专题22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）（人教版）（解析版）.docx

专题22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道） 【人教版】 考卷信息： 本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！ 一．选择题（共10小题） 1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，则t的取值范围为（　　） A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019 C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021 【分析】联立方程组求得C点坐标，并由只有一个交点条件求得a、b的关系式，再由新定义和2≤[C]≤4列出b的不等式，求得b的取值范围，由t＝2b2﹣4a+2020，得出t关于b的函数解析式，再根据函数的性质求得t的取值范围． 【解答】解：由题意方程组y=xy=ax2+bx+1只有一组实数解， 消去y得ax2+（b﹣1）x+1＝0， 由题意得Δ＝0， ∴（b﹣1）2﹣4a＝0， ∴4a＝（b﹣1）2，即a=14(b−1)2， ∴方程ax2+（b﹣1）x+1＝0可以化为14(b−1)2x2+(b−1)x+1=0， 即（b﹣1）2x2+4（b﹣1）x+4＝0， ∴x1＝x2=21−b， ∴C（21−b，21−b）， ∵点C在第一象限， ∴1﹣b＞0， ∵2≤[C]≤4， ∴2≤|21−b|+|21−b|≤4， ∴1≤21−b≤2， 解得：﹣1≤b≤0， ∵t＝2b2﹣4a+2020， ∴t＝2b2﹣（b﹣1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018， ∵﹣1≤b≤0， ∴t随b的增大而增大， ∵b＝﹣1时，t＝2018， t＝0时，t＝2019， ∴2018≤t≤2019． 故选：B． 2．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y=x(x≥0)−x(x＜0)．已知点M，N的坐标分别为(−12，1)，(92，1)，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3≤n≤﹣1或1＜n≤54 B．﹣3＜n＜﹣1或1＜n≤54 C．﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤54 D．﹣3≤n≤﹣1或1≤n≤54 【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围． 【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点， ∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x=−42×(−1)=2， ∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3， 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1， 解得：n＝﹣1； ∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点， 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1， 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（−12，1）， ∴14+2﹣n＝1，解得：n=54， ∴1≤n≤54时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤54， 故选：C． 3．（2022•青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（　　） A．﹣2＜c＜14 B．﹣4＜c＜94 C．﹣4＜c＜14 D．﹣10＜c＜94 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y＝2x上，由﹣2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解． 【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x， 将x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4， 将x＝4代入y＝2x得y＝8， 设A（﹣2，﹣4），B（4，8），如图， 联立方程x2﹣x+c＝2x， 当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点， 即9﹣4c＞0， 解得c＜94， 此时，直线x＝﹣2和直线x＝4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点， 把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c， 把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c， ∴6+c＞−412+c＞8， 解得c＞﹣4， ∴﹣4＜c＜94满足题意． 故选：B． 4．（2022秋•汉阳区期中）我们定义：若点A在某一个函数的图象上，且点A的横纵坐标相等，我们称点A为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数y＝ax2+tx﹣2t对于任意的常数t恒有两个“好点”，则a的取值范围为（　　） A．0＜a＜1 B．0＜a＜12 C．13＜a＜12 D．12＜a＜1 【分析】“好点”A的横纵坐标相等，即：x＝y＝ax2+tx﹣2t（a≠0），△＝（t﹣1）2+8at＞0，整理得：t2﹣（2﹣8a）t+1＝0， △′＝（2﹣8a）2﹣4＜0，即可求解． 