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八大题型
专题21.2
一元二次方程的解法【八大题型】人教版解析版
专题
21.2
一元
二次方程
解法
八大
题型
人教版
解析
专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】
【人教版】
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 1
【题型2 用配方法解一元二次方程】 2
【题型3 用公式法解一元二次方程】 4
【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 5
【题型5 用指定方法解一元二次方程】 6
【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 12
【题型7 用换元法解一元二次方程】 14
【题型8 配方法的应用】 17
【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法,叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式;
②直接开平方化为两个一元一次方程;③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】
【例1】(2022•建华区二模)解方程:−13(x﹣2)2+34=0(开平方法).
【分析】先把方程变形为(x﹣2)2=94,再两边开方得到x﹣2=±32,然后解两个一次方程即可.
【解答】解:−13(x﹣2)2+34=0,
−13(x﹣2)2=−34,
(x﹣2)2=94,
x﹣2=±32,
所以x1=72,x2=12.
【变式1-1】(2022•齐齐哈尔)解方程:(2x+3)2=(3x+2)2(开平方法).
【分析】方程开方转化为一元一次方程,求出解即可.
【解答】解:方程:(2x+3)2=(3x+2)2,
开方得:2x+3=3x+2或2x+3=﹣3x﹣2,
解得:x1=1,x2=﹣1.
【变式1-2】(2021秋•徐汇区校级月考)解方程:4(x+1)2﹣9(x﹣2)2=0(开平方法).
【分析】直接开方,再解一元一次方程即可.
【解答】解:4(x+1)2=9(x﹣2)2,
∴2(x+1)=±3(x﹣2),
∴x1=8,x2=45.
【变式1-3】(2022春•黄浦区校级期中)解关于x的方程:x2﹣3=1+ax2(a≠1)(开平方法).
【分析】方程整理后,利用平方根定义开方即可求出解.
【解答】解:方程整理得:(a﹣1)x2=﹣4,即x2=41−a,
当1﹣a>0,即a<1时,x=±41−a=±21−a1−a;
当1﹣a<0,即a>1时,无解.
【知识点2 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二
次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④
把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.
【题型2 用配方法解一元二次方程】
【例2】(2022春•淄川区期中)(1)请用配方法解方程2x2﹣6x+3=0;
(2)请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
【分析】(1)方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半系数平方,利用完全平方公式变形,开方即可求出解;
(2)方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半系数平方,利用完全平方公式变形,开方即可求出解.
【解答】解:(1)方程整理得:x2﹣3x=−32,
配方得:x2﹣3x+94=94−32,即(x−32)2=34,
开方得:x−32=±32,
解得:x1=32+32,x2=32−32;
(2)方程整理得:x2+bax=−ca,
配方得:x2+bax+b24a2=b24a2−ca,即(x+b2a)2=b2−4ac4a2,
开方得:x+b2a=±b2−4ac2a,
解得:x1=−b+b2−4ac2a,x2=−b−b2−4ac2a.
【变式2-1】(2022秋•松江区期末)用配方法解方程:x2−25x=4.
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后,再开方即可得.
【解答】解:∵x2−25x=4,
∴x2﹣25x+5=4+5,即(x−5)2=9,
∴x−5=3或x−5=−3,
∴x1=3+5,x2=﹣3+5.
【变式2-2】(2022秋•伊川县期中)用配方法解方程:4x2﹣8x﹣7=0.
【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为1,再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方,然后开方即可.
【解答】解:4x2﹣8x﹣7=0,
4x2﹣8x=7,
x2﹣2x=74,
配方得x2﹣2x+12=74+1,
(x﹣1)2=114,
x﹣1=±112,
x=1±112,
∴x1=1+112,x2=1−112.
【变式2-3】(2022秋•潢川县期末)解方程:2x2﹣5x+1=0(用配方法)
【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1,再两边配上一次项系数一半的平方求解可得.
【解答】解:∵2x2﹣5x=﹣1,
∴x2−52x=−12,
∴x2−52x+2516=−12+2516,即(x−54)2=1716,
则x−54=±174,
∴x=5±174.
【知识点3 公式法解一元二次方程】
当b2−4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方,其实数根可写为x=−b±b2−4ac2a的形式,这个
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式,把各项系数的值直接代入这个公式,这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 用公式法解一元二次方程】
【例3】(2022春•通州区校级月考)用公式法解方程:2a2﹣3=﹣4a.
【分析】先把原方程化成一元二次方程的一般形式,再利用公式法进行计算即可解答.
