第十七章勾股定理-2020-2021学年八年级数学下册单元能力提升检测（人教版）(28054209).docx

第十七章 勾股定理 一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列各组线段的长,不能构成直角三角形的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1,2,3 B.5,12,13 C.6,8,10 D.8,15,17 2.如图所示的各直角三角形中,其中边长x=5的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图,以点D为圆心、DB的长为半径画弧与数轴交于点A,若点A表示的数为a,则a的值为(　　) A.-1-5 B.1-5 C.-5 D.-1+5 4.下列命题的逆命题成立的是(　　) A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等 C.两直线平行,同位角相等 D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等 5.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C),若线段AD的长为正整数,则符合条件的点D共有(　　) A.5个　 B.4个　 C.3个　 D.2个 6.如图,梯子AB靠在墙上,底端A到墙根O的距离为2 m,顶端B到地面的距离为7 m,现将梯子的底端A向外移动到A',使梯子的底端A'到墙根O的距离等于3 m,同时梯子的顶端B下降至B',那么BB'(　　) A.小于1 m B.大于1 m C.等于1 m D.小于或等于1 m 　　 7.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若正方形a,c的面积分别为7和9,则正方形b的面积为(　　) A.15 B.16 C.20 D.32 8.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个完全相同的直角三角形围成的.在直角三角形ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是(　　) A.12 B.36 C.66 D.76 9.如图,长方体木箱的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计),要求木条不能露出木箱,则能放入细木条的最大长度是(　　) A.41 cm B.34 cm C.52 cm D.53 cm 第9题图 第10题图 10.如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标为S1,以CD为斜边向外作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积记为S2……按照此规律继续下去,则S2 020的值为(　　)　　　 A.(22)2 017 B.(22)2 018 C.(12)2 017 D.(12)2 018 二、填空题(每题3分,共18分) 11.如图,已知正方形ABCD的面积为8,则对角线BD的长为　　　　.  　　　　　　 第11题图 第12题图 12.如图,在四边形ABCD中,AB=2,BC=2,CD=3,AD=1,且∠ABC=90°,则∠BAD的度数为　　　　.  13.已知m,n,d为一个直角三角形的三边长,且m-5=8n-n2-16,则此三角形的面积为　　　　.  14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C'处,那么△ADC'的面积是　　　　.  　　　　　　 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图,已知Rt△ABC的面积为20 cm2,在斜边AB的同侧,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为　　　　.  16.如图,圆柱形容器的高为18 cm,底面周长为24 cm,在容器内壁离下底面4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,离容器上底面2 cm的A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为　　　　cm.  三、解答题(共52分) 17.(6分)如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在所给网格中按下列要求画出图形. (1)从点A出发作一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为2 2; (2)以(1)中的AB为边作一个等腰三角形ABC,使点C落在格点上,且另两边的长都是无理数. 18.(8分)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=4,BC=3,DB=95. (1)求CD,AD的值; (2)判断△ABC的形状,并说明理由. 19.(8分)如图,小明所在学校的旗杆BD高为13 m,距离旗杆20 m处刚好有一棵高为3 m的香樟树AE,活动课上,小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步,发现有一个位置到旗杆顶部与树顶的距离相等,请你求出该位置与旗杆之间的距离. 20.