【解答】解：“好点”A的横纵坐标相等， 即：x＝y＝ax2+tx﹣2t（a≠0）， Δ＝b2﹣4ac＝（t﹣1）2+8at＞0， 整理得：t2﹣（2﹣8a）t+1＞0， ∵1＞0，故当△′＜0时，抛物线开口向上，且与x轴没有交点， 故上式成立， △′＝（2﹣8a）2﹣4＜0， 解得：0＜a＜12， 故选：B． 5．（2022秋•和平区校级月考）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=a2−ab(a≥b)b2−ab(a＜b)，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若函数y＝（2x）*（x+1），则下列结论： ①方程（2x）*（x+1）＝0的解为﹣1和1； ②关于x的方程（2x）*（x+1）＝m有三个解，则0＜m≤1； ③当x＞1时，y随x的增大而增大； ④直线y＝kx﹣k与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点，则k＝﹣2； ⑤当x＜1时，函数y＝（2x）*（x+1）的最大值为1． 其中正确结论的序号有（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．①③⑤ 【分析】①根据题意，2x≥x+1时，（2x）*（x+1）＝2x2﹣2x，2x＜x+1时，（2x）*（x+1）＝﹣x2+1，分别求解即可； ②由①可知，画出函数图象，数形结合即可求解； ③x＝1时，y＝0，结合图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大； ④先求出函数与y＝kx﹣k有一个交点时k的取值，再结合函数图象可知，当k≤﹣2时，直线y＝kx﹣k与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点； ⑤当x＝0时，函数有最大值1，由此可得⑤正确． 【解答】解：①由题意得：当2x≥x+1，即x≥1， （2x）*（x+1）＝（2x）2﹣2x（x+1）＝4x2﹣2x2﹣2x＝2x2﹣2x， ∴2x2﹣2x＝0的解为x＝0或x＝1， ∴x＝1； 当2x＜x+1，即x＜1， （2x）*（x+1）＝（x+1）2﹣2x（x+1）＝x2+1+2x﹣2x2﹣2x＝﹣x2+1． ∴﹣x2+1＝0， ∴x＝1或x＝﹣1， ∴x＝﹣1， 故①正确； ②由①可知，x≥1，（2x）*（x+1）＝2x2﹣2x， x＜1，（2x）*（x+1）＝﹣x2+1， 如图，0＜m＜1时，关于x的方程（2x）*（x+1）＝m有三个解， 故②不正确； ③由②函数图象可知，x＝1时，y＝0， 结合图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大， 故③正确； ④当y＝kx﹣k经过定点（1，0）， kx﹣k＝﹣x2+1时，Δ＝（k+2）2＝0， ∴k＝﹣2， 当k≤﹣2时，直线y＝kx﹣k与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点， 故④不正确； ⑤当x＜1时，函数（2x）*（x+1）＝﹣x2+1， 当x＝0时，函数有最大值1， ∴当x＜1时，函数y＝（2x）*（x+1）的最大值为1． 故⑤正确； 故选：D． 6．（2022•莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点M，已知点M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，则t的取值范围为（　　） A．2018≤t≤2019 B．2019≤t≤2020 C．2020≤t≤2021 D．2021≤t≤2022 【分析】根据二次函数图象性质直接判断． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点M， ∴方程组y=xy=ax2+bx+1只有一组解． 消去y得：ax2+（b﹣1）x+1＝0， ∴Δ＝（b﹣1）2﹣4a＝0， ∴a=14（b﹣1）2， ∴ax2+（b﹣1）x+1＝0可化为：14（b﹣1）2x2+（b﹣1）x+1＝0， ∴[（b﹣1）x+2]2＝0， ∴x1＝x2=21−b． ∴M（21−b，21−b）， ∵M在第一象限， ∴1﹣b＞0， ∴b＜1． ∵2≤|M|≤4， ∴1≤|21−b≤2， ∴1≤21−b≤2 ∴﹣1≤b≤0，| ∴t＝2b2﹣4a+2022＝2b2﹣（b﹣1）2+2022 ＝（b+1）2+2020， ∵﹣1≤b＜0，抛物线开口向下，对称轴是b＝﹣1， ∴t随b的增大而增大， ∴2020≤t≤2021． 故选：C． 7．（2022•岳阳模拟）在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），给出如下新定义，若n'=|n|(当m＜0时)n−2(当m≥0时)，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点，例如：点P1（1，4）的限变点是P′1（1，2），点P2（﹣2，﹣1）的限变点是P′2（﹣2，1），若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（　　） A．﹣1≤n'＜3 B．1≤n'＜4 C．1≤n'≤3 D．﹣1≤n'≤4 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据函数新定义分类讨论m＜0和m≥0时n′的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+1， ∴抛物线对称轴为直线x＝2，开口向下， ∴x＜2时，y随x增大而增大，x＞2时，y随x增大而减小， ∵点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象上， ∴n＝﹣m2+4m+1， ∴﹣1≤m＜0时，n′＝|﹣m2+4m+1|， 将m＝﹣1代入n＝﹣m2+4m+1得n＝﹣4， ∴m＝﹣1时，n′＝4， 将m＝0代入n＝﹣m2+4m+1得n＝1， ∵﹣4＜0＜1， ∴﹣1≤m＜0时，0≤n′≤4， 当m≥0时，n′＝n﹣2＝﹣m2+4m﹣1， 将m＝0代入n′＝﹣m2+4m﹣1得n′＝﹣1， 将m＝2代入n′＝﹣m2+4m﹣1得n′＝3， ∴当m≥0时，﹣1≤n′≤3， 综上所述，﹣1≤≤n′≤4， 故选：D． 