【解答】解:2a2﹣3=﹣4a,
整理得:2a2+4a﹣3=0,
∵Δ=42﹣4×2×(﹣3)
=16+24
=40,
∴a=−4±402×2=−4±2104=−2±102,
∴a1=−2+102,a2=−2−102.
【变式3-1】(2022秋•徐汇区校级月考)解方程:5x+2=(3x﹣1)(2x+2)(公式法).
【分析】整理成一般式,先求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可.
【解答】解:方程整理得:6x2﹣x﹣4=0,
∵a=6,b=﹣1,c=﹣4,
∴b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×6×(﹣4)=97>0,
∴x=−b±b2−4ac2a=1±9712,
∴x1=1+9712,x2=1−9712.
【变式3-2】(2022秋•金山区校级期中)用公式法解方程:x2﹣22x﹣3=0.
【分析】先求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出方程的解即可.
【解答】解:x2﹣22x﹣3=0,
∵a=1,b=﹣22,c=﹣3,
∴Δ=b2﹣4ac=(﹣22)2﹣4×1×(﹣3)=20>0,
∴x=−b±b2−4ac2a=22±252,
∴x1=2+5,x2=2−5.
【变式3-3】(2022•市中区二模)用公式法解一元二次方程:2x2﹣7x+6=0.
【分析】方程利用公式法求出解即可.
【解答】解:方程2x2﹣7x+6=0,
这里a=2,b=﹣7,c=6,
∵Δ=49﹣48=1>0,
∴x=7±14,
则x1=2,x2=1.5.
【知识点4 因式分解法概念】
当一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解为两个一次因式的乘积时,就可以把解这样的一元二次方程
转化为解两个一元一次方程,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 用因式分解法解一元二次方程】
【例4】(2022秋•莲湖区期中)用因式分解法解方程:2(x﹣3)=3x(x﹣3).
【分析】移项后,利用提公因式法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,再进一步求解即可.
【解答】解:∵2(x﹣3)=3x(x﹣3),
∴2(x﹣3)﹣3x(x﹣3)=0,
则(x﹣3)(2﹣3x)=0,
∴x﹣3=0或2﹣3x=0,
解得x1=3,x2=23.
【变式4-1】(2022秋•徐汇区校级月考)解方程:(4﹣3x)+(3x﹣4)2=0(因式分解法).
【分析】利用提取公因式(4﹣3x),将左边因式分解,再进一步求解即可.
【解答】解:∵(4﹣3x)+(3x﹣4)2=0,
∴(4﹣3x)(5﹣3x)=0,
则4﹣3x=0或5﹣3x=0,
解得x1=43,x2=53.
【变式4-2】(2022秋•长白县期中)用因式分解法解方程:(x+3)2=(1﹣2x)2.
【分析】方程整理后,利用因式分解法求出解即可.
【解答】解:方程整理得:(x+3)2﹣(1﹣2x)2=0,
分解因式得:(x+3+1﹣2x)(x+3﹣1+2x)=0,即(4﹣x)(3x+2)=0,
可得4﹣x=0或3x+2=0,
解得:x1=4,x2=−23.
【变式4-3】(2022秋•简阳市 月考)用因式分解法解方程:x2−3x+2x−6=0
【分析】利用因式分解法把方程化为x−3=0或x+2=0,然后解一次方程即可.
【解答】解:(x−3)(x+2)=0,
x−3=0或x+2=0,
所以x1=3,x2=−2.
【题型5 用指定方法解一元二次方程】
【例5】(2022秋•兴平市校级月考)按规定的方法解下列方程:
(1)(x+1)2﹣144=0(直接开平方法);
(2)x2=8x+9(配方法);
(3)2y2+7y+3=0(公式法);
(4)3(x﹣2)2=x(x﹣2)(因式分解法).
【分析】(1)移项,然后开平方即可求解;
(2)首先移项,然后配方,利用直接开平方法即可求解;
(3)利用公式法即可求解;
(4)移项,然后利用因式分解法即可求解.
【解答】解:(1)(x+1)2=144,
则x+1=12或x+1=﹣12,
解得:x1=﹣13,x2=11;
(2)移项,得:x2﹣8x=9,
配方,得x2﹣8x+16=25,
则(x﹣4)2=25,
即x﹣4=5或x﹣4=﹣5,
解得:x1=9,x2=﹣1;
(3)a=2,b=7,c=3,
△=49﹣4×2×3=49﹣24=25>0.
则x=−7±54,
则x1=﹣3,x2=−12;
(4)原式即3(x﹣2)2﹣x(x﹣2)=0,
因式分解得:(x﹣2)【3(x﹣2)﹣x】=0,
即(x﹣2)(2x﹣6)=0,
则x﹣2=0或2x﹣6=0,
解得:x1=2,x2=3.
