专题21.7 一元二次方程章末题型过关卷（人教版）（解析版）.docx

第21章 一元二次方程章末题型过关卷 【人教版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．(3分)（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（　　） A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3 【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解关于a的一次方程即可． 【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0， 解得a＝4.5． 故选：B． 2．(3分)（2022春•张店区期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A．(x−14)2=34 B．(x−14)2=32 C．(x−12)2=34 D．(x−12)2=32 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0， 整理得：x2﹣x=12， 配方得：x2﹣x+14=34，即（x−12）2=34． 故选：C． 3．(3分)（2022春•莱芜区期末）以x=4±16+4c2为根的一元二次方程可能是（　　） A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝0 【分析】根据求根公式逐一判断即可． 【解答】解：A．此方程的根为x=4±16+4c2，符合题意； B．此方程的根为x=−4±16+4c2，不符合题意； C．此方程的根为x=4±16−4c2，不符合题意； D．此方程的根为x=−4±16−4c2，不符合题意； 故选：A． 4．(3分)（2022秋•沐川县期末）m是方程x2+x﹣2＝0的根，则代数式2m2+2m﹣2022的值是（　　） A．﹣2018 B．2018 C．﹣2026 D．2026 【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2+m＝2，然后整体代入所求的代数式求值即可． 【解答】解：∵实数m是关于x的方程x2+x﹣2＝0的一个根， ∴m2+m﹣2＝0， ∴m2+m＝2， ∴2m2+2m﹣2022＝2（m2+m）﹣2022＝﹣2018． 故选：A． 5．(3分)（2022春•淄川区期中）已知多项式P=12x﹣2，Q＝x2−32x（x为任意实数），试比较多项式P与Q的大小．（　　） A．无法确定 B．P＞Q C．P＝Q D．P＜Q 【分析】先求出Q﹣P的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性质即可求出P与Q的大小． 【解答】解：∵P=12x﹣2，Q＝x2−32x， ∴Q﹣P＝x2−32x−12x+2＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0， ∴P＜Q． 故选：D． 6．(3分)（2022秋•雄县期末）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（　　） A．y1=−1x和y2＝﹣x+1 B．y1=x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1=−1x和y2＝﹣x﹣1 D．y1=x2+2x和y2＝﹣x﹣1 【分析】根据题意，令y1+y2＝0，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”． 【解答】解：A、令y1+y2＝0， 则−1x−x+1＝0， 整理得：x2﹣x+1＝0， 此方程无解， ∴函数y1和y2不是“和谐函数”， 故A不符合题意； B、令y1+y2＝0， 则x2+2x﹣x+1＝0， 整理得：x2+x+1＝0， 此方程无解， ∴函数y1和y2不是“和谐函数”， 故B不符合题意； C、A、令y1+y2＝0， 则−1x−x﹣1＝0， 整理得：x2+x+1＝0， 此方程无解， ∴函数y1和y2不是“和谐函数”， 故C不符合题意； D、A、令y1+y2＝0， 则x2+2x﹣x﹣1＝0， 整理得：x2+x﹣1＝0， 解得：x1=−1+52，x2=−1−52， ∴函数y1和y2是“和谐函数”， 故D符合题意； 故选：D． 7．(3分)（2022秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（　　） A．3 B．41 C．3或41 D．5或41 【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解即可． 【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0， ∴（x﹣4）（x﹣5）＝0， 则x﹣4＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝4，x2＝5， 若4、5均为直角边长度，则斜边长度为42+52=41， 若4、5有一边是斜边长度，则斜边长度为5， 故选：D． 8．(3分)（2022•蜀山区一模）“稳字当头”的中国经济是全球经济的“稳定器”，稳就业，保民生，防风险，守住“稳”的基础，才有更多“进”的空间．2020，2021这两年中国经济的年平均增长率为5.1%，其中2021年的年增长率为8.1%，若设2020年的年增长率为x，则可列方程为（　　） A．8.1%（1﹣x）2＝5.1% B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2 C．5.1%（1+x）2＝8.1% D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%） 【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据等量关系列出方程即可求解． 【解答】解：根据题意可得：（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2． 故选：B． 9．(3分)（2022•周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（　　） A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的值． 【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2， ∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0， 而a、b、m、n为互不相等的实数， ∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根， ∴ab＝mn﹣2， ∴ab﹣mn＝﹣2． 故选：C． 10．(3分)（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（　　） A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1 【分析】根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可． 【解答】解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0， 当a＝0时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解； 当a≠0时， ∵关于x的方程a※x＝0有实数根， ∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0， 解得a≤﹣1或a＞0． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．(3分)（2022秋•鄂州期末）如果a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一个为　﹣1　． 【分析】将x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0中的左边，得到a﹣b+c，由a﹣b+c＝0得到方程左右两边相等，即x＝﹣1是方程的解． 【解答】解：将x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左边得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c， ∵a﹣b+c＝0， ∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根． 故答案为：﹣1． 