专题22.5 二次函数的应用【九大题型】（人教版）（解析版）.docx

专题22.5 二次函数的应用【九大题型】 【人教版】 【题型1 图形面积或周长问题】 1 【题型2 图形运动问题】 6 【题型3 拱桥问题】 10 【题型4 销售问题】 14 【题型5 投球问题】 18 【题型6 喷水问题】 24 【题型7 增长率问题】 30 【题型8 车过隧道问题】 33 【题型9 行程问题】 38 【知识点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】 审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）； 设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确； 列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数； 解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题； 检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案； 答：写出答案. 【题型1 图形面积或周长问题】 【例1】（2022秋•越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可； （2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可． 【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍， ∴AE＝2BE， 设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am， ∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80， ∴a=−14x+10，3a=−34x+30， ∴y＝（−34x+30）x=−34x2+30x， ∵a=−14x+10＞0， ∴x＜40， 则y=−14x2+30x（0＜x＜40）； （2）∵y=−34x2+30x=−34（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为−34＜0， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米． 【变式1-1】（2022•永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm． （1）若花园的面积为252m2，求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 【分析】（1）根据AB＝x米可知BC＝（32﹣x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论； （2）根据P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18米和8米求出x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式即可得出结论． 【解答】解：（1）设AB＝x米，可知BC＝（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）＝252． 解这个方程得：x1＝18，x2＝14， 答：x的长度18m或14m． （2）设周围的矩形面积为S， 则S＝x（32﹣x）＝﹣（x﹣16）2+256． ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是17m和6米， ∴6≤x≤15． ∴当x＝15时，S最大＝﹣（15﹣16）2+256＝255（平方米）． 答：花园面积的最大值是255平方米． 【变式1-2】（2022秋•清江浦区校级月考）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2﹣6x+10＝（x2﹣6x+9﹣9）+10＝（x﹣3）2﹣9+10＝（x﹣3）2+1≥1；因此x2﹣6x+10有最小值是1，只有当x＝3时，才能得到这个式子的最小值1．同样﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x2﹣6x+5有最大值是8，只有当x＝﹣1时，才能得到这个式子的最小值8． （1）当x＝　3　时，代数式﹣2（x﹣3）2+5有最大值为　5　． （2）当x＝　﹣1　时，代数式2x2+4x+3有最小值为　1　． （3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）类比例子得出答案即可； （2）根据题意利用配方法配成（1）中的类型，进一步确定最值即可； （3）根据题意利用长方形的面积列出式子，利用（1）（2）的方法解决问题． 【解答】解：（1）在代数式﹣2（x﹣3）2+5中，当x＝3时，有最大值5， 故答案为：3、5； （2）∵2x2+4x+3＝2（x2+2x+1﹣1）+3＝2（x+1）2+1， ∴当x＝﹣1时，代数式2x2+4x+3有最小值为1， 故答案为：﹣1、1； （3）设AD＝x，则AB＝14﹣（x+x﹣1）+1＝16﹣2x， ∵S＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32， ∴当AD＝4m时，面积最大值为32m2． 【变式1-3】（2022•市南区一模）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合：矩形MFNC（区域Ⅱ）是这两个正方形的重叠部分，如图所示． （1）若花卉均价为300元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为200元/米2，且花卉和草坪栽种总价不超过43600元，求S的最大值． （2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：2． ①求MF，FN的长． ②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为为180元/米2，90元/米2，180元/米2，且边BN的长不小于边ME长的54倍．