07 【人教版】八年级下期中数学试卷（含答案）.doc

下学期期中质量检测八年数学试卷试卷 一、选择题（共10小题） 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2.下列各式中，一定能成立的是（ ） A. B. C. =x-1 D. 3.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A. 1、2、2 B. 32，42，52 C. ，， D. 4.如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，则等于（ ） A B. C. D. 5.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（　　） A. AB=CD B. AC=BD C. 当AC⊥BD时，它是菱形 D. 当∠ABC=90°时，它是矩形 6.已知，则与的关系是(　　) A. B. C. D. 7.比较大小：4与5的结果是（ ） A. 4=5 B. 4＞5 C. 4＜5 D. 无法确定 8.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 9.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于(　　) A. 10 B. 12 C. 24 D. 48 10.如图，在平行四边形ABCD，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于 BF的长为半径画弧交于点G，做射线AG交BC与点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）． A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 二、填空题 11.一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是_______． 12.若二次根式有意义，则x取值范围是________． 13.使是整数的最小正整数________． 14.如图，从一个大正方形裁去面积为15cm²和24cm²的两个小正方形，则留下的部分的面积为____________cm². 15.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要_____________平方米． 16.如图，已知O是□ABCD的对角线交点，AC = 38mm，BD = 24mm，AD = 14mm，那么△OBC的周长等于__________． 17.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=_____ 18.如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是__________． 三、解答题 19.计算 （1） （2） 20.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是直线BD上的两点，且，求证： （1）AE=CF （2）AE∥CF． 21.已知求下列各式的值： (1)；(2). 22.如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13， 求四边形ABCD的面积． 23.如图：在正方形中，对角线、相交于点，的平分线交于点，交于点． 求证：（1）； （2）． 24.在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∴ 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值. 25.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E，F两点均在BD上），折痕分别为BH，DG． （1）求证：BH∥DG； （2）求证：△BEH≌△DFG； （3）若AB=6cm，BC=8cm． ①求BF的长； ②求线段CG长． 解析卷 一、选择题（共10小题） 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数是小数，故B错误； C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确； D、被开方数含能开得尽方的因数，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2.下列各式中，一定能成立的是（ ） A. B. C. =x-1 D. 【答案】A 【解析】 A.，成立；B.，=a，则B不成立；C.|，则C不成立；D.≠，则D不成立，故选A. 3.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A. 1、2、2 B. 32，42，52 C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断． 【详解】解：A、∵12+22=5≠22， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误； B、∵（32）2+（42）2≠（52）2 ， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误； C、∵（）2+（）2=3=（）2， ∴以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确； D、∵（）2+（）2=7≠（）2， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断． 4.如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠DAB=180°-100°=80°，由角平分线的定义得出∠DAE=∠DAB=40°即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠B=180°， ∴∠DAB=180°-100°=80°， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠DAB=40°； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠DAB的度数是解决问题的关键． 5.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（　　） A. AB=CD B. AC=BD C. 当AC⊥BD时，它是菱形 D. 当∠ABC=90°时，它是矩形 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据平行四边形的性质可知A一定正确， 由菱形判断定理可知C正确， 由矩形判断可知D正确， 而B选项只是可能， 故选B 6.已知，则与的关系是(　　) A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将a分母有理化，然后求出a+b即可得出结论． 【详解】解： ∴ ∴ 故选C． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键． 7.比较大小：4与5的结果是（ ） A. 4=5 B. 4＞5 C. 4＜5 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出4与5的平方各是多少，然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出4与5的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵48＜50， ∴4＜5 故选：C． 【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个正实数，平方大的这个数也大． 8.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长. 【详解】根据题意可得图形： AB=12cm，BC=9cm， 在Rt△ABC中：AC==15（cm）， 则这只铅笔的长度大于15cm． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键． 9.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于(　　) A. 10 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直角三角形的两个锐角互余，求出∠AEB和∠EDC，即可证出△AED为直角三角形，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AE和DE，最后利用勾股定理即可求出AD的值． 【详解】解：∵∠BAE＝∠DEC＝60° ∴∠AEB=90°－∠BAE=30°，∠EDC=90°－∠DEC=30° ∴∠AED=180°－∠AEB－∠DEC=90° ∴△AED为直角三角形 在Rt△ABE中，AE=2AB=6 在Rt△DEC中，DE=2CE=8 在Rt△AED中，AD= 故选A． 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余、30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理是解决此题的关键． 10.如图，在平行四边形ABCD，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于 BF的长为半径画弧交于点G，做射线AG交BC与点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）． A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】 根据尺规作图先证明四边形ABEF是菱形，再根据菱形的性质，利用勾股定理即可求解． 【详解】由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE＝∠BAE， ∴AF＝AB，EF＝EB， ∵AD∥BC， ∴∠FAE＝∠AEB， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴BA＝BE， ∴BA＝BE＝AF＝FE， ∴四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF ∵BF=12，AB=10， ∴BO=BF=6 ∴AO= ∴AE=2AO=16 故选B． 