形有4个． 故选：C． 9．（3分）（2022春•洪雅县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（　　） A．65° B．75° C．85° D．130° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝105°，根据平行线的性质求出∠DAB即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣55°﹣20°＝105°， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC＝105°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE+∠DAB＝180°， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75° ∴旋转角α的度数是75°， 故选：B． 10．（3分）（2022春•龙岗区期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为3+1，则AB的值为（　　） A．2 B．43 C．23 D．4 【分析】由“SAS”可证△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，则点N在与AN成30°的直线上运动，当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN， ∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点， ∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC， ∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE=3AE， ∴∠BED＝∠CEF， 在△BDE和△NFE中， BE=EN∠BED=∠NEFDE=EF， ∴△BDE≌△NFE（SAS）， ∴∠N＝∠CBE＝30°， ∴点N在与AN成30°的直线上运动， ∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值， ∴AF'=12AN， ∴3+1=12（AE+3AE）， ∴AE＝2， ∴AC＝4， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2022春•崂山区期末）如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转　60　度，会和原图案重合． 【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【解答】解：∵360°÷6＝60°， ∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：60． 12．（3分）（2022•荆州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有　4　种． 【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质与定义，进而得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示：这个格点正方形的作法共有4种． 故答案为：4． 13．（3分）（2022•涪城区校级自主招生）如图，直线y=−33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　（23，4）　． 【分析】利用直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长，然后判断出∠BAO＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2OB，根据旋转角是60°得到AB′⊥x轴，然后写出点B′的坐标即可． 【解答】解：令y＝0，则−33x+2＝0， 解得x＝23， 令x＝0，则y＝2， ∴点A（23，0），B（0，2）， ∴OA＝23，OB＝2， ∴∠BAO＝30°， ∴AB＝2OB＝2×2＝4， ∵△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′， ∴∠BAB′＝60°， ∴∠OAB′＝30°+60°＝90°， ∴AB′⊥x轴， ∴点B′（23，4）． 故答案为：（23，4）． 14．（3分）（2022•瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为　（2，1）　． 【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案． 【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0）， ∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1）， ∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分， ∴对称中心的坐标为（2，1）， 故答案为：（2，1）． 15．（3分）（2022秋•台州期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，若以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°后，点B落在B'处，则BB'为　45cm　． 【分析】根据旋转的性质，即可得OB＝OB′，即BB′＝2OB，又由在等腰△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，O是AC的中点，利用勾股定理即可求得OB的长，继而求得答案． 【解答】解：根据旋转的性质，可得：OB＝OB′， ∵在等腰△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm， ∴AC＝BC＝4cm， ∵O是AC的中点， ∴OC=12AC＝2cm， ∴在Rt△BOC中，OB=BC2+OC2=25（cm）， ∴BB′＝2OB＝45cm． 故答案为：45cm． 16．（3分）（2022•咸宁一模）在平面直角坐标系中，直角△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），∠AOB＝60°，每一次将△AOB绕点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，依次类推，则点B2022的坐标为 　（﹣1，−3）　． 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：由题意B（1，3）， 第一次旋转后B1（−3，1）， 第二次旋转后B2（﹣1，−3）， 第三次旋转后B3（3，﹣1）， 第四次旋转后B4（1，3）， 发现四次一个循环， ∵2022÷4＝505•••2， ∴点B2022的坐标为（﹣1，−3）， 故答案为：（﹣1，−3）． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（2022春•昌图县期末）如图所示，将△ABC置于平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣3，2），C（﹣2，1） （1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1．并写出点A1的坐标； （2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）画出以点O为对称中心，与△ABC成中心对称的△A3B3C3，并写出点A3的坐标； 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后描点即可得到△A2B2C2，从而得到点A2的坐标； （3）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A3、B3、C3的坐标，然后描点即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣1，﹣1）； （2）如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为（4，1）； （3）如图，△A3B3C3为所作，点A3的坐标为（1，﹣4）． 18．（6分）（2022春•梁平区期末）在网格中画对称图形． 图1是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图2、图3、图4中（只需各画一个，内部涂上阴影）； ①是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②是中心对称图形，但不是轴对称图形； ③既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画出图形． 【解答】解：①如图2； ②如图3； ③如图4． 19．（8分）（2022•湖北）如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE＝CF； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 【分析】（1）先由旋转的性质得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，则∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，利用AB＝AC可得AE＝AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE＝CD； （2）由菱形的性质得到DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB＝∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE＝∠BAC＝45°，所以∠AEB＝∠ABE＝45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=2AC=2，于是利用BD＝BE﹣DE求解． 