求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价W元的最大值． 【分析】（1）先求出长方形空地的面积，从而可得栽种草坪的面积，再根据“总价不超过43600元”建立一元一次不等式，然后求解即可得； （2）①设AB＝a，EF＝b，根据正方形的性质、线段的和差可得MF、FN的长，再根据MF：FN＝1：2可得a、b的关系等式，由此即可得出答案；②先在①的基础上，求出W关于a的函数表达式，再根据题意求出a的取值范围，然后利用二次函数的性质即可得． 【解答】解：（1）长方形空地的面积为16×12＝192（米2）， 由题意得：300S+200（192﹣S）≤43600， 解得：S≤52， 故S的最大值为52米2； （2）①设AB＝a，EF＝b， ∵四边形ABCD和EFGH均为正方形， ∴AD＝AB＝a，FG＝EF＝b， ∴MF＝AD+EF﹣16＝a+b﹣16， FN＝AB+FG﹣12＝a+b﹣12， 又∵MFFN=12， ∴a+b−16a+b−12=12， 解得：a+b＝20， ∴MF＝20﹣16＝4（米），FN＝20﹣12＝8（米）， 答：MF的长为4米，FN的长为8米； ②由①可知，a+b＝20，即b＝20﹣a， ∴ME＝16﹣AD＝16﹣a， DM＝12﹣FG＝12﹣b＝12﹣（20﹣a）＝a﹣8， BN＝16﹣EF＝16﹣b＝16﹣（20﹣a）＝a﹣4NG＝12﹣AB＝12﹣a， 则由题意得： w＝180（16﹣a）（a﹣8）+90×4×8+180（12﹣a）（a﹣4）＝﹣360（a﹣10）2+7200， 又∵BN≥54ME且AB＜12， ∴a﹣4≤54（16﹣a）且a＜12， 解得：323＜a＜12， 由二次函数的性质可知，当323＜a＜12时，W随a的增大而减小， 则当a=323时，w取得最大值，最大值为﹣360×（323−10）2+7200＝7040（元）． 答：图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价w的最大值为7040元． 【题型2 图形运动问题】 【例2】（2022秋•利川市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm．P、Q两点同时从点B、D出发，分别沿BA、DA方向匀速运动（当P运动到A时，P、Q同时停止运动），已知P点的速度比Q点大1cm/s，设P点的运动时间为x秒，△PAQ的面积为ycm2， （1）经过3秒△PAQ的面积是矩形ABCD面积的13时，求P、Q两点的运动速度分别是多少？ （2）以（1）中求出的结论为条件，写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． 【分析】（1）设Q点的运动速度为vcm/s，则P的运动速度为（v+1）cm/s，得出DQ＝3v，BP＝3（v+1），根据3秒△PAQ的面积是矩形ABCD面积的13列出方程求解可得； （2）根据题意知BP＝（4−2）x，DQ＝（3−2）x，由矩形面积公式可得函数解析式，根据AP≥0得出x的范围． 【解答】解：（1）设Q点的运动速度为vcm/s，则P的运动速度为（v+1）cm/s， 则DQ＝3v，BP＝3（v+1）， 由题意得：12•[12﹣3（v+1）]•（9﹣3v）=13×9×12， 解得：v＝3+2或v＝3−2， 又3（v+1）≤12， ∴v≤3， ∵3+2＞3，舍去， 故点Q的运动速度为3−2cm/s，点P的运动速度为4−2cm/s； （2）当点Q的运动速度为3−2cm/s，点P的运动速度为4−2cm/s时， BP＝（4−2）x，DQ＝（3−2）x， ∴y=12[12﹣（4−2）x]•[9﹣（3−2）x] =14−722x2−72−2122x+54， ∵9﹣（3−2）x≥0， ∴0≤x≤27+927． 【变式2-1】（2022•巨野县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围． 【分析】根据题意表示出BP，BQ的长进而得出△PBQ的面积S随出发时间t（s）的函数关系式． 【解答】解：△PBQ的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化， ∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动， 动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动， ∴BP＝12﹣2t，BQ＝4t， ∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：S=12（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t，（0＜t＜6）． 【变式2-2】（2022秋•丹阳市校级月考）如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程： （1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为52cm2？ （2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？ （3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？ 【分析】（1）根据勾股定理PC2+CQ2＝PQ2，便可求出经过1s后，P、Q两点的距离为52cm2 （2）根据三角形的面积公式S△PCQ=12×PC×CQ便可求出经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2 （3）根据三角形的面积公式S△PCQ=12×PC×CQ以及二次函数最值便可求出t＝1.75s时△PCQ的面积最大． 