03 【人教版】八年级上期末数学试卷（解析版）.docx

第一学期人教版八年级数学期末模拟卷三 （解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(共30分) 1．在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（　　） A．三条线段首尾顺次相接能构成三角形 B．三角形的内角和是180° C．三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】 根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】 解：①∵a＝8，b＝5，c＝1， ∴a＞b+c， ∴三条线段不能组成三角形； ②∵a＝8，b＝6，c＝2， ∴a＝b+c， ∴三条线段不能组成三角形； ③∵a＝8，b＝6，c＝3， ∴a＜b+c， ∴三条线段能组成三角形； ∴学生可能会发现的结论是三角形任意两边之和大于第三边， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了三角形三边关系的应用，准确判断是解题的关键． 2．如图，直线AB//CD，直线AB，EG交于点F，直线CD，PM交于点N，∠FGH＝90°，∠CNP＝30°，∠EFA＝α，∠GHM＝β，∠HMN＝γ，则下列结论正确的是（　　） A．β＝α+γ B．α+β+γ＝120° C．α+β﹣γ＝60° D．β+γ﹣α＝60° 【答案】C 【分析】 延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．利用平行线的性质求出∠KSM，利用邻补角求出∠SMH，利用三角形的外角与内角的关系，求出∠SKG，再利用四边形的内角和求出∠GHM． 【详解】 解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S． ∵AB∥CD， ∴∠KSM=∠CNP=30°． ∵∠EFA=∠KFG=α，∠KGF=180°-∠FGH=90°， ∠SMH=180°-∠HMN=180°-γ， ∴∠SKH=∠KFG+∠KGF =α+90°， ∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM=360°， ∴∠GHM=360°-α-90°-180°+γ-30°， ∴α+β-γ=60°， 故选：C． 【点睛】 本题考查了平行线的性质、三角形的外角与内角的关系及多边形的内角和定理等知识点．利用平行线、延长线把分散的角集中在四边形中是解决本题的关键． 3．如图，中，、分别是、上的点，作，，垂足分别是、，若，，下面四个结论：①；②；③≌；④垂直平分，其中正确结论的序号是（ ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】 由“HL”可证Rt△APR≌Rt△APS，可得AS＝AR，∠PAR＝∠PAS，由等腰三角形的性质可得∠QAP＝∠RAP＝∠QPA，可证QP∥AR，由线段垂直平分线的性质可证AP垂直平分RS． 【详解】 解：如图，连接AP，RS， ∵PR⊥AB，PS⊥AC， ∴∠ARP＝∠ASP＝90°， ∵AP＝AP，PR＝PS， ∴Rt△APR≌Rt△APS（HL）， ∴AS＝AR，∠PAR＝∠PAS，故①正确， ∵AQ＝PQ， ∴∠QAP＝∠QPA， ∴∠RAP＝∠QPA， ∴QP∥AR，故②正确， ∵AR＝AS，PR＝PS， ∴AP垂直平分RS，故④正确， 由题目条件不能证明△BRP≌△QSP， 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，证明Rt△APR≌Rt△APS是本题的关键． 4．如图所示，四边形是正方形，边长为，点、分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，是上一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 作出点D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，1）．则PD+PA的最小值就是AD′的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：作出点关于的对称点， 则的坐标是 ， 则的最小值就是的长． 则， 因而， 则和的最小值是． 故选B． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，以及最短路线问题，正确作出P的位置是关键． 5．如图所示，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD交于点P，且分别与CD、CE交于点见M，N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AM＝DN；④∠APD＝60°，其中正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】 先根据等边三角形的性质得到CA＝CD，∠ACD＝60°，CB＝CD，∠BCE＝60°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△DCB（SAS），从而对①进行判断；再证明△CAM≌△CDN，则可对②③进行判断；利用三角形内角和得到∠DPM＝∠ACM，则可对④进行判断． 【详解】 解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形， ∴CA＝CD，∠ACD＝60°，CB＝CD，∠BCE＝60°， ∴∠ACE＝∠DCB， 在△ACE和△DCB中，， ∴△ACE≌△DCB（SAS），所以①正确； ∴∠CAE＝∠CDB， ∵∠DCN＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°， ∴∠ACM＝∠DCN， 在△CAM和△CDN中，， ∴△CAM≌△CDN（ASA）， ∴CM＝CN，AM＝DN，所以②③正确； ∵∠MDP+∠DMP+∠DPM＝∠MAC+∠AMC+∠ACM， ∴∠DPM＝∠ACM＝60°，所以④正确． 