【点睛】本题考查的是菱形的判定、复杂尺规作图、勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理和性质定理、线段垂直平分线的作法是解题的关键． 二、填空题 11.一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是_______． 【答案】13或． 【解析】 【分析】 本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】设第三边为x， （1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：52+122=x2， ∴x=13（负值舍去）； （2）若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：52+x2=122， ∴x=（负值舍去）； ∴第三边的长为13或． 故答案为：13或． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 12.若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式的被开方数的非负性即可得． 【详解】由二次根式的被开方数的非负性得： 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式的定义是解题关键． 13.使是整数的最小正整数________． 【答案】3 【解析】 ∵是整数， ∴12n是一个完全平方数， 又∵12n=4×3n=22×3n， ∴n的最小正整数为3， 此时，==6. 故答案为3. 点睛：此题是将被开方数化成a2的形式，再运用求解. 14.如图，从一个大正方形裁去面积为15cm²和24cm²的两个小正方形，则留下的部分的面积为____________cm². 【答案】 【解析】 【分析】 先求出两个小正方形的边长，再根据长方形的面积公式即可得． 【详解】由题意得，两个小正方形的边长分别为， 由长方形的面积公式得：留下部分的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，依据正方形的面积求出长方形的长与宽是解题关键． 15.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要_____________平方米． 【答案】（） 【解析】 【分析】 由三角函数的定义得到AC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果． 【详解】在Rt△ABC中，（米）， ∴AC+BC=米， ∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）； 故答案为：（）． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形面积的计算；由三角函数求出BC是解决问题的关键． 16.如图，已知O是□ABCD的对角线交点，AC = 38mm，BD = 24mm，AD = 14mm，那么△OBC的周长等于__________． 【答案】45cm 【解析】 【详解】试题分析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC=AC=19，OB=OD=BD=12，AD=BC=14，所以△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+14=45cm． 考点：平行四边形的性质． 17.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=_____ 【答案】22.5 ° 【解析】 分析】 由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数． 【详解】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°， 已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°， 又∵CE=AC， ∴∠E==22.5°． 故答案为：22.5°． 【点睛】此题主要考查等腰三角形两底角相等的应用，以及正方形中边角性质的应用． 18.如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】如图所示， 根据勾股定理几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2， 即A+B+C+D=S3=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 三、解答题 19.计算 （1） （2） 【答案】（1）3-；（2）-9-4 【解析】 【分析】 （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1） = = =3-； （2） = = =． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 20.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是直线BD上的两点，且，求证： （1）AE=CF （2）AE∥CF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据等式的基本性质可得，再由平行四边形性质得到AB=CD，AB∥CD，再得到∠ABE=∠CDF，根据“有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”得到△ABE≌△CDF，据此可得到答案；（2）由△ABE≌△CDF可得∠E=∠F，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠ABE=∠CDF 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF ∴AE=CF （2）由（1）得△ABE≌△CDF ∴∠E=∠F ∴AE∥CF 故答案为：（1）见解析；（2）见解析． 【点睛】本题重点考察全等三角形的判定，平行四边形的性质，以及平行线的判定方法，灵活运用即可． 21.已知求下列各式的值： (1)；(2). 【答案】（1）12 （2）4 【解析】 【分析】 观察可知：（1）式是和的完全平方公式， （2）是平方差公式．先转化，再代入计算即可． 【详解】（1）当x=+1，y=-1时， 原式=（x+y）2=（+1+-1）2=12； （2）当x=+1，y=-1时， 原式=（x+y）（x-y）=（+1+-1）（+1-+1）=4． 22.如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13， 求四边形ABCD的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】 根据勾股定理得：，根据勾股定理的逆定理，得∠BAD=90°，根据三角形的面积公式，即可求得答案． 【详解】∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， ∵AD＝12，BD＝13， ∴ ， ∴∆ABD是直角三角形，即：∠BAD=90°， ∴四边形ABCD的面积=． 【点睛】本题主要考查勾股定理以及逆定理，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键． 23.如图：在正方形中，对角线、相交于点，平分线交于点，交于点． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据正方形的性质得，根据角平分线的性质得，利用三角形外角的性质即可证得，从而证得结论； （2）取AF的中点G，连接OG，根据三角形的中位线得出，根据平行线的性质得出，从而证得结论． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）取的中点，联结， ∵分别是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 24.在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∴. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值. 【答案】（1）；（2）2． 【解析】 【分析】 （1）根据分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题． 【详解】解：（1） （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键. 25.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E，F两点均在BD上），折痕分别为BH，DG． （1）求证：BH∥DG； （2）求证：△BEH≌△DFG； （3）若AB=6cm，BC=8cm． ①求BF的长； ②求线段CG的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①4cm，②3cm 【解析】 【分析】 （1）由折叠的性质及平行线的性质证得∠HBD=∠FDG，则结论得证； （2）证得BE=DF，∠BEH=∠DFG．由ASA可证明△BEH≌△DFG． （3）①求出BD=10cm，则可得出答案； ②设CG=x cm，则FG=x cm，BG=（8-x）cm，由勾股定理得出（8-x）2=42+x2．解方程即可得解． 【详解】解：（1）由折叠可知：． 在矩形ABCD中， AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC． ∴∠HBD=∠FDG． ∴BH∥DG． （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C，AB=CD． AB=BE，CD=DF，∠BEH=∠A，∠DFG=∠C． ∴BE=DF，∠BEH=∠DFG． 在△BEH和△DFG中， ∴△BEH≌△DFG（ASA）． （3）①∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm， ∴BD＝cm， ∵由（2）知，FD＝CD，CG＝FG， ∴BF＝10−6＝4cm； ②设CG=x cm，则FG=x cm，BG=（8－x）cm， 在Rt△BGF中，BG2＝BF2＋FG2， 即， 解得x=3 即CG=3 cm． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．