专题24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】（人教版）（原卷版）.docx

专题24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】 【人教版】 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 2 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 2 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 3 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】 4 【题型5 定义法判断切线】 5 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】 6 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】 7 【题型8 利用切线的性质求线段长度】 8 【题型9 利用切线的性质求角度】 9 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】 10 【知识点1 直线与圆的位置关系】 直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为 则有： 相交：直线和圆有两个公共点 直线和相交 相切：直线和圆只有一个公共点 直线和相切 相离：直线和圆没有公共点 直线和相离 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【变式1-1】（2022秋•韶关期末）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．直线l与⊙O相交 B．直线l与⊙O相切 C．直线l与⊙O相离 D．无法确定 【变式1-2】（2022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y=14x2−1的图象上，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．三种情况均有可能 【变式1-3】（2022秋•自贡期末）如图，⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 【例2】（2022秋•北仑区期末）⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．3 B．5 C．6 D．10 【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（　　） A．0≤r≤125 B．125≤r≤3 C．125≤r≤4 D．3≤r≤4 【变式2-2】（2022秋•丛台区校级期中）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（　　） A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r＜4 D．3≤r≤5 【变式2-3】（2022秋•丛台区校级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　） A．0≤b＜22 B．﹣42≤b≤42 C．﹣22＜b＜22 D．﹣42＜b＜42 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 【例3】（2022秋•武汉期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【变式3-1】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．0或1或2 【变式3-3】（2022秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径画圆． （1）当r＝　　时，⊙C与边AB相切； （2）当r满足　 　时，⊙C与边AB只有一个交点； （3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围． 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】 【例4】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式4-1】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 　 　． 【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA． （1）点O到直线l距离的最大值为　　； （2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为　 　． 【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【知识点2 切线的判定】 （1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法） ③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线 （2）切线判定常用的证明方法： ①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 【题型5 定义法判断切线】 【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（　　） A．过半径外端的直线 B．与圆心的距离等于该圆半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆有公共点的直线 【变式5-1】（2022秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（　　） A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【变式5-2】（2022秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式5-3】（2022秋•慈溪市期末）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（　　） A．OP＝5 B．OE＝OF C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】 【例6】（2022•顺德区一模）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E． （1）求∠ABC的大小； （2）证明：AE是⊙O的切线． 【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°． （1）求AB的长； （2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线． 【变式6-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF． 求证：BC是圆O的切线． 【变式6-3】（2022秋•武夷山市期末）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP． 求证：PC是⊙O的切线． 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】 【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【变式7-1】（2022秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（　　） A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆 C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆 【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 【变式7-3】（2022秋•丹江口市期中）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径． 【知识点3 切线的性质】 （1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 （2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【题型8 利用切线的性质求线段长度】 【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，点C是切点，弦CF⊥AB于点E，连接AC． （1）求证：AC平分∠DCF； （2）若AD⊥CD，BE＝2，CF＝8，求AD的长． 【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长． 【变式8-2】（2022•建邺区一模）如图，AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝10．若∠A+∠C＝90°，则⊙O的半径是　　． 【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（　　） A．4 B．22 C．23 D．26 【题型9 利用切线的性质求角度】 【例9】（2022•红桥区三模）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D． （I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小； （II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小． 【变式9-1】（2022秋•香洲区期末）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数． 【变式9-2】（2022•老河口市模拟）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 　 　． 【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO． （Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB； （Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小． 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】 【例10】（2022•五华区三模）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD＝AB，以线段AB为直径作⊙O，分别交BD，AC于点E，点F，∠BAC＝2∠CBD． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若CD＝2，BC＝4，求点B到AC的距离． 【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度． 【变式10-2】（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE． （1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由； （2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长． 【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E． （1）求证：CE与⊙O相切； （2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．