17.2 勾股定理的逆定理-八年级数学人教版（下册）（解析版）.doc

第十七章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各组数据是勾股数的是 A．5，12，13 B．6，9，12 C．12，15，18 D．12，35，36 【答案】A 2．下列四组线段a、b、c，能组成直角三角形的是 A．a=4，b=5，c=6 B．a=1.5，b=2，c=2.5 C．a=2，b=3，c=4 D．a=1，b=，c=3 【答案】B 【解析】A、42+52≠62，不能组成直角三角形，故此选项错误； B、1.52+22=2.52，能组成直角三角形，故此选项正确； C、22+32=42，不能组成直角三角形，故此选项错误； D、12+（）2≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误．故选B． 3．下列说法中错误的是 A．若∠C=∠A–∠B，则△ABC为直角三角形 B．若a∶b∶c=2∶2∶2，则△ABC为直角三角形 C．若a=c，b=c，则△ABC为直角三角形 D．若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC为直角三角形 【答案】D 【解析】A、若∠C=∠A-∠B，则2∠A=180°，所以∠A=90°，则△ABC为直角三角形，该说法正确； B、若a∶b∶c=2∶2∶2，由勾股定理的逆定理可得：a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形，该说法正确； C、若a=c，b=c，由勾股定理的逆定理可得：a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形，该说法正确； D、若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则三角形中最大角为75°≠90°，则△ABC不为直角三角形，该说法错误．故选D． 4．学校的书香苑呈三角形形状，三边分别是9，12，15，那么书香苑的面积是 A．135 B．180 C．108 D．54 【答案】D 5．如图所示的一块地，∠ADC=90°，，，，，求这块地的面积为 A．54 m2 B．108 m2 C．216 m2 D．270 m2 【答案】C 【解析】连接AC， 根据勾股定理，由直角△ACD可以求得斜边AC=15 m，根据AC，BC，AB的长，求它们的平方，根据勾股定理的逆定理可以判定△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC与△ACD的面积之差S=S△ABC-S△ACD=AC·BC-CD·AD=×15×36-×9×12=270-54=216 m 2．故选C． 6．如图，△ABC中，AC=3，BC=5，AD⊥BC交BC于点D，AD=，延长BC至E使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF，则线段EF的长为 A．6 B．8 C． D． 【答案】A 7．若一个三角形三边a，b，c满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是 A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】化简（a+b）2=c2+2ab，得a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形，故选D． 8．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由勾股定理得：，，， ，即，∴△ABC是直角三角形，设BC边上的高为h， 则，∴．故选A． 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．若|a-7|++（c-25）2=0，则以a、b、c为三边的三角形的形状是__________． 【答案】直角三角形 10．（1）如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的__________． （2）如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称这两个定理互为__________． （3）一个命题__________有逆命题，一个定理__________有逆定理．（填“一定”或“不一定”） 【答案】（1）逆命题；（2）逆定理；（3）一定；不一定 【解析】根据勾股定理的逆定理可得答案为：（1）逆命题；（2）逆定理；（3）一定；不一定． 11．如图，小明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从C到A走了9米，则∠A+∠B=________． 【答案】90° 【解析】∵AC2+BC2=92+402=1681，而AB2=412=1681，△ABC为直角三角形，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．故答案为：90°． 12．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成__________个直角三角形． 【答案】2 【解析】根据小正方形的边长可分别求，，，，，，根据勾股定理的逆定理，由 知△ADB是直角三角形，由知△ABC是直角三角形，共2个．故答案为：2． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD．求证：△ABC是直角三角形． 14．如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=3 cm，BC=12 cm，CD=13 cm，AD=4 cm，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？ 【解析】东东的判断不正确，可添加DB⊥BC或DB=5 cm．理由如下： ∵四边形具有不稳定性， ∴∠A可以是锐角，可以是直角，也可以是钝角， ∴东东的判断不正确； 如果添加DB⊥BC或DB=5 cm，那么∠A恰好是直角． 当BD⊥BC时，∵BC=12 cm，CD=13 cm， ∴， 在△ABD中，AB=4 cm，AD=3 cm，BD=5 cm， ∴，即， ∴△ABD是直角三角形，且， 当DB=5 cm时，在△ABD中，AB=4 cm，AD=3 cm，BD=5 cm， ∴，即， ∴△ABD是直角三角形，且． 15．龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？ 16．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？ 【解析】由题意可知，在△ABC中，AC=30×2=60，AB=40×2=80，BC=100， ∴AC2=3600，AB2=6400，BC2=10000， ∴AC2+AB2=BC2， ∴∠CAB=90°， 又∵∠EAD=180°，∠EAC=35°， ∴∠DAB=90°-∠CAE=90°-35°=55°， ∴乙船航行的方向为南偏东55°．