18.2.1 矩形-八年级数学人教版（下册）（解析版）.doc

第十八章 平行四边形 18.2.1 矩形 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C． 2．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是 A．∠BAC=∠ACB B．∠BAC=∠ACD C．∠BAC=∠DAC D．∠BAC=∠ABD 【答案】D 3．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是 A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD．∴△OAB是等腰三角形．∵∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA．∵AB=2，∴OA=2．∵OA=OC，∴AC=4．故选B． 4．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，2），则CE的长是 A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】∵四边形COED是矩形，∴CE=OD，∵点D的坐标是（1，2），∴OD=， ∴CE=，故选C． 5．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若∠OAE=24°，则∠BAE的度数是 A．24° B．33° C．42° D．43° 【答案】B 6．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为 A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解析】四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=8，AD=BC=4，∠D=90°，AB∥DC，∴∠FAC=∠DCA， 由折叠的性质得∠FCA=∠DCA，∴∠FCA =∠FAC ，∴AF=CF，设AF=CF =x，D′F=8-x， 在Rt△AD′F中，根据勾股定理得AD′2+D′F2=AF2，即，解得， ∴．故选B． 7．下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是 A．四边形ABCD中， B．四边形ABCD中， C．四边形ABCD中，，， D．四边形ABCD中， 【答案】C 8．在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是 A．②③ B．③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，，AO=OC，OD=OB，AC=BD，∴AO=OB=OD，∵AB=1，AD=，由勾股定理得BD=2，∴∠ABD=60°，∴△ABO是等边三角形， ∴AB=OA=OB，∠BAO=∠AOB=60°，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF=45°，∵∠DAF=∠AFB， ∴∠BAF=∠BFA，∴，∴②正确； ∵CE⊥BD，∴，∴∠ECO=30°，∵ ， ∴，∴AC=CH，∴③正确； ∵CF和AH不垂直，∴AF≠FH，∴①错误； ∵∠CEO=90°，∠ECA=30°，∴ ，BE=3DE，∴④正确，正确的有②③④，故选D． 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边上的高和中线，AC=CE=10 cm，则BD=__________． 【答案】15 cm 10．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为__________． 【答案】2.5 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10，BO=DO=BD，∴OD=BD=5，∵点P、Q是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ=DO=2.5．故答案为：2.5． 11．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE=34°，则∠DBC为__________度． 【答案】56 【解析】根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′， 又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∴∠ABE+∠DBC=90°， 又∵∠ABE=34°，∴∠DBC=56°．故答案为：56． 12．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′ 处．当△CEB′为直角三角形时，CB/的长为__________． 【答案】2或 【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如图所示， 连接AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2； ②当点B′落在AD边上时，如图所示， 此时ABEB′为正方形，∴B'E=AB=3，∴CE=4-3=1，∴Rt△B'CE中，CB'==．综上所述，B'C的长为2或．故答案为：2或． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．如图，四边形ABCD为矩形，PB=PC，求证：PA=PD． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=2，求△OEC的面积． 【解析】（1）∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是矩形． （2）如图，作OF⊥BC于F． ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD， ∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC， ∴OF=CD=1， ∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°， ∴∠EDC=45°， 在Rt△EDC中，EC=CD=2， ∴△OEC的面积=EC·OF=1． 15．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接BE，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． （2）结论：四边形EBFD是矩形． 理由：∵OD=OB，OE=OF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD=EF， ∴四边形EBFD是矩形． 16．如图，已知ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AC，若AD=4，CD=2，求AC的长． （2）如图，连接AC， ∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形， ∴AB=BE=CD=2，BC=AD=4，∠AEC=90°， ∴AE=AB+BE=4， 在Rt△BCE中，CE=， ∴在Rt△ACE中，AC=．