第十八章平行四边形-2020-2021学年八年级数学下册单元能力提升检测（人教版）(28054222).docx

第十八章 平行四边形 一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列命题正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.一组邻边相等的矩形是正方形 2.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,AB边的中点,连接EF.若EF=3,OC=2,则菱形ABCD的面积为(　　) A.23 B.43 C.63 D.83 　　　　　　　　 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,交边BC于点E,若ED=5,EC=3,则矩形ABCD的周长为(　　) A.11 B.14 C.22 D.28 4.如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AE⊥BC,垂足为E,AB=3,AC=2,BD=4,则AE的长为(　　) A.32 B.32 C.217 D.2217 5.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形,甲、乙两人的作法如下: 甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形. 乙:分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形. 根据两人的作法可判断(　　) A.甲正确,乙错误 B.甲、乙均正确 C.乙正确,甲错误 D.甲、乙均错误 6.如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为(　　) A.10 B.12 C.16 D.18 　　　　 第6题图 第7题图 7.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,则对四边形EFGH的表述最确切的是(　　) A.四边形EFGH是矩形 B.四边形EFGH是菱形 C.四边形EFGH是正方形 D.四边形EFGH是平行四边形 8.如图,在▱ABCD中,∠BAD=120°,连接BD,作AE∥BD交CD的延长线于点E,过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F,且CF=1,则AB的长是(　　) A.1 B.2 C.3 D.2 　　　　　　 第8题图 第9题图　　 第10题图 9.如图,四边形ABCD是菱形,BD=42,AD=26,点E是CD边上的一动点,过点E作EF⊥OC于点F, EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为(　　) A.52 B.125 C.433 D.6 10.如图,正方形ABCD的边长为1,∠EAF=45°,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2=22.5°;②点C到EF的距离是2-1;③△ECF的周长为2;④BE+DF>EF.其中正确的结论有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题(每题3分,共18分) 11.工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边是否相等,还要测量两条对角线是否相等,这样做的依据是　　　　　　　　　　　　　　.  12.如图,E为▱ABCD外一点,且EB⊥BC于点B,ED⊥CD于点D,若∠E=50°,则∠A的度数为　　　　　.  　　　　　　　　 第12题图 第13题图 第14题图 13.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EF⊥AC于点F,连接EC,AF=3,△EFC的周长为12,则EC的长为　　　　.  14.如图,点P是矩形ABCD的边AD上一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是　　　　.  15.如图,一张矩形纸片的长AD=12,宽AB=2,点E在边AD上,点F在边BC上,将四边形ABFE沿直线EF翻折后,点B落在边AD的三等分点G处,点A落在点A'处,则EG的长为　　　　.  　　　　 第15题图 第16题图 16.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为　　　　.  三、解答题(共52分) 17.(6分)如图,四边形AECF是平行四边形,点D,B分别在AF,CE的延长线上,连接AB,CD,∠B=∠D. 求证:(1)△ABE≌△CDF; (2)四边形ABCD是平行四边形. 18.(8分)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点B作BE⊥CD于点E,延长CD到点F,使DF=CE,连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形; (2)连接OF,若AB=6,DE=2,∠ADF=45°,求OF的长. 19.(8分)如图,将矩形ABCD折叠,使点A,C重合,再展开,折痕交BC于点E,交AD于点F. (1)求证:四边形AECF为菱形; (2)若AB=4,BC=8,求菱形的边长; (3)在(2)的条件下求折痕EF的长. 20.(8分)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,DC上的点,且AF⊥BE. (1)求证:AF=BE; (2)如图2,在正方形ABCD中,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且MP⊥NQ,MP与NQ是否相等?请说明理由. 　　 图1 图2 21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为点F,连接CD,BE. (1)求证:CE=AD; (2)当D为AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?请说明理由. (3)若D为AB的中点,则当∠A满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明理由. 22.(12分)某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF. (1)观察猜想 如图1,当点D在线段BC上时, ①BC与CF的位置关系为　　　　　;  ②BC,CD,CF之间的数量关系为　　　　　;(将结论直接写在横线上)  (2)数学思考 如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明. (3)拓展延伸 如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若AB=22,CD=14BC,请求出GE的长. 　　　　　　　　　 