12．(3分)（2022•成都模拟）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则(m2−2m)(m−3m−1)=　3　． 【分析】将x＝m代入已知方程得到m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m；然后将其代入所求的代数式进行化简即可． 【解答】解：依题意得：m2﹣2m﹣3＝0， ∴m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m， ∴(m2−2m)(m−3m−1) ＝3×3+m−3m ＝3×1 ＝3． 故答案是：3． 13．(3分)（2022•海曙区自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　3＜k≤4　． 【分析】根据原方程可得出：①x﹣1＝0，②x2﹣2x+k4=0；根据根与系数的关系，可求出②方程的x1+x2和x1﹣x2的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出k的取值范围． 【解答】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+k4=0； 设x2﹣2x+k4=0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn=k4； m﹣n=(m+n)2−4mn=4−k； 根据三角形三边关系定理，得： m﹣n＜1＜m+n，即4−k＜1＜2； ∴4−k＜14−k≥0，解得3＜k≤4． 14．(3分)（2022秋•盐湖区校级月考）如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为 　1−172　． 【分析】先根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程，解之求出x的值，再结合A、B的位置取舍即可． 【解答】解：根据题意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5， 整理，得：x2﹣x﹣4＝0， ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0， 则x=−b±b2−4ac2a=1±172， ∴x1=1+172，x2=1−172， ∵点A在数轴的负半轴， ∴2x﹣1＜0，即x＜12， ∴x=1−172， 故答案为：1−172． 15．(3分)（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为 　213　． 【分析】设“加倍矩形”的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解答】解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]， 依题意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1， 整理，得：x2﹣8x+6＝0， 解得：x1＝4+10，x2＝4−10， 当x＝4+10时，2×（3+1）﹣x＝4−10＜4+10，符合题意； 当x＝4−10时，2×（3+1）﹣x＝4+10＞4−10，符不符合题意，舍去． ∴“加倍矩形”的对角线长为(4+10)2+(4−10)2=213． 故答案为：213． 16．(3分)（2022秋•昌江区校级期末）若实数a，b，c满足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，则a+b+c＝　−52　． 【分析】利用配方法将原式变形，再利用非负数的性质求得a，b，c的值，最后代入计算即可． 【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16， ∴12a2+7b2+5c2﹣12a|b|+4b|c|+16c+16≤0． ∴3（4a2﹣4a|b|+b2）+（4b2+4b|c|+c2）+4（c2+4c+4）≤0． ∴3（2a﹣|b|）2+（2b+|c|）2+4（c+2）2≤0． ∵3（2a﹣|b|）2≥0，（2b+|c|）2≥0，4（c+2）2≥0， ∴2a−|b|=02b+|c|=0c+2=0． 解得：a=12b=−1c=−2． ∴a+b+c=12−1﹣2=−52． 故答案为：−52． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．(6分)（2022春•道里区期末）解下列方程： （1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0； （2）x2﹣4x﹣1＝0． 【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0， （x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0， x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝4； （2）x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x＝1， 配方，得x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5， 开方得：x﹣2=±5， 解得：x1＝2+5，x2＝2−5． 18．(6分)（2022秋•海淀区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值． 【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可； （2）设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2，则有x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，从而可进行求解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0， ∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根， 即该方程总有两个实数根； （2）设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2，依题意得： x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m， ∴（x1﹣x2）2＝32， x12﹣2x1x2+x22＝9， x12+x22＝9+2x1x2＝9+2（1﹣m）＝11﹣2m， ∵（x1+x2）2＝（m﹣2）2， ∴x12+2x1x2+x22＝m2﹣4m+4， ∴11﹣2m+2（1﹣m）＝m2﹣4m+4， 整理得：m2＝9， 解得：m＝3或m＝﹣3， ∵m＜0， ∴m＝﹣3． 19．(8分)（2022秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x=±2； 当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x=±5． 所以原方程的根为x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程： （1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4； （2）x4+x2﹣12＝0． 【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可； （2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可． 【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4， 设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0， 解此方程得：a1＝a2＝2， 当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1， 所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1； （2）x4+x2﹣12＝0， 设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0， 因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0， 解得：y1＝3，y2＝﹣4， 当y＝3时，x2＝3，解得：x=±3； 当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根， 所以原方程的解是x1=3，x2=−3． 