8．（2022•自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y=13x+b经过点M（0，14），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（　　）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A．512或712 B．512或1112 C．712或1112 D．712 【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1． 【解答】解：直线l：y=13x+b经过点M（0，14），则b=14； ∴直线l：y=13x+14． 由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∴该等腰三角形的高等于斜边的一半． ∵0＜d＜1， ∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）； ∵当x＝1时，y1=13×1+14=712＜1， 当x＝2时，y2=13×2+14=1112＜1， 当x＝3时，y3=13×3+14=54＞1， ∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2． ①若B1为顶点，由B1（1，712），则d＝1−712=512； ②若B2为顶点，由B2（2，1112），则d＝1﹣[（2−1112）﹣1]=1112， 综上所述，d的值为512或1112时，存在美丽抛物线． 故选：B． 9．（2022秋•诸暨市期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值之差为（　　） A．5 B．7+172 C．4 D．7−172 【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值． 【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动， 在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0）， ∴B（2，2）， 从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C， ∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值． 当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝2或m＝﹣1； 当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m=5−172或m=5+172． ∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是5+172，﹣1． ∴最大值和最小值之差为5+172−（﹣1）=7+172， 故选：B． 10．（2022秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫做和谐点，所围成的矩形叫做和谐矩形．已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（　　） A．16 B．4 C．﹣12 D．﹣18 【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m，n的方程，求解m，n即可． 【解答】解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点， ∴n＝m2+k， ∴k＝n﹣m2， ∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16， ∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16， ∴|m|＝4，|n|＝4， 当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12； 当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20； 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．（2022•芦淞区模拟）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数位[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论： ①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）； ②当m＝1时，函数图象截x轴所得的线段长度等于2； ③当m＝﹣1时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小； ④当m≠0时，函数图象经过同一个点． 上述结论中所有正确的结论有　①②④　．（填写所有正确答案的序号） 【分析】①把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可； ②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题； ③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可； ④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答． 