【变式5-1】(2022秋•宁县校级月考)用适当的方法解方程:
(1)x(x﹣2)+x﹣2=0(用因式分解法)
(2)x2﹣4x+3=0(用配方法解)
(3)x2+5x+1=0(用公式法解)
(4)(x﹣4)2=(5﹣2x)2(用直接开平方法)
【分析】(1)先提取公因式(x﹣2)因式分解,再求解即可;
(2)先利用完全平方公式配方,然后开平方求解即可;
(3)写出a、b、c的值,然后利用求根公式法求解;
(4)直接开平方求解即可.
【解答】解:(1)因式分解得,(x﹣2)(x+1)=0,
由此得,x﹣2=0,x+1=0,
所以,x1=2,x2=﹣1;
(2)配方得,x2﹣4x+4﹣4+3=0,
即(x﹣2)2=1,
所以,x﹣2=±1,
所以,x1=3,x2=1;
(3)a=1,b=5,c=1,
Δ=b2﹣4ac=52﹣4×1×1=25﹣1=24,
x=−5±242×1=−5±262,
x1=−5+262,x2=−5−262;
(4)开平方得,x﹣4=±(5﹣2x),
所以,x﹣4=5﹣2x或x﹣4=2x﹣5,
解得x1=3,x2=1.
【变式5-2】(2022秋•简阳市月考)解下列方程
(1)(2x﹣1)2=7(直接开平方法)
(2)2x2﹣7x﹣4=0(用配方法)
(3)2x2﹣10x=3(公式法)
(4)(3x﹣4)2=(3﹣4x)2(因式分解法)
(5)x2+4−x2+8=26(用换元法解)
(6)(2x2+1)2﹣2x2﹣3=0(用换元法解)
【分析】(1)用直接开平方法求解就可以了;
(2)先将常数项移到等号的右边,再将二次项系数化为1,然后配方为完全平方公式后直接用开平方法求解就可以;
(3)先化为一般形式,然后确定a、b、c的值,最后代入求根公式求解就可以了;
(4)先移项,然后用平方差公式分解因式就可以求出结论;
(5)设x2+8=a,将原方程变形为a2﹣a=30,再解一个关于a的一元二次方程求解;
(6)将原方程变形为:(2x2+1)2﹣(2x2+1)﹣2=0,再设2x2+1=a,就可以变为a2﹣a﹣2=0,最后可以运用因式分解法求解.
【解答】解:(1)开平方,得
2x﹣1=±7,
∴x1=7+12,x2=−7+12;
(2)移项,得
2x2﹣7x=4,
化二次项的系数为1,得
x2−72x=2,
配方,得
x2−72x+4916=2+4916,
(x−74)2=8116
开平方,得
x−74=±94,
∴x1=4,x2=−12;
(3)移项,得
2x2﹣10x﹣3=0,
∴a=2,b=﹣10,c=﹣3,
∴△=100+24=124>0,
∴x=10±1244,
∴x1=5+312,x2=5−312;
(4)移项,得
(3x﹣4)2﹣(3﹣4x)2=0
分解因式,得
(3x﹣4+3﹣4x)(3x﹣4﹣3+4x)=0,
∴﹣x﹣1=0或7x﹣7=0,
∴x1=﹣1,x2=1;
(5)原方程变形为:
x2+8−x2+8=30,
设x2+8=a,将原方程变形为:
a2﹣a=30,
移项,得
a2﹣a﹣30=0,
因式分解,得
(a+5)(a﹣6)=0,
∴a+5=0或a﹣6=0,
∴a1=﹣5(舍去),a2=6,
∴x2+8=6,
解得:x=±27,
经检验,x=±27是原方程的根;
(6)原方程变形为:
(2x2+1)2﹣(2x2+1)﹣2=0,
设2x2+1=a,则原方程变为:
a2﹣a﹣2=0,
解得:
a1=﹣1,a2=2,
当a=﹣1时,
2x2+1=﹣1,
Δ<0,原方程无解,
当a=2时,
2x2+1=2,
解得:x=±22
【变式5-3】(2022秋•恩阳区月考)解方程:
①x2+(3+2)x+6=0(因式分解法)
②5x2+2x﹣1=0(公式法)
③y2+6y+2=0(配方法)
④9(x﹣2)2=121(x+1)2(直接开平方法)
⑤x+1x2−2x2x+1=1(换元法)
⑥(x2﹣x)2﹣5(x2﹣x)+6=0(适当方法)
【分析】①根据方程特点,采用因式分解法解答.
②根据方程的系数特点,应准确确定各个项系数,利用求根公式求得.