【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC， ∵AB＝AC， ∴AE＝AF， ∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴BE＝CF； （2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1， ∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE， ∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°， ∴∠AEB＝∠ABE＝45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE=2AC=2， ∴BD＝BE﹣DE=2−1． 20．（8分）（2022秋•息县期末）如图①，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE． （1）BD与CE的数量关系是：BD　＝　CE． （2）把图①中的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图②所示的图形． ①求证：BD＝CE． ②若延长DB交EC于点F，则∠DFE与∠DAE的数量关系是什么？并说明理由． （3）若AD＝8，AB＝5，把图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤360°），直接写出BD长度的取值范围． 【分析】（1）利用线段的差直接得出结论； （2）①利用旋转得出∠DAE＝∠BAC，进而得出∠DAB＝∠EAC，判断出△DAB≌△EAC，即可得出结论； ②由△DAB≌△EAC，得出∠ADB＝∠AEC，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论； （3）判断出点B在线段AD上时，BD最小，点B在DA的延长线上时，BD最大，即可得出结论． 【解答】解：（1）＝， 理由：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴AD﹣AB＝AE﹣AC， ∴BD＝CE， 故答案为：＝； （2）①证明：由旋转的性质，得∠DAE＝∠BAC． ∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE， 即∠DAB＝∠EAC． ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△DAB≌△EAC（SAS） ∴BD＝CE． ②∠DFE＝∠DAE．理由： ∵△DAB≌△EAC， ∴∠ADB＝∠AEC． ∵∠AOD＝∠EOF， ∴180°﹣∠ADB﹣∠AOD＝180°﹣∠AEC﹣∠EOF， ∴∠DFE＝∠DAE． （3）当点B在线段AD上时，BD最小＝AD﹣AB＝3， 当点B在DA的延长线上时，BD最大＝AD+AB＝13， ∴3≤BD≤13． 21．（8分）（2022•日照）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证： （1）EA是∠QED的平分线； （2）EF2＝BE2+DF2． 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案； （2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案． 【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°， ∴∠QAE＝45°， ∴∠QAE＝∠FAE， 在△AQE和△AFE中 AQ=AF∠QAE=∠FAEAE=AE， ∴△AQE≌△AFE（SAS）， ∴∠AEQ＝∠AEF， ∴EA是∠QED的平分线； （2）由（1）得△AQE≌△AFE， ∴QE＝EF， 由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF， ∠ADF+∠ABD＝90°， 则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°， 在Rt△QBE中， QB2+BE2＝QE2， 又∵QB＝DF， ∴EF2＝BE2+DF2． 22．（8分）（2022•焦作二模）已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB． （1）问题发现 如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为　BD＝AE　，BD、AB、CB之间的数量关系为　BD+AB=2CB　． （2）拓展探究 当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． （3）解决问题 当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2时，CB＝　6−2　． 【分析】（1）过点C作CE⊥CB，得到∠BCD＝∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可． （2）过点C作CE⊥CB于点C，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形，即可得出结论； （3）先判断出△ACE≌△BCD，CE＝BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到BD=2BH＝2，求出BH，再用勾股定理即可． 【解答】解：（1）如图1，过点C作⊥CB交MN于点E， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠ACB，∠BCD＝90°﹣∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵DB⊥MN， ∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D＝360°， ∴∠BAC+∠D＝180°， ∵∠CAE+∠BAC＝180°， ∠CAE＝∠D， ∵AC＝DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE＝DB，CE＝CB， ∵∠ECB＝90°， ∴△ECB是等腰直角三角形， ∴BE=2CB， ∴BE＝AE+AB＝DB+AB， ∴BD+AB=2CB； 故答案为：BD＝AE，BD+AB=2CB； （2）如图2，过点C作⊥CB交MN于点E， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵DB⊥MN， ∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD， ∵∠AFB＝∠CFD， ∴∠CAE＝∠D， ∵AC＝DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE＝DB，CE＝CB， ∵∠ECB＝90°， ∴△ECB是等腰直角三角形， ∴BE=2CB， ∴BE＝AE﹣AB＝DB﹣AB， ∴BD﹣AB=2CB； （3）如图3，过点C作⊥CB交MN于点E， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠DCE， ∠BCD＝90°﹣∠DCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵DB⊥MN， ∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠CFD， ∵∠AFC＝∠BFD， ∴∠CAE＝∠D， ∵AC＝DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE＝DB，CE＝CB， ∵∠ECB＝90°， ∴△ECB是等腰直角三角形， ∴BE=2CB， ∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣DB， ∴AB﹣DB=2CB； ∵△BCE为等腰直角三角形， ∴∠BEC＝∠CBE＝45°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠DBH＝45° 过点D作DH⊥BC， ∴△DHB是等腰直角三角形， ∴BD=2BH＝2， ∴BH＝DH=2， 在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH=2， ∴CH=3DH=3×2=6， ∴BC＝CH﹣BH=6−2； 故答案为：6−2． 23．（8分）（2022•沈阳）思维启迪： （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 　200　米． 思维探索： （2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE． ①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 　PC＝PE，PC⊥PE．　； ②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值． 【分析】（1）由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根据∠APB＝∠DPC即可证明△ABP≌△DCP，即可得AB＝CD，即可解题． （2）①延长EP交BC于F，易证△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE． ②作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，易证△FBP≌△EDP（SAS），结合已知得BF＝DE＝AE，再证明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE． ③作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为3