18.2.2 菱形-八年级数学人教版（下册）（解析版）.doc

第十八章 平行四边形 18.2.2 菱形 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．菱形的两条对角线的分别为60 cm和80 cm，那么边长是 A．60 cm B．50 cm C．40 cm D．80 cm 【答案】B 【解析】如图， ∵菱形的两条对角线的长是60 cm和80 cm，∴OA=×80=40 cm，OB=×60=30 cm， 又∵菱形的对角线AC⊥BD，∴AB==50 cm，∴这个菱形的边长是50 cm．故选B． 2．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是 A．AB=CD B．AB=BC C．AD=BC D．AC=BD 【答案】B 3．菱形具有而矩形不具有的性质是 A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分且相等 【答案】C 【解析】A．菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线一定相等，故本选项错误； B．菱形和矩形的对角线均互相平分，故本选项错误； C．菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直（互相垂直时是正方形），故本选项正确； D．菱形和矩形的对角线均互相平分且相等，故本选项错误．故选C． 4．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 A．3.5 B．4 C．7 D．14 【答案】A 5．如图，四边形ABCD加上以下条件中的哪个，我们可认为它是菱形 A．AC⊥BD B．∠1=∠2，∠3=∠4 C．AO=CO，BO=DO D．AB=BC=CD=DA 【答案】D 【解析】若AB=BC=CD=AD，则四边形ABCD是菱形．故选D． 6．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=12，AB=7，则菱形ABCD的面积是 A．12 B．36 C．24 D．60 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD， ∴OB==，∴BD=2，∴菱形ABCD的面积=AC×BD=×12×2=12．故选A． 7．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于 A．60° B．55° C．45° D．30° 【答案】A 【解析】如图，连接AC， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，∴AB=AC，AD=AC． 又∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴AB=BC=CD=AD=AC．∴△ABC和△ADC都是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠BAC=30°，∠FAC=∠DAC=30°，∴∠EAF=∠EAC+∠FAC=60°． 故选A． 8．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是 A．②④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【解析】∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC．∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC． ∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC．故①正确；（含①的只有B和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的）． ∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°．∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF． ∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正确．故选D． 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．如图，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为__________．（只写出符合要求的一个即可） 【答案】AB=BC 10．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是__________． 【答案】（-5，4） 【解析】由题知A（3，0），B（-2，0），D在y轴上，∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2， 由菱形邻边相等可得AD=AB=5，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD==4， 由菱形对边相等且平行得CD=BA=5，所以C（-5，4）．故答案为：（-5，4）． 11．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=__________． 【答案】20° 12．如图，ABCD是菱形，AC是对角线，点E是AB的中点，过点E作对角线AC的垂线，垂足为点M，交AD边于点F，连接DM．若∠BAD=120°，AE=2，则DM=__________． 【答案】 【解析】如图，过M作MN⊥AD于N， ∵四边形ABCD是菱形，∴， ∵EF⊥AC，∴AE=AF=2，∠AFM=30°，∴AM=1，Rt△AMN中，∠AMN=30°，∴， ∵AD=AB=2AE=4，∴，由勾股定理得： ． 故答案为：． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC平分DAB，作CE垂直AC交AB的延长线于点E，若AB=BE，求证：四边形ABCD是菱形． ∴DAC=CAB=ACB， ∴AD∥BC． ∵AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形． 14．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE∥BC，且CE=CD． （1）求证：∠B=∠DEC； （2）求证：四边形ADCE是菱形． 【解析】（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点， ∴CD=DB， ∴∠B=∠DCB， ∵DE∥BC， ∴∠DCB=∠CDE， ∵CD=CE， ∴∠CDE=∠CED， ∴∠B=∠CED． （2）∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B， ∵∠B=∠DEC， ∴∠ADE=∠DEC， ∴AD∥EC， ∵EC=CD=AD， ∴四边形ADCE是菱形． 15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于E，点F在AD上，且AF=AB，连接EF． （1）判断四边形ABEF的形状并证明； （2）若AE、BF相交于点O，且四边形ABEF的周长为20，BF=6，求AE的长度及四边形ABEF的面积． ∴BE=AB， 又∵AF=AB， ∴BE=AF， 又∵BE∥AF， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AF=AB， ∴四边形ABEF是菱形． （2）∵四边形ABEF为菱形， ∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO， 在Rt△AOB中，， ∴AE=2AO=8． ∴四边形ABEF的面积为：． 综上所述，AE=8，四边形ABEF的面积是24． 16．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E． （1）求证：四边形ODEC是矩形； （2）当∠ADB=60°，AD=2时，求EA的长． （2）∵Rt△AOD中，∠ADO=60°， ∴∠OAD=30°， ∴OD=AD=， ∴AO==3， ∴AC=6， ∵四边形ODEC是矩形， ∴EC=OD=，∠ACE=90°， ∴AE==．