(8分)清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日,西安发现了他的数学专著,其中有一文《积求勾股法》,它对“三边长分别为3,4,5的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出了解法:“若所设者为积数(面积),以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述:“若直角三角形的三边长分别为3,4,5的整数倍,设其面积为S,则第一步,S6=m;第二步,m=k;第三步,分别用3,4,5乘k,得三边长”. (1)当面积S等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长; (2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗?请写出证明过程. 21.(10分)在△ABC中,AB=25,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长. 22.(12分)我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点. 特例感知 ①等腰直角三角形　　　　　勾股高三角形;(填“是”或“不是”)  ②如图1,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点,CD是AB边上的高,若BD=2AD=2,试求线段CD的长度; 深入探究 如图2,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点且CA>CB,CD是AB边上的高,试探究线段AD与CB的数量关系,并给予证明; 推广应用 如图3,等腰三角形ABC为勾股高三角形,其中AB=AC>BC,CD为AB边上的高,过点D作BC边的平行线与AC边交于点E,若CE=a,试求线段DE的长度. 参考答案 1.A 　【解析】　A项,因为12+(2)2≠32,所以不能构成直角三角形;B项,因为52+122=132,所以能构成直角三角形;C项,因为62+82=102,所以能构成直角三角形;D项,因为82+152=172,所以能构成直角三角形.故选A. 2.B　【解析】　A项,x=32+42=5;B项,x=252-242=7;C项,x=172-152=8;D项,x=132-122=5.故选B. 3.A　 【解析】　由题图,可知DB=22+12=5,∴DA=DB=5,∴a=-1-5.故选A. 4.C　【解析】　A项,逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等,不成立;B项,逆命题是绝对值相等的两个数相等,不成立;C项,逆命题是同位角相等,两直线平行,成立;D项,逆命题是相等的两个角都是45°,不成立.故选C. 5.C　【解析】　过点A作AE⊥BC于点E,因为AB=AC,所以BE=CE=4.在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=AB2-BE2=25−16=3,因为垂线段最短,所以AD的取值范围是3≤AD<5,又线段AD的长为正整数,所以AD=3或4.由对称性可知,使AD=4的点D有2个,所以符合条件的点D共有3个.故选C. 6.A　【解析】　在Rt△AOB中,∵OA=2 m,OB=7 m,∴AB=OA2+OB2=53 m.由题意可知A'B'=AB= 53 m,又OA'=3 m,∴OB'=A'B'2-OA'2=211 m,∴BB'=(7-211) m<1 m.故选A. 7.B　【解析】　如图,∵a,b,c都是正方形,∴AC=CD,∠ABG=∠ACD=90°,∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+ ∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DCE.在△ABC和△CE中,∠BAC=∠DCE,∠ABC=∠DEC,AC=DC,∴△ACB≌△CDE,∴AB=CE,BC=DE.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2=7+9=16,∴正方形b的面积为16.故选B. 8.D　【解析】　根据题意,得将边长为6的直角边分别向外延长一倍所得的四个直角三角形的斜边长都是122+52=13,所以这个风车的外围周长为13×4+6×4=76.故选D. 9.C　【解析】　如图,连接BC,BD,在Rt△ABC中,BC=AC2+AB2=42+52=41(cm),在Rt△DCB中,DB= DC2+CB2=32+(41)2=52(cm),所以能放入细木条的最大长度为52 cm.故选C. 10.C　【解析】　利用等腰直角三角形的斜边与一直角边之间的数量关系可得到规律:从第二个正方形起每一个正方形的面积都是上一个正方形面积的12,即S2=12S1,S3=12S2=(12)2S1,…,Sn=(12)n-1S1,∴S2 020=22×(12)2 020-1= (12)2 017.故选C. 11.4　 【解析】　因为正方形ABCD的面积为8,所以AB=AD=22,所以BD=AB2+AD2= (22)2+(22)2=4. 12.135°　【解析】　连接AC,∵∠ABC=90°,AB=BC=2,∴∠BAC=45°,AC2=AB2+BC2=22+22=8,又CD=3,AD=1,∴AC2+AD2=CD2,∴∠CAD=90°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°. 13.6或10　【解析】　∵m-5=8n-n2-16,∴m-5-8n+n2+16=0,∴m-5+(n-4)2=0,∴m=5,n=4.