故选：A． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】 根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论． 【详解】 ∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中点， AD⊥BC于点D， ∴S△ABC= =60， ∴AD=12， 设AD与EF的交点为P， ∵EF垂直平分AB， ∴点A，B关于直线EF对称， ∴PA=PB， 此时AD的长为PB+PD的最小值， 即PB+PD的最小值为12， 故选：C． 【点睛】 本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 7．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 运用同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的运算法则分别对各项进行运算，即可得出结果 【详解】 解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，解答的关键是对这些知识点的运算法则的掌握与应用． 8．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足，则该长方形的面积为（ ）cm2 A． B． C．15 D．16 【答案】A 【分析】 先根据题意求出，然后由可得，由此求解即可． 【详解】 解：∵长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm， ∴， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴②， 联立①②解得， ∴长方形的面积， 故选A． 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9．下列说法正确的是（　　） A．若分式的值为0，则x＝2 B．是分式 C．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） D． 【答案】B 【分析】 根据分式的值为零的条件，分式的定义，最简公分母的确定方法以及分式的性质进行判断． 【详解】 解：A、若分式的值为0，则x2-4=0且x-2≠0，所以x=-2，该选项不符合题意； B、的分母中含有字母，是分式，该选项符合题意； C、与的最简公分母是ab(x-y)，该选项不符合题意； D、当x=0时，该等式不成立，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了最简公分母，分式的定义，分式的值为零的条件．注意：分式的分母不等于零． 10．整数满足下列两个条件，使不等式恰好只有3个整数解，使得分式方程的解为整数，则所有满足条件的的和为（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】 根据不等式组求出a的范围，然后再根据分式方程求出a的范围，从而确定的a的可能值． 【详解】 解：由不等式组可知：-3≤x＜， ∵x有且只有3个整数解，则3个整数解为-3，-2，-1， ∴-1＜≤0， ∴0＜a≤3， 由分式方程可知：，且， ∴a≠0， ∵关于x的分式方程有整数解， ∴4能被a+2整除，即a+2=4或2或1， ∵a是整数， ∴a=-1、-3、-4、-6、2； ∵0＜a≤3， ∴a=2， ∴所有满足条件的整数a之和为2， 故选：A． 【点睛】 本题考查学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出a的范围，本题属于中等题型． 二、填空题(共24分) 11．方程的解是______． 【答案】 【分析】 将原式通分，整理为，即，求解即可． 【详解】 解：， ， ， ∴， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法以及分式为零的情况是解本题的关键． 12．已知，且，=_______ 【答案】 【分析】 先将利用因式分解化为，根据求得，再代入求解即可． 【详解】 解：因为， 所以， 所以或， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用和分式的化简求值，熟悉相关性质是解题的关键． 13．已知，，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】 根据已知条件先算出，继而得到，再根据因式分解即可代入求解； 【详解】 ∵，， ∴， ∴， 又∵， ； ∴； 故答案是：． 【点睛】 本题主要考查了因式分解的应用，准确计算是解题的关键． 14．下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请你观察，并根据此规律写出：______． 【答案】a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 【分析】 先认真观察适中的特点，得出a的指数是从5到0，b的指数是从0到5，系数依次为1，5，10，10，5，1，得出答案即可． 【详解】 解：（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5， 故答案为：a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是能读懂杨辉三角中数字变化规律． 