③可以先移项,然后利用配方法解答.
④利用直接开平方法解答;
⑤移项整理,利用换元法求得未知数的解即可.
⑥利用换元法解答.
【解答】解:①x2+(3+2)x+6=0,
(x+2)(x+3)=0,
∴x+2=0或x+3=0,
∴x1=−2,x2=−3;
②5x2+2x﹣1=0,
a=5,b=2,c=﹣1,
Δ=b2﹣4ac=4+20=24,
x=−2±242×5=−2±2610=−1±65,
所以x1=−1+65,x2=−1−65;
③y2+6y+2=0,
y2+6y=﹣2,
y2+6y+9=﹣2+9,即(y+3)2=7,
∴y+3=±7,
∴y1=﹣3+7,y2=﹣3−7;
④9(x﹣2)2=121(x+1)2,
3(x﹣2)=±11(x+1),
∴3(x﹣2)=11(x+1)或3(x﹣2)=﹣11(x+1),
∴x1=−178,x2=−514;
⑤x+1x2−2x2x+1=1,
x+1x2−2x2x+1−1=0,
设y=x+1x2,
则原方程为y−2y−1=0,
y2﹣y﹣2=0,
解得:y=﹣1,或y=2,
当y=﹣1,x+1x2=−1,此方程无解;
当y=2,x+1x2=2,解得:x1=1,x2=−12,
经检验,x1=1,x2=−12是原分式方程的解,
所以原方程的解为x1=1,x2=−12.
⑥(x2﹣x)2﹣5(x2﹣x)+6=0,
设y=x2﹣x,
则原方程为y2﹣5y+6=0,
解得:y=3,或y=2,
当y=3,x2﹣x=3,x1=1+132,x2=1−132;
当y=2,x2﹣x=2,解得:x3=2,x4=﹣1;
所以原方程的解为x1=1+132,x2=1−132,x3=2,x4=﹣1.
【题型6 用适当的方法解一元二次方程】
【例6】(2022春•富阳区校级期中)用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)(x+4)2﹣5(x+4)=0;
(2)x2﹣2x﹣15=0.
【分析】(1)等式左边可提取公因式(x+4),转化为(x+4)(x﹣1)=0求解;
(2)根据十字相乘法可将方程变形为(x+3)(x﹣5)=0,由此可得同解方程x+3=0或x﹣5=0,据此求解.
【解答】解:(1)(x+4)2﹣5(x+4)=0,
将方程变形,得(x+4)(x﹣1)=0,
即x+4=0,x﹣1=0,
解得:x1=﹣4,x2=1.
(2)x2﹣2x﹣15=0,
将方程变形,得(x+3)(x﹣5)=0,
则x+3=0或x﹣5=0,
解得x1=﹣3,x2=5.
【变式6-1】(2022春•大观区校级期中)用适当的方法解方程
(1)x2﹣x﹣1=0;
(2)(x+1)2﹣3(x+1)=0.
【分析】(1)利用公式法解方程;
(2)利用因式分解法解方程.
【解答】解:(1)Δ=(﹣1)2﹣4×(﹣1)=5>0,
x=1±52×1,
所以x1=1+52,x2=1−52;
(2)(x+1)2﹣3(x+1)=0.
(x+1)(x+1﹣3)=0,
x+1=0或x+1﹣3=0,
所以x1=﹣1,x2=2.
【变式6-2】(2022春•萧山区期中)用适当的方法解下列方程:
(1)x2﹣x﹣6=0;
(2)4(x﹣1)2=9(x﹣5)2.
【分析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,再进一步求解即可;
(2)先移项,再利用公式法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,再进一步求解即可.
【解答】解:(1)∵x2﹣x﹣6=0,
∴(x﹣3)(x+2)=0,
则x﹣3=0或x+2=0,
解得x1=3,x2=﹣2;
(2)∵4(x﹣1)2=9(x﹣5)2,
∴4(x﹣1)2﹣9(x﹣5)2=0,
∴[2(x﹣1)+3(x﹣5)][2(x﹣1)﹣3(x﹣5)]=0,
则2(x﹣1)+3(x﹣5)=0或2(x﹣1)﹣3(x﹣5)=0,
解得x1=13,x2=175.
【变式6-3】(2022春•柯桥区期中)选用适当的方法解下列方程.
(1)2x(x﹣1)=3(x﹣1);
(2)12x2+22x﹣5=0.
【分析】(1)方程移项后,利用因式分解法求出解即可;
(2)方程整理后,利用配方法求出解即可.