(1)当m为直角三角形的斜边长时,d=52-42=3,∴三角形的面积为12×3×4=6;(2)当d为直角三角形的斜边长时,三角形的面积为12×5×4=10.故此三角形的面积为6或10. 14.6 cm2　【解析】　在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,由勾股定理得AB=AC2+BC2=10 cm.由折叠的性知,DC=DC',DC'⊥AB,∵S△BCD=12BC·CD,S△ABD=12AB·DC',∴S△BCD∶S△ABD=BC∶AB=6∶10= 3∶5,∵S△BCD+S△ABD=S△ABC=12×8×6=24(cm2),∴S△BDC'=S△BCD=9 cm2,S△ABD=15 cm2,∴S△ADC'=S△ABD-S△BDC'=15-9=6(cm2). 15.20 cm2　【解析】　由题图可知,阴影部分的面积S=12π(AC2)2+12π(BC2)2+S△ABC-12π(AB2)2=π8(AC2+BC2-AB2)+S△ABC=S△ABC=20 cm2. 16.20　【解析】　将圆柱形容器展开(过点A竖直剖开)后侧面是一个长24 cm、宽18 cm的长方形,如图,作点A关于MN的对称点A',连接A'B交MN于点P,连接AP,过点B作BH⊥MA于点H.由轴对称的性质和三角形三边关系知A'B的长度为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.由题意知BH=12 cm,A'H=16 cm.在Rt△A'BH中,由勾股定理得A'B=A'H2+BH2=20 cm.即蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20 cm. 17.【解析】　(1)线段AB如图所示. AB=22+22=8=2 2. (2)△ABC如图所示. AC=BC=12+32=10. 18.【解析】　(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°. 在Rt△BDC中,CD=CB2-BD2=32-(95)2=125, 在Rt△ADC中,AD=AC2-CD2=42-(125)2=165. (2)△ABC为直角三角形.理由如下: ∵AD=165,DB=95,∴AB=AD+DB=165+95=5. ∵AC2+BC2=42+32=25,AB2=25,∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC为直角三角形. 19.【解析】　如图,CE=CD,AE=3 m,AB=20 m,BD=13 m. 设AC=x m,则BC=(20-x)m, 在Rt△ACE中,CE=AE2+AC2=32+x2, 在Rt△BCD中,CD=BD2+BC2=132+(20-x)2, ∵CE=CD,∴32+x2=(20-x)2+132, 解得x=14,∴CB=20-x=6(m). 故该位置与旗杆之间的距离为6 m. 20.【解析】　(1)当S=150时,m=S6=1506=25, k=m=25=5, 3×5=15,4×5=20,5×5=25. 所以这个直角三角形的三边长分别为15,20,25. (2)能.证明如下: 设直角三角形的三边长分别为3k,4k,5k(k>0), 则S=12·3k·4k=6k2, 所以k2=S6,所以k=S6. 21.【解析】　∵AC=4,BC=2,AB=25, ∴AC2+BC2=AB2,∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°. 分三种情况讨论: 如图1,AB=BD,∠ABD=90°, 过点D作DE⊥CB,交CB的延长线于点E, 则∠ABC+∠DBE=90°, 又∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DBE, ∴△ACB≌△BED,∴BE=AC=4,DE=BC=2, ∴CE=6. 在Rt△CDE中,由勾股定理得CD=CE2+DE2=210. 如图2,AB=AD,∠BAD=90°, 过点D作DF⊥CA,交CA的延长线于点F, 同理可证△ACB≌△DFA,同理可得CD=213. 如图3,AD=BD,∠ADB=90°, 过点D作DG⊥CB,交CB的延长线于点G,过点A作AH⊥GD,交GD的延长线于点H, 同理可证△AHD≌△DGB,∴AH=DG,DH=BG. 设BG=x,则CG=2+x,AH=DG=4-x, 易知CG=AH,∴2+x=4-x,解得x=1, ∴CG=3,DG=3, 在Rt△CGD中,由勾股定理,得CD=CG2+DG2=32. 因此,线段CD的长为210或2 13或32. 22.【解析】　特例感知 ①是 ②根据勾股定理,得CB2=CD2+4,CA2=CD2+1, ∵△ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点, ∴CD2=CB2-CA2=(CD2+4)-(CD2+1)=3, ∴CD=3. 深入探究 AD=CB.证明如下: ∵△ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点,CA>CB, ∴CA2-CB2=CD2,∴CA2-CD2=CB2. ∵CA2-CD2=AD2,∴AD2=CB2,∴AD=CB. 推广应用 如图,过点A作AG⊥DE于点G, ∵等腰三角形ABC为勾股高三角形,且AB=AC>BC, ∴AC2-BC2=CD2,由深入探究中的结论,可知AD=BC. ∵ED∥BC,∴∠ADE=∠B. 又∠AGD=∠CDB=90°,∴△AGD≌△CDB,∴DG=BD. 易知△ADE为等腰三角形,∴ED=2DG=2BD. 又AB=AC,AD=AE,∴BD=EC=a,∴ED=2a.