15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，点D为AB边上一点且不与A、B重合，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，直线CE与直线AB相交于点F．若∠A=α，当△DEF为等腰三角形时，∠ACD=__________________．（用α的代数式表示∠ACD） 【答案】或或 【分析】 若为等腰三角形，则，根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】 解：由翻折的性质可知，， 如图1， 当时，则， ，， ， ， 当时，为等腰三角形， 故答案为． 当时，； ， ， ，； ， ， 如图2， 当时，； ，， ； 当或或时，为等腰三角形， 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和定理． 16．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于_____． 【答案】285° 【分析】 根据直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质计算即可． 【详解】 解：∵∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°， ∴∠2+∠3=180°-∠D=150°， ∵∠α=∠1+∠A，∠β=∠4+∠C， ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠α+∠β=∠A+∠1+∠4+∠C=∠A+∠C+∠2+∠3=45°+90°+150°=285°， 故答案为：285°． 【点睛】 本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 17．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论： ①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝64°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB：∠ADB＝2：1的数量关系不变．其中正确结论的有_________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】 根据AM∥BN，可以得到∠ACB=∠CBN（可以判断①），∠PDB=∠DBN，根据角平分线的性质得到，，从而得到∠PBD=∠PDB， 58°，可以判断②，根据∠APB=∠ADB+∠PBD，得到∠APB=2∠ADB，可以判断④，根据∠ACB＝∠ABD，∠ACB+∠ABC+∠A=180°，可以得到∠ABD+∠ABC+∠A=180°，即可得到∠ABC+∠ABC+∠BCD=116°，从而可以判断③ . 【详解】 ：∵AM∥BN，∠A=64° ∴∠ACB=∠CBN，故①正确，∠A+∠ABN=180°， ∴∠ABN=116°， ∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴，， ∴58°，故②错误 ∵∠ACB＝∠ABD，∠ACB+∠ABC+∠A=180°， ∴∠ABD+∠ABC+∠A=180°， ∴∠ABD+∠ABC=116°， ∴∠ABC+∠ABC+∠BCD=116°， ∴∠ABC=29°，故③正确， ∵AM∥BN， ∴∠PDB=∠DBN， 又∵ ∴∠PBD=∠PDB， ∵∠APB=∠ADB+∠PBD， ∴∠APB=2∠ADB， ∴∠APB：∠ADB=2:1，故④正确 故答案为：①③④ . 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 18．若，，则，的大小关系是______（填“＜”或“＞”）． 【答案】＞ 【分析】 根据幂的乘方进行解答即可 【详解】 解：∵a15=（a3）5=25=32，b15=（b5）3=33=27，32＞27， ∴a15＞b15， ∴a＞b， 故答案为：＞； 【点睛】 本题考查了幂的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键． 三、解答题(共46分) 19．(本题6分)计算： （1） （2） （3）解分式方程： 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方的计算法则求解即可； （2）利用分式的性质对分式进行化简即可； （3）先两边同时乘以 去分母，然后解方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ； （3）∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，分式的化简，解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20．(本题10分)虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 【答案】（1）去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元；（2）今年至少要购买140本文学书． 【分析】 （1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元，根据题意列分式方程，解此分式方程，并检验即可解题； （2）设今年这所中学要购买本文学书，根据总费用不超过2120元列一元一次不等式，解此不等式即可． 【详解】 解：（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元， ， ， 经检验是原分式方程的解， ， 答：去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元． （2）设今年这所中学要购买本文学书， ． 