图1 图2 图3 参考答案 1.D　【解析】　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故A错误;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故B错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故C错误;一组邻边相等的矩形是正方形,故D正确.故选D. 2.B　【解析】　∵E,F分别是AD,AB边的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴BD=2EF=23.∵四边形ABCD是菱形,∴AC=2OC=4,∴菱形ABCD的面积为12AC×BD=12×4×23=43.故选B. 3.C　【解析】　∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,AD=BC,AB=CD,AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=∠AEB,∴BE=AB.∵ED=5,EC=3,∴CD=ED2-EC2=52-32=4, ∴BE=AB=CD=4,∴矩形ABCD的周长为2×(4+3+4)=22.故选C. 4.D　【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2,BD=4,∴AO=1,BO=2.∵AB=3,∴AO2+AB2= BO2,∴△ABO是直角三角形且∠BAO=90°,∴BC=AB2+AC2=(3)2+22=7.∵S△ABC=12AB×AC= 12BC×AE,∴12×3×2=12×7×AE,解得AE=2217.故选D. 5.B　【解析】　对于甲的作法,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACN.∵MN是AC的垂直平分线,∴∠AOM=∠CON=90°,AO=CO,∴△AOM≌△CON,∴MO=NO,∴四边形ANCM是平行四边形,又AC⊥MN,∴四边形ANCM是菱形,故甲的作法正确.对于乙的作法,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA.∵BF平分∠ABC,AE平∠BAD,∴∠FBE=∠FBA, ∠BAE=∠FAE,∴∠AFB=∠ABF,∠BAE=∠AEB,∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形,又AB=AF,∴四边形ABEF是菱形,故乙的作法正确.故选B. 6.C　【解析】　如图,过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N,则四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN、四边形BEPN都是矩形,∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN, ∴S△PBE=S△DFP=12×2×8=8,∴S阴影=8+8=16.故选C. 7.B　【解析】　∵点E,H分别是AB,AC的中点,∴EH∥BC,EH=12BC.同理,EF∥AD,EF=12AD,HG∥AD, HG=12AD,∴EF∥HG,EF=HG,∴四边形EFGH是平行四边形.∵AD=BC,∴EF=EH,∴平行四边形EFGH是菱形.故选B. 8.A　【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∠BCD=∠BAD=120°.∵AE∥BD, ∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE,∴CE=2AB,∵∠BCD=120°,∴∠ECF=60°,∵EF⊥BF, ∴∠CEF=30°,∴CE=2CF=2,∴AB=1.故选A. 9.C　【解析】　连接OE,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=DC,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.∵EF⊥OC, EG⊥OD,∴四边形OGEF是矩形,∴OE=GF.当OE⊥DC时,OE的值最小,即GF的值最小.∵BD=42, ∴OD=22,∴OC=DC2-OD2=(26)2-(22)2=4.∵S△ODC=12OD·OC=12DC·OE,∴12×22×4=12×26×OE, ∴OE=433,∴FG的最小值为433.故选C. 10.B　【解析】　∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90°.在Rt△ABE和Rt△ADF中,∵AB=AD,AE=AF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF,∴∠1=∠2.∵∠EAF=45°,∴∠1=∠2=∠22.5°,故①正确.如图,连接AC交EF于点H,∵Rt△ABE≌Rt△ADF,∴BE=DF,又BC=DC,∴CE=CF.∵AE= AF,∴AC垂直平分EF,AH平分∠EAF,又∠1=∠2,∴AE平分∠BAC,AF平分∠DAC,∴EB=EH,FD=FH, ∴BE+DF=EH+HF=EF,故④错误.△ECF的周长为CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF=CB+CD= 1+1=2,故③正确.设BE=x,则EF=2x,CE=1-x,∵△CEF为等腰直角三角形,∴EF=2CE,∴2x=2(1-x),解得x=2-1,∴BE=2-1.在Rt△ECF中,EH=FH,∴CH=12EF=EH=BE=2-1.∵CH⊥EF,∴点C到EF的距离是2-1,故②正确.综上,正确的结论是①②③.故选B. 11.对角线相等的平行四边形是矩形 12.130°　【解析】　∵EB⊥BC,ED⊥CD,∴∠EBC=90°,∠EDC=90°.∵∠E=50°,∴∠C=360°-90°-90°-50°=130°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C=130°. 13.5　【解析】　∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=45°,∵EF⊥AC,∴∠AEF=∠BAC=45°,∴EF= AF=3.∵△EFC的周长为12,∴EF+CF+EC=12,∴CF=9-EC.在Rt△EFC中,由勾股定理,得(9-EC)2+32=EC2,解得EC=5. 14.245　【解析】　如图,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,连接PO.因为AB,BC的长分别是6和8,所以AC=BD=10,所以AO=OD=5,因为S△PAO+S△POD=S△AOD,所以12AO×PE+12OD×PF=14×6×8,所以PE+PF=245,即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是245. 