【解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]； ①当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x−13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确； ②当m＝1时，y＝2x2﹣2，令y＝0，则有2x2﹣2＝0，解得，x1＝1，x2＝﹣1， |x2﹣x1|＝2，所以当m＝1时，函数图象截x轴所得的线段长度等于2，此结论正确； ③当m＝﹣1时，y＝﹣2x2+2x，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是直线x=−b2a=−22×(−2)=12，在对称轴的右边y随x的增大而减小，14＜12，右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误； ④当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确． 根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的． 故答案为：①②④． 12．（2022秋•浦东新区期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是 　2　． 【分析】根据直线y＝﹣x+3，可以求出该直线与y轴的交点，从而可以得到点B的坐标，再根据点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，即可得到m、n的值，然后将抛物线与直线建立平面直角坐标系，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线y的割距． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3， ∴当x＝0时，y＝3， ∴点B的坐标为（0，3）， ∵点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点， ∴m＝0，n＝3， ∴抛物线y＝﹣x2+3， y=−x+3y=−x2+3， 解得x=0y=3或x=1y=2， ∴抛物线与直线y的交点为（0，3），（1，2）， ∴此时抛物线关于直线y的割距是：(1−0)2+(3−2)2=2， 故答案为：2． 13．（2022•宣州区校级自主招生）对某一个函数给出如下定义：若存在实数m＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣m≤y≤m，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y＝﹣x2+1（﹣2≤x≤t，t≥0）的图象向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足94≤n≤52时，则t的取值范围是 　12≤t≤34或54≤t≤32　． 【分析】根据题干定义可得函数最大值94≤y≤52或函数最小值−52≤y≤−94，由t＞0可得函数最大值为y＝1+t可得0＜t≤32，进而可得函数最小值为直线x＝﹣2与抛物线交点纵坐标，进而求解． 【解答】解：由题干可得函数y＝﹣x2+1+t在﹣2≤x≤t时，函数最大值或最小值为n，94≤n≤52， ∵t＞0，抛物线y＝﹣x2+1+t开口向下，顶点坐标为（0，1+t）， ∴1+t为函数最大值， 当1+t=52时，t=32， ∴0＜t≤32， 当t＝2时，直线x＝﹣2与直线x＝t与抛物线交点关于对称轴对称， ∴0＜t≤32时，直线x＝﹣2与抛物线交点为最低点， 把x＝﹣2代入y＝﹣x2+1+t得y＝﹣3+t， 当﹣3+t=−52时，t=12， ∴t≥12， 当94≤1+t≤52时，54≤t≤32， 当−52≤−3+t≤−94时，12≤t≤34， ∴12≤t≤34或54≤t≤32满足题意． 故答案为：12≤t≤34或54≤t≤32． 14．（2022秋•德清县期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内（不包括抛物线和x轴上的点）恰好有8个“整点”，则a的取值范围是　−12＜a≤−14　． 【分析】如图所示，a＜0，图象实心点为8个“整点”，则符合条件的抛物线过点A、B之间（含点B），即可求解． 【解答】解：y＝ax2﹣2ax+a+3＝a（x﹣1）2+3， 故抛物线的顶点为：（1，3）； 如图所示，a＜0，图象实心点为8个“整点”， 则符合条件的抛物线过点A、B之间（含点B）， 当抛物线过点A（3，1）时，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：a=−12； 当抛物线过点（2，2）时，则2＝a（2﹣1）2+3，解得：a＝﹣1； 当抛物线过点（3，2）时，同理可得：a=−14 同理当抛物线过点B（4，1）时，a=−29． 故答案为：−12＜a≤−14． 15．（2022秋•鄞州区校级期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．当抛物线y＝ax2﹣4ax+1与其关于x轴对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点时，a的取值范围 　23≤a＜34　． 【分析】通过抛物线的解析式可得对称轴为x＝2，过点（0，1），对a分情况讨论，分别求解即可． 【解答】解：由y＝ax2﹣4ax+1可得，其图象对称轴为直线x＝2，且其图象必过点（0，1）， 当a＜0时，此时整点有（0，0）（1，0），（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），...，等等，显然超过9个， ∴a＜0不符合题意，舍去； 当a＞0时， 若过点（1，﹣1）时，则﹣1＝a﹣4a+1，解得a=23，此时刚好9个整点， 若过点（2，﹣2）时，则﹣2＝4a﹣8a+1，解得a=34，此时有10个整点， ∴23≤a＜34． 故答案为：23≤a＜34． 16．（2022秋•思明区校级期中）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义： 若y′=y(x≥0)−y(x＜0)，则称点Q为点P的“可控变点”． 请问：若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是　7≤a＜42　． 【分析】本题先理解定义，依据题意画出函数图象即可求解． 【解答】 解：依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′=−x2+16(x≥0)x2−16(−5≤x＜0)的图象上（如图）， 当x＝﹣5时，y＝