答：今年至少要购买140本文学书． 【点睛】 本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 21．(本题10分)如图1所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由． （2）如图2所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设，． ①若，，求的度数． ②判断：点在运动过程中，和的数量关系是否发生变化？若不变，求出和的数量关系；若变化，请说明理由． 【答案】(1) AB∥CD，理由见详解；（2）①50°；②不变化，. 【分析】 （1）依据EF平分∠AEG，可得∠AEF=∠GEF，再根据∠EFG=∠FEG，可得∠AEF=∠GFE，进而得出AB∥CD； （2）①依据∠HEG=40°，即可得到∠FEG=70°，依据QG平分∠EGH，即可得到∠QGH=∠QGE=20°，根据∠Q=∠FEG-∠EGQ进行计算即可；②根据∠FEG是ΔEGQ的外角，∠AEG是ΔEGH的外角，即可得到∠Q=∠FEG-∠EGQ，∠EHG=∠AEG-∠EGH，再根据FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，即可得出∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，最后依据∠Q=∠FEG-∠EGQ进行计算，即可得到. 【详解】 （1）直线AB与直线CD平行，理由：EF平分∠AEG， ∴∠AEF=∠GEF， 又∵∠EFG=∠FEG， ∴∠AEF=∠GFE， AB∥CD; （2） ①∵∠HEG=40°， ∴∠FEG = (180°-40°) =70°， 又∵QG平分∠EGH， ∴∠QGH=∠QGE=20°， ∴∠Q=∠FEG-∠EGQ=70°-20°＝50°； ②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化， ∵∠FEG是ΔEGQ的外角，∠AEG是ΔEGH的外角， ∴∠Q=∠FEG-∠EGQ， ∠EHG=∠AEG-∠EGH， 又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH， ∴∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH， ∴∠Q=∠FEG-∠EGQ =（∠AEG-∠EGH） ＝∠EHG 即. 【点睛】 本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，解决问题的关键是利用三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 22．(本题10分)在△ABC中，AB＝AC＝10cm． （1）如图1，AM是△ABC的中线，MD⊥AB于D点，ME⊥AC于E点，MD＝3cm，则ME＝　 　cm． （2）如图2，在（1）的条件下，连接DE交AM于点F，试猜想： ①FD　 　FE（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②AM　 　DE（填位置关系）． （3）如图3，BC＝8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上由B向C运动，同时点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由C向A运动，设点P的运动时间为t秒．问：运动时间t为多少时，△BDP与△PQC全等？ 【答案】（1）3；（2）①=；②⊥；（3）或 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得∠BAM＝∠CAM，由角平分线的性质可得结论； （2）由“HL”可证Rt△ADM≌Rt△AEM，可得AD＝AE，由等腰三角形的性质可得结论； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【详解】 解：（1）∵AB＝AC，AM是△ABC的中线， ∴∠BAM＝∠CAM， 又∵DM⊥AB，ME⊥AC， ∴MD＝ME＝3cm， 故答案为：3； （2）在Rt△ADM和Rt△AEM中， ， ∴Rt△ADM≌Rt△AEM（HL）， ∴AD＝AE， 又∵∠BAM＝∠CAM， ∴DF＝EF，AM⊥DE， 故答案为：＝，⊥； （3）∵点D为AB的中点， ∴AD＝BD＝5cm， ∵△BDP与△PQC全等， ∴BP＝CP，BD＝CQ＝5cm或BP＝CQ，BD＝PC＝5cm， 当BP＝CP，BD＝CQ＝5cm， ∴t＝， 当BP＝CQ，BD＝PC＝5cm， ∵BC＝8cm， ∴BP＝CQ＝3cm， ∴t＝， 综上所述：运动时间t为或时，△BDP与△PQC全等． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键． 23．(本题10分)观察：已知． … （1）猜想： ； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ① ； ② ； （3）拓广：① ； ②判断的值的个位数是几？并说明你的理由． 【答案】（1）；（2）① ；② ；（3）① ；② 个位上数字是7，理由见解析． 【分析】 （1）根据一系列等式总结出规律即可； （2）① 令，代入上面规律计算即可； （2）② 将式子变形为：，计算即可； （3）① 提取，将原式变形为：，按照规律计算即可； （3）② 由，…结果是以2、4、8、6，，的个位数字为8，进一步得到结果． 【详解】 解：（1） （2）① = = ② = = （3）① = = = ② = = ∵…结果是以2、4、8、6循环 ∴ ∴的个位数字为8， ∴的个位数字为7 【点睛】 本题考查整式混合运算的应用，找出本题的规律是解题关键．