【解答】解：（1）设经过ts后，P、Q两点的距离为52cm， ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm， 根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2， 代入数据(7−2t)2+(5t)2=(52)2； 解得t＝1或t=−129（不合题意舍去）； （2）设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2 ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm， S△PCQ=12×PC×CQ=12×（7﹣2t）×5t＝15 解得t1＝2，t2＝1.5， 经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2 （3）设经过ts后，△PCQ的面积最大， ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm， S△PCQ=12×PC×CQ=12×（7﹣2t）×5t=52×（﹣2t2+7t） 当t=−b2a时，即t=72×2=1.75s时，△PCQ的面积最大， 即S△PCQ=12×PC×CQ=12×（7﹣2×1.75）×5×1.752＝24516 当时间为1.75秒时，最大面积为24516． 【变式2-3】（2022秋•杭州期末）如图（a），点F、G、H、E分别从正方形ABCD的顶点B、C、D、A同时出发，以1cm/s的速度沿着正方形的边向C、D、A、B运动．若设运动时间为x（s），问： （1）四边形EFGH是什么图形？证明你的结论； （2）若正方形ABCD的边长为2cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； （3）若改变点的连接方式（如图（b）），其余不变．则当动点出发几秒时，图中空白部分的面积为3cm2． 【分析】（1）用全等或利用勾股定理计算都可得到HE＝EF＝FG＝GH，说明∠G＝90°，得四边形EFGH是正方形； （2）设运动时间为x（s），则直角△AHE中，AH＝x，AE＝2﹣x．根据勾股定理即可求得HE的长，再根据正方形的面积公式即可求解； （3）空白部分的面积=4x−4+4(x−2)2x2+4，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD中AB＝BC，而∠A＝∠B＝90° 又∵AH＝BE ∴AE＝BF ∴△AEH≌△BFE ∴HE＝EF，∠HEA＝∠EFB 而∠HEA+∠AHE＝90° ∴∠HEA+∠FEB＝90° ∴∠HEF＝90° 同理：HE＝EF＝FG＝GH ∴四边形EFGH是正方形． （2）y=22−4×12x(2−x) ＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2）， （3）空白部分的面积=4x−4+4(x−2)2x2+4， 方程为：4x−4+4(x−2)2x2+4=3， 化简得：4x3﹣3x2﹣12＝0， 由计算器估算得x≈1.74 所以当动点出发约1.74秒时，图中空白部分的面积为3cm2． 【题型3 拱桥问题】 【例3】（2022•海曙区校级开学）图1是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为AB＝50米和CD＝40米（如图2所示），x轴表示桥面，BC＝10米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则OBOC的值为 　56　． 【分析】因为两个抛物线形状相同，可设：AB所在抛物线：y＝m（x﹣xA）（x﹣xB）①CD所在抛物线：y＝m（x﹣xC）（x﹣xD）②其中xA，xB，xC，xD分别为A，BC，D的横坐标，令x＝0，可以分别求出两条抛物线与y轴的交点E，F坐标，然后根据两抛物线交y轴于同一点，可以得出xAxB＝xCxD，然后根据已知条件B，C横坐标，从而得出结论． 【解答】解：因为两个抛物线形状相同，可设：yAB＝m（x﹣xA）（x﹣xB）①，yCD＝m（x﹣xC）（x﹣xD）②，其中xA，xB，xC，xD分别为A，B，C，D的横坐标， 对于①令x＝0，则y＝mxA•xB， 所以E点坐标为（0，mxAxB）； 同理，对于②令x＝0，则y＝mxC•xD， 所以E点坐标为（0，mxCxD）， 因为mxAxB＝mxCxD，即xAxB＝xCxD， 因为AB＝50米，BC＝10米，CD＝40米． 所以AC＝60米， 所以xC﹣xA＝60，xC﹣xB＝10，xD﹣xC＝40， 所以xA＝xC﹣60，xB＝xC﹣10，xD＝xC十40， 将上式代入xAxB＝xCxD得， （xC60）（xC﹣10）＝xC（xC40）， 解得xC=6011， 又因为xB=−5011， 所以OBOC=−−xBxC=56． 故答案为：56． 【变式3-1】（2022秋•西城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号） 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y＝8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长． 【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系， 由题意知，A（﹣20，0），B（20，0），C（0，10）． 设过点A、B、C的抛物线方程为：y＝a（x+20）（x﹣20）（a＜0）． 把点C（0，10）的坐标代入，得 10＝a（0+20）（0﹣20）， 解得：a=−140， 则该抛物线的解析式为：y=−140（x+20）（x﹣20）=−140x2+10 把y＝8代入，得−140x2+10＝8， 即x2＝80，x1＝45，x2＝﹣45． 所以两盏警示灯之间的水平距离为：EF＝|x1﹣x2|＝|45−（﹣45）|＝85（m）． 