18.2.3 正方形-八年级数学人教版（下册）（解析版）.doc

第十八章 平行四边形 18.2.3 正方形 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是 A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【答案】B 【解析】正方形具有矩形和菱形的所有性质，菱形的对角线具有：（1）对角线互相平分；（2）对角线互相垂直；（3）每条对角线平分一组对角；而菱形对角线不具有的性质是：对角线相等．故选B． 2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为 A．3 B．12 C．18 D．36 【答案】C 3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD．选两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的选法是 A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【解析】A选项中，由四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，可得四边形ABCD是菱形，结合∠ABC=90°，可得四边形ABCD是正方形； B选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合AC=BD及∠ABC=90°只能证得四边形ABCD是矩形，不能证明四边形ABCD是正方形； C选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合AB=BC可得四边形ABCD是菱形，结合AC=BD即可得到四边形ABCD是正方形； D选项中，由四边形ABCD是平行四边形，结合∠ABC=90°可得四边形ABCD是矩形，再结合AC⊥BD即可得到四边形ABCD是正方形．故选B． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是 A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90° D．OD=AC 【答案】C 5．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【解析】如图，过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC， ∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD，∴△PQM≌△AED， ∴PQ=AE=．故选B． 6．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是 A．75° B．60° C．54° D．67.5° 【答案】B 【解析】如图，连接BD， 由已知条件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°， ∵∠BCM=∠BCD=45°，∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°，∴∠AMB=180°-∠BMC=60°， ∵正方形ABCD是关于AC对称的，M在AC上，∴BM=DM，∴∠AMD=∠AMB=60°，故选B． 7．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 A．6 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．不能确定 【答案】B 【解析】阴影部分的面积=S△ADC=S正方形ABCD=×（4）2=16（cm2）．故选C． 8．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为 A．2 B．4 C．4 D．2 【答案】A 9．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH；②∠HAE=45°；③BD=2FG；④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】（1）如图1，连接FC，延长HF交AD于点L， ∵在正方形ABCD中，∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴FC=AF，∠ECF= ∠DAF，∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°，∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC， ∴FH=AF； （2）如图1，∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°； （3）如图2，连接AC交BD于点O，则由正方形的性质可得：BD=2OA， ∵HF⊥AE，HG⊥BD，∴∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF= ∠FGH=90°， ∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG； （4）如图3，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则LI=HC， ∴∠IMC=∠ECM=45°，由已知条件可得：∠DEM=∠DEA=∠FHC=∠DIC，由此可得∠MEC=∠CIM， 又∵MC=CM，∴△MEC≌△CIM，∴CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8． ∴△CEH的周长为8，为定值．故①②③④结论都正确．故选D． 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 10．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是__________度． 【答案】67.5 11．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为__________． 【答案】150° 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=DA， ∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE，∠BAE=∠ABE=60°，∴AE=AD=BE=BC，∠DAE=∠CBE=30°， ∴∠ADE=∠BCE=（180°-30°）=75°，∴∠EDC=∠ECD=15°，∴∠CED=180°-15°-15°=150°．故答案为：150°． 12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF，OE、OF分别交AB、BC于点E、点F，AE=3，CF=2，则EF的长为__________． 【答案】 13．如图所示，将五个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是__________cm2． 【答案】 【解析】如图，过点O作OE⊥GH于点E，OF⊥HM于点F， 由已知条件易得∠EOF=∠GOM=90°，OE=OF，∠OEG=∠OFM=90°，∴∠EOG=∠FOM，∴△EOG≌△FOM， ∴S四边形OGHM=S正方形OEHF=，∵n个相同的正方形会形成（n-1）个阴影部分， ∴n个相同的正方形形成的阴影部分的面积之和为：．故答案为：． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°，求证：矩形ABCD是正方形． 15．如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，PA=1，PD=2，PC=3，现将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合），求∠APD的度数． 【答案】135° 【解析】如图，连接PG， 16．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点． （1）求证：△BGF≌△FHC； （2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积． 【解析】（1）如图，连接EF， ∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点， ∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG， ∴∠CFH=∠CBG， ∵BF=CF， ∴△BGF≌△FHC． 17．如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF． （1）求∠EAF的度数； （2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM． 【解析】（1）如图，过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M， ∵BC=AB，∴EM=AB， ∴EM-AE=AB-AE， ∴AM=BE，∴FM=AM， ∵FM⊥AB，∴∠MAF=45°， ∴∠EAF=135°． （2）如图，过点F作FG∥AB交BD于点G． 由（1）可知∠EAF=135°， ∵∠ABD=45°，∴∠EAF+∠ABD=180°， ∴AF∥BG， ∵FG∥AB， ∴四边形ABGF为平行四边形，AF=BG，FG=AB， ∵AB=CD，∴FG=CD， ∵AB∥CD， ∴FG∥CD， ∴∠FGM=∠CDM， ∵∠FMG=∠CMD， ∴△FGM≌△CDM（AAS）， ∴GM=DM，∴DG=2DM， ∴BD=BG+DG=AF+2DM．