20．(8分)（2022春•西湖区校级期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 　b2﹣4ac＝0　；判断241 　不是　“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”　121　； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值． 【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数， ∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0； ∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8， ∴241不是喜鹊数； ∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵22＝4，4×1×1＝4， ∴最小的“喜鹊数”是121． 故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121． （2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根， ∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0， 将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（1n）2+b（1n）+c＝0， ∴将m、1n看成是方程ax2+bx+c的两个根， ∵b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根， ∴m=1n，即mn＝1； 故答案为：mn＝1． （3）∵m+n＝﹣2，mn＝1， ∴m＝﹣1，n＝﹣1， ∴a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∵b2＝4ac， ∴（a+c）2＝4ac， 解得：a＝c， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 故答案为：121，242，363，484． 21．(8分)（2022春•南海区月考）阅读材料题： 我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值． 例如，求x2+6x+3的最小值问题． 解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6， 又∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣6≥﹣6， ∴x2+6x+3的最小值为﹣6． 请应用上述思想方法，解决下列问题： （1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣　2　）2+　1　； （2）代数式x2+x有最 　小　（填“大”或“小”）值为 　−14　； （3）应用：若A＝x2﹣1与B＝2x﹣3，试比较A与B的大小； 【分析】（1）利用配方法将多项式变形即可得出结论； （2）利用配方法将多项式变形，利用非负数的意义即可得出结论； （3）计算A﹣B的值，将结果利用配方法变形即可得出结论． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， 故答案为：2；1； （2）∵x2+x＝x2+x+14−14=(x+12)2−14， 又∵(x+12)2≥0， ∴(x+12)2−14≥−14． ∴代数式x2+x有最小值为−14． 故答案为：小；−14； （3）A﹣B＝（x2﹣1）﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+1＞0， ∴A﹣B＞0， ∴A＞B． 22．(8分)（2022秋•黔江区期末）火锅是重庆人民钟爱的美食之一．解放碑某火锅店为抓住“十一”这个商机，于九月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每桌贵20元． （1）求A套餐的售价是多少元？ （2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌．为了更好的了解市场，火锅店决定从第二周开始，对A，B套餐的销售价格都进行调整，其中A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，发现销售量比第一周增加了13a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了12a%，发现销售量比第一周增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元．求a的值． 【分析】（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，根据5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据销售总额＝销售单价×销售数量，结合第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元， 依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600， 解得：x＝120． 答：A套餐的售价是120元． （2）依题意得：（120﹣20）（1−12a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+13a%）＝48000， 整理得：3.2a2﹣80a＝0， 解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）． 答：a的值为25． 23．(8分)（2022春•新昌县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动． （1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示） （2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？ 【分析】（1）设出运动所求的时间，可将PC和CQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出； （2）需要对点P的不同位置进行分类讨论：①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC12×6×8−12×t×3t=22t2=43，得t1=233，t2=−233(舍去)， ②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC； ③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC． 【解答】解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3平方厘米， 则有PC＝t cm，CQ＝3t cm， 依题意，得：12t×3t＝3， t2＝2t1=2，t2=−2（舍去）， 由勾股定理，得：PQ=PC2+QC2=25． 答：2秒后△PCQ的面积为3平方厘米，此时PQ的长是25； （2）①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2 S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC 12×6×8−12×t×3t=22 t2=43， 解得t1=233，t2=−233(舍去)， ②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8， S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC 12×8×3t−12×6×t=22 9t＝22， 解得t=229； ③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8， S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC 12×t×3t−12×6×8=22 t2=923（不符合题意，舍去），（或者得t1=2693，t2=−2693，都不符合题意，舍去）， 综上：t=233或t=229． 答，经过233秒或229秒，以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2