【变式3-2】（2022秋•诏安县校级月考）如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用y=9400x2+910x+10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称． （1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ （2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？ （3）写出如图抛物线的表达式？ 【分析】（1）根据抛物线顶点的坐标公式可以求得顶点的横坐标和纵坐标，根据抛物线顶点的纵坐标可得出钢缆的最低点到桥面的距离； （2）根据两最低点的横坐标可得出两条钢缆最低点之间的距离； （3）根据左右两侧的抛物线关于y轴对称，可知两个抛物线的解析式，纵坐标相同，横坐标互为相反数，从而可以得到右侧抛物线的解析式． 【解答】解：（1）∵y=9400x2+910x+10， ∴该抛物线的顶点的横坐标为：x=910−2×9400=−20，纵坐标为：y=4×9400×10−(910)24×9400=1， 即钢缆的最低点到桥面的距离是1m； （2）∵桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用y=9400x2+910x+10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称， ∴两条钢缆的顶点横坐标为，﹣20，20， 即两条钢缆最低点对应的横坐标分别是：﹣20，20， 故两条钢缆最低点之间的距离是：20﹣（﹣20）＝40（米）， 即两条钢缆最低点之间的距离是：40米； （3）∵桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用y=9400x2+910x+10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称， ∴右侧抛物线的解析式为：y=9400x2−910x+10， 即抛物线右侧的表达式是：y=9400x2−910x+10． 【变式3-3】（2022秋•袁州区校级期中）宜春袁山公园内有一座景观桥，桥洞形状如抛物线ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=−150x2+c且过顶点C（0，8）（长度单位：m） （1）直接写出c的值； （2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，求需要多少平方米的地毯？（不计损耗） （3）为了使景观桥夜晚更加漂亮，需在桥洞下方洞壁相同高度处如图示的E、F位置安装两盏LED灯，且点E的横坐标与纵坐标之和为﹣4，求安装的LED灯距离水面AB的高度． 【分析】（1）把点C坐标代入即可求得c的值； （2）根据解析式求出A，B，C三点坐标，求出地毯的总长度； （3）设E点横坐标为x，则纵坐标为﹣x﹣2，代入函数解析式，求出坐标即可． 【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=−150x2+c， ∵点C（0，8）在抛物线上， ∴c＝8； （2）由（1）知，OC＝8，令y＝0，即−150x2+8＝0，解得x1＝20，x2＝﹣20； ∴地毯的面积为：1.5（AB+2CO）＝1.5×（40+2×8）＝84（平方米）； （3）设点E的坐标为（x，−150x2+8）， 由题意得：x+（−150x2+8）＝﹣4， 解得x1＝60（不合题意，舍去），x2＝﹣10， 当x＝﹣10时，y＝6， ∴安装的LED灯距离水面AB的高度是6米． 【知识点2 销售问题中的常用公式】 （1）利润=售价-进价=进价×利润率 （2）利润率 = 利润 进价×100% （3）总利润=总售价-总进价=销售量×（单件售价-单件成本） 【题型4 销售问题】 【例4】（2022秋•平谷区期末）某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1﹣8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断 　5　月份出售这种药材获利最大． 月份 … 3 6 … 每千克售价 … 8 6 … 【分析】根据两幅图分别求出售价、成本与月份的函数关系式，再根据利润＝售价﹣成本得出利润关于月份的函数关系式，再根据函数的性质求出x即可． 【解答】解：设这种药材售价（元）与月份的一次函数关系式为y＝kx+b， 把（3，8），（6，6）代入得，3k+b=86k+b=6， ∴k=−23b=10， ∴这种药材售价（元）与月份所示的一次函数关系式为y=−23x+10， 设每千克的成本价（元）与月份的之间的抛物线的解析式为m＝a（x﹣6）2+1， 把（1，9）代入得，9＝a（1﹣6）2+1， ∴a=825， ∴每千克的成本价（元）与月份的之间的抛物线的解析式为m=825（x﹣6）2+1， 设这种药材利润为w元， 则w＝y﹣m=−23x+10−825（x﹣6）2﹣1=−23x−825x2+9625x−28825+9=−825x2+23875x−6325=−825（x−11924）2+38572， ∵−825＜0，对称轴为x=11924=42324， ∵x为正整数， ∴当x＝5时，w最大． 故答案为：5． 【变式4-1】（2022秋•舞阳县期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据增长率（下降率）公式列出一元二次方程即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x． 根据题意得50（1﹣x）2＝40.5， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， 答：该商品连续两次下降的百分率为10%； （2）设降价m元，利润为w元． 根据题意得w＝（50﹣30﹣m）（48+8m） ＝﹣8m2+112m+960 ＝﹣8（m﹣7）2+1352． ∴当m＝7，即售价为43元时，可获最大利润135