【解答】解:(1)方程移项得:2x(x﹣1)﹣3(x﹣1)=0,
分解因式得:(x﹣1)(2x﹣3)=0,
所以x﹣1=0或2x﹣3=0,
解得:x1=1,x2=32;
(2)方程整理得:x2+42x=10,
配方得:x2+42x+8=18,即(x+22)2=18,
开方得:x+22=±32,
解得:x1=2,x2=﹣52.
【题型7 用换元法解一元二次方程】
【例7】(2022秋•安居区期末)为解方程(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+4=0,我们可以将x2﹣1视为一个整体,然后设x2﹣1=y,则原方程可化为y2﹣5y+4=0,解此方程得y1=1,y2=4.
当y=1时,x2﹣1=1,所以x=±2;
当y=4时,x2﹣1=4,所以x=±5.
所以原方程的根为x1=2,x2=−2,x3=5,x4=−5.
以上解方程的方法叫做换元法,利用换元法达到了降次的目的,体现了数学的转化思想.运用上述方法解下列方程:
(1)(x2﹣x)(x2﹣x﹣4)=﹣4;
(2)x4+x2﹣12=0.
【分析】(1)设x2﹣x=a,原方程可化为a2﹣4a+4=0,求出a的值,再代入x2﹣x=a求出x即可;
(2)设x2=y,原方程化为y2+y﹣12=0,求出y,再把y的值代入x2=y求出x即可.
【解答】解:(1)(x2﹣x)(x2﹣x﹣4)=﹣4,
设x2﹣x=a,则原方程可化为a2﹣4a+4=0,
解此方程得:a1=a2=2,
当a=2时,x2﹣x=2,即x2﹣x﹣2=0,
因式分解得:(x﹣2)(x+1)=0,
解得:x1=2,x2=﹣1,
所以原方程的解是x1=2,x2=﹣1;
(2)x4+x2﹣12=0,
设x2=y,则原方程化为y2+y﹣12=0,
因式分解,得(y﹣3)(y+4)=0,
解得:y1=3,y2=﹣4,
当y=3时,x2=3,解得:x=±3;
当y=﹣4时,x2=﹣4,无实数根,
所以原方程的解是x1=3,x2=−3.
【变式7-1】(2021春•龙口市月考)阅读下面材料:方程x4﹣6x2+8=0是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是设x2=y,则x4=y2,∴原方程可化为y2﹣6y+8=0,解方程求得y的值,进而得到原方程的四个根x1=2,x2=−2,x3=2,x4=﹣2.
以上方法叫做换元法,通过换元达到降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法解答下列问题.
(1)解方程2(x2+3x)2﹣3(x2+3x)﹣2=0;
(2)已知实数a满足(a2+3)2﹣3a2=10+33,请直接写出−3a2的值.
【分析】(1)先设y=x2+3x,则原方程变形为2y2﹣3y﹣2=0,运用因式分解法解得y1=2,y2=−12,再把y=2和−12分别代入y=x2+3x得到关于x的一元二次方程,然后解两个一元二次方程,最后确定原方程的解;
(2)设y=a2+3,则y2﹣3y﹣10=0,运用因式分解法解得y1=﹣2,y2=5,再把y=5代y=a2+3得到a2+3=5,即可求得a2=5−3,进而即可求得−3a2的值.
【解答】解:(1)设y=x2+3x,则2y2﹣3y﹣2=0,
则(y﹣2)(2y+1)=0,
解得y1=2,y2=−12,
当x2+3x=2,即x2+3x﹣2=0时,解得x=−3±172;
当x2+3x=−12,即x2+3x+12=0时,解得x=−3±72;
综上所述,原方程的解为x1=−3+172,x2=−3−172,x3=−3+72,x4=−3−72;
(2)(a2+3)2﹣3a2=10+33整理得:(a2+3)2﹣3(a2+3)﹣10=0,
设y=a2+3,则y2﹣3y﹣10=0,
则(y+2)(y﹣5)=0,
解得y1=﹣2,y2=5,
当y=﹣2时,则a2+3=−2,无意义,舍去;
当y=5时,则a2+3=5,得到a2=5−3,
∴−3a2=−3(5−3)=3﹣53.
故−3a2的值为3﹣53.
【变式7-2】(2022秋•邵东市期末)请你先认真阅读下列材料,再参照例子解答问题:
已知(x+y﹣3)(x+y+4)=﹣10,求x+y的值.
解:设t=x+y,则原方程变形为(t﹣3)(t+4)=﹣10,即t2+t﹣2=0
∴(t+2)(t﹣1)=0得t1=﹣2,t2=1∴x+y=﹣2或x+y=1
已知(x2+y2﹣4)(x2+y2+2)=7,求x2+y2的值.
【分