15.52或174　【解析】　过点G作GH⊥BC于点H,则四边形ABHG是矩形.∵G是AD的三等分点,∴AG=4或8.由折叠的性质,可知FG=FB,∠EFB=∠EFG.∵AD∥BC,∴∠FEG=∠EFB,∴∠FEG=∠GFE, ∴EG=FG.设EG=x,则FG=FB=x.在Rt△FGH中,∵FG2=GH2+FH2,∴x2=22+(4-x)2或x2=22+(8-x)2,∴x=52或174,即EG的长为52或174. 16.72　【解析】　∵四边形ABCD是正方形,∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90°.在Rt△DCE中,F为DE的中点,∴CF=12DE=EF=DF.∵△CEF的周长为18,CE=5,∴CF+EF=18-5=13,∴DE=DF+EF=13.在Rt△DCE中,根据勾股定理,得DC=132-52=12,∴BC=12,∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F为DE的中点,∴OF为△BDE的中位线,∴OF=12BE=72. 17.【解析】　(1)∵四边形AECF是平行四边形, ∴AE=CF,AF=CE,∠AEC=∠AFC,∴∠AEB=∠CFD. 在△ABE和△CDF中,∠B=∠D,∠AEB=∠CFD,AE=CF, ∴△ABE≌△CDF. (2)由(1)知△ABE≌△CDF, ∴AB=CD,BE=DF, ∵AF=CE,∴AF+DF=CE+BE,即AD=BC, 又AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 18.【解析】　(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD. ∵DF=CE,∴DF+DE=CE+DE, 即FE=CD,∴FE=AB, 又AB∥FE,∴四边形ABEF是平行四边形. ∵BE⊥CD,∴∠BEF=90°, ∴四边形ABEF是矩形. (2)由(1)知四边形ABEF是矩形,∴EF=AB=6, ∵DE=2,∴DF=CE=4,∴CF=4+4+2=10. 在Rt△ADF中,∠ADF=45°,∴AF=DF=4, 在Rt△ACF中,由勾股定理,得AC=AF2+CF2=42+102=229, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC, ∴OF=12AC=29. 19.【解析】　(1)∵将矩形ABCD折叠后点A,C重合,折痕为EF, ∴OA=OC,EF⊥AC,EA=EC. ∵AD∥BC,∴∠FAC=∠ECA, 又∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴OF=OE. ∴四边形AECF为平行四边形, 又EF⊥AC,∴四边形AECF为菱形. (2)设菱形的边长为x,则BE=BC-CE=8-x,AE=x. 在Rt△ABE中,∵BE2+AB2=AE2, ∴(8-x)2+42=x2,解得x=5, 即菱形的边长为5. (3)在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=42+82=45, ∴OA=12AC=25. 在Rt△AOE中,OE=AE2-OA2=52-(25)2=5, ∴EF=2OE=25. 20.【解析】　(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠BAE=∠D=90°,∴∠DAF+∠BAF=90°. ∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF. 在△ABE和△DAF中,∠ABE=∠DAF,AB=DA,∠BAE=∠D, ∴△ABE≌△DAF,∴AF=BE. (2)MP与NQ相等.理由如下: 如图,过点A作AG∥MP交CD于点G,过点B作BH∥NQ交AD于点H. ∵MP⊥NQ,∴AG⊥BH. ∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形AMPG与四边形BNQH都是平行四边形, ∴AG=PM,BH=NQ. ∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=AD,∠BAH=∠D=90°,∴∠DAG+∠BAG=90°. ∵AG⊥BH,∴∠ABH+∠BAG=90°,∴∠ABH=∠DAG. 在△ABH和△DAG中,∠ABH=∠DAG,AB=DA,∠BAH=∠D, ∴△ABH≌△DAG,∴AG=BH,∴MP=NQ. 21.【解析】　(1)∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE. ∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形, ∴CE=AD. (2)四边形BECD是菱形.理由如下: ∵D为AB的中点,∴AD=BD. 由(1)知CE=AD,∴BD=CE, ∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形, 又DE⊥BC,∴四边形BECD是菱形. (3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.理由如下: ∵∠ACB=90°,∠A=45°, ∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC. ∵D为AB的中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB=90°, 又四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形. 即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形. 22.【解析】　(1)①垂直;②BC=CD+CF (2)①成立,②不成立,正确结论是BC=`DC-CF.证明如下: ∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°. ∵∠BAC=90°,∴∠DAB=∠FAC, 又AD=AF,AB=AC,∴△DAB≌△FAC. ∴DB=CF,∠DBA=∠FCA. ∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°. ∴∠FCA=∠DBA=135°,∴∠BCF=90°,∴BC⊥CF. ∵BC=DC-DB,DB=CF,∴BC=DC-CF. (3)如图,过点A作AM⊥BC于点M,过点E作EN⊥BC于点N,EP⊥CF于点P.易得四边形PCNE为矩形, ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AM=BM=CM=2. ∵CD=14BC,∴CD=1,∴MD=3. ∵∠ADC+∠EDN=90°,∠EDN+∠DEN=90°, ∴∠ADC=∠DEN, 又∠AMD=∠DNE=90°,AD=DE, ∴△AMD≌△DNE,∴DN=AM=2,EN=MD=3. ∵CG=BC=4,∴GP=4-3=1. 在Rt△GPE中,由勾股定理,得GE=GP2+PE2=12+32=10.