专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】（人教版）（原卷版）.docx

专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】 【人教版】 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 1 【题型2 用配方法解一元二次方程】 2 【题型3 用公式法解一元二次方程】 3 【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 3 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 4 【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 5 【题型7 用换元法解一元二次方程】 5 【题型8 配方法的应用】 7 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 【例1】（2022•建华区二模）解方程：−13（x﹣2）2+34=0（开平方法）． 【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）． 【变式1-2】（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）． 【变式1-3】（2022春•黄浦区校级期中）解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）． 【知识点2 配方法解一元二次方程】 将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二 次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④ 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法 来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【题型2 用配方法解一元二次方程】 【例2】（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0； （2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． 【变式2-1】（2022秋•松江区期末）用配方法解方程：x2−25x=4． 【变式2-2】（2022秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0． 【变式2-3】（2022秋•潢川县期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法） 【知识点3 公式法解一元二次方程】 当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=−b±b2−4ac2a的形式，这个 式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法. 【题型3 用公式法解一元二次方程】 【例3】（2022春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a． 【变式3-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 【变式3-2】（2022秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣22x﹣3＝0． 【变式3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0． 【知识点4 因式分解法概念】 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程 转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 【例4】（2022秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 【变式4-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）． 【变式4-2】（2022秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2． 【变式4-3】（2022秋•简阳市 月考）用因式分解法解方程：x2−3x+2x−6=0 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 【例5】（2022秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程： （1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）； （2）x2＝8x+9（配方法）； （3）2y2+7y+3＝0（公式法）； （4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）． 【变式5-1】（2022秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程： （1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法） （2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解） （3）x2+5x+1＝0（用公式法解） （4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法） 【变式5-2】（2022秋•简阳市月考）解下列方程 （1）（2x﹣1）2＝7（直接开平方法） （2）2x2﹣7x﹣4＝0（用配方法） （3）2x2﹣10x＝3（公式法） （4）（3x﹣4）2＝（3﹣4x）2（因式分解法） （5）x2+4−x2+8=26（用换元法解） （6）（2x2+1）2﹣2x2﹣3＝0（用换元法解） 【变式5-3】（2022秋•恩阳区月考）解方程： ①x2+（3+2）x+6=0（因式分解法） ②5x2+2x﹣1＝0（公式法） ③y2+6y+2＝0（配方法） ④9（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接开平方法） ⑤x+1x2−2x2x+1=1（换元法） ⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（适当方法） 【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 【例6】（2022春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0； （2）x2﹣2x﹣15＝0． 【变式6-1】（2022春•大观区校级期中）用适当的方法解方程 （1）x2﹣x﹣1＝0； （2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0． 【变式6-2】（2022春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣x﹣6＝0； （2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2． 【变式6-3】（2022春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程． （1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）； （2）12x2+22x﹣5＝0． 【题型7 用换元法解一元二次方程】 【例7】（2022秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x=±2； 当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x=±5． 所以原方程的根为x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程： （1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4； （2）x4+x2﹣12＝0． 【变式7-1】（2021春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1=2，x2=−2，x3＝2，x4＝﹣2． 以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0； （2）已知实数a满足（a2+3）2﹣3a2＝10+33，请直接写出−3a2的值． 【变式7-2】（2022秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值． 解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0 ∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1 已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值． 【变式7-3】（2022秋•甘井子区月考）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0． 解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5． 所以原方程的解为x1＝2，x2＝5． 上述解法称为“整体换元法”． （1）请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0； （2）已知x2﹣xy﹣y2＝0，求xy的值． 【题型8 配方法的应用】 【例8】（2022秋•饶平县期末）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b﹣c的值为（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7 【变式8-1】（2022•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8 【变式8-2】（2022春•仪陇县校级月考）已知a+b+c+3＝2a+4b−1+2c−2，则a+b+c的值是 　 　． 【变式8-3】（2022春•临湘市期中）阅读材料 例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据上面的方法解决下列问题： （1）m2﹣4m﹣5最小值是 　 　． （2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 　 　．