03 【人教版】八年级上期中数学试卷（解析版）.docx

第一学期人教版八年级数学期中模拟卷三 （解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(共30分) 1．若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（ ） A．50° B．80° C．50°或70° D．80°或40° 【答案】C 【分析】 根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出底角的度数． 【详解】 解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x＋30°，分情况讨论： 当∠A＝∠C为底角时，2x＋（x＋30°）＝180°，解得x＝50°； 当∠B＝∠C为底角时，2（x＋30°）＋x＝180°，解得x＝40°， 即：∠B＝∠C=40°+30°=70°， 故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°． 故选：C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 2．如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】 要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解即可． 【详解】 解：作点E关于AD的对称点F，连接CF， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴点E关于AD的对应点为点F， ∴CF就是EP+CP的最小值． ∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点， ∴F是AB的中点， ∴CF是△ABC的中线， ∴CF＝AD＝6， 即EP+CP的最小值为6， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键． 3．下列四种表情图片，其中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念结合四种QQ表情图片的形状求解． 【详解】 解：由轴对称图形的概念可知A是轴对称图形，B，C与D不是轴对称图形． 故选A． 【点睛】 本题主要考查了轴对称图形的识别，解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的定义. 4．如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（ ）处． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个． 【详解】 解：∵ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴ABC内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点， 过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC， ∴PE＝PF，PF＝PD， ∴PE＝PF＝PD， ∴点P到ABC的三边的距离相等， ∴ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点共有4个， ∴可供选择的地址有4处． 故选：D． 【点睛】 此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等定理的应用，注意数形结合思想的应用，小心不要漏解． 5．如图，是等腰直角三角形，，若，垂足分别是点D、E则图中全等的三角形共有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】A 【分析】 通过HL定理判断三角形全等即可； 【详解】 ∵，，，， ∴， 同理可证明． 故选A． 【点睛】 本题主要考查了利用HL定理判断三角形全等，准确分析判断是解题的关键． 6．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可． 【详解】 ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得， 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 7．如图，把一张纸片沿着对折，使点落在的外部点处，若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由折叠的性质可得出，结合平角等于180°即可求出∠CDE和∠CED的度数，再在△CDE中，利用三角形内角和定理可求出∠C的度数． 【详解】 由折叠的性质可得出，， , , 在中，， ， 故选：C 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质以及补角，利用折叠的性质及平角等于180°，求出∠CDE和∠CED的度数是解题的关键． 8．如图，直线，点是上一点，的角平分线交于点，若，，则的大小为（ ） A．136° B．138° C．140° D．148° 【答案】D 【分析】 作辅助线，构建三角形，根据平行线的性质可得∠MAB=∠BAC=64°，根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】 解：延长QC交AB于D， ∵MN∥PQ， ∴∠2+∠MAB=180°， ∵∠2=116°， ∴∠MAB=180°-116°=64°， ∵AB平分∠MAC， ∴∠MAB=∠BAC=64°， △BDQ中，∠BDQ=∠2-∠1=116°-20°=96°， ∴∠ADC=180°-96°=84°， △ADC中，∠3=∠BAC+∠ADC=64°+84°=148°． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补． 9．如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，AF是△ADC的中线，C，D，E三点在一条直线上，连接BD，BE，以下五个结论：①BD＝CE：②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④2AF＝BE⑤BE⊥AF中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】 ①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论； ②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出∠BDC＝90°而得出结论； ③由条件知∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝45°，由∠DBC+∠ACE＝90°，就可以得出结论． ④延长AF到G，使得FG＝AF，连接CG，DG．则四边形ADGC是平行四边形．想办法证明△EAB≌△GCA，即可解决问题； ⑤延长FA交BE于H．只要证明∠AHB＝90°即可； 【详解】 解：①∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE．故①正确； ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠CAB＝90°， ∴∠ABD+∠DBC+∠ACB＝90°， ∴∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， ∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°． ∴BD⊥CE；故②正确； ③∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°． ∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确， ④延长AF到G，使得FG＝AF，连接CG，DG．则四边形ADGC是平行四边形． ∴AD//CG，AD＝CG， ∴∠DAC+∠ACG＝180°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠EAB+∠DAC＝180°， ∴∠EAB＝∠ACG， ∵EA＝AD＝CG，AB＝AC， ∴△EAB≌△GCA（SAS）， ∴AG＝BE， ∴2AF＝BE，故④正确， ⑤延长FA交BE于H． ∵△EAB≌△GCA（SAS）， ∴∠ABE＝∠CAG， ∵∠CAG+∠BAH＝90°， ∴∠BAH+∠ABE＝90°， ∴∠AHB＝90°， ∴AF⊥BE，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题． 10．如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；，分别平分和；，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平行线的性质，以及角平分线的定义，三角形内角和定理，求得,进而发现规律，即可求得的度数． 【详解】 ，分别平分，； 同理可得 …… 发现规律： 故选B 【点睛】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，发现规律是解题的关键． 二、填空题(共24分) 11．如图，在△ABC，AD 是角平分线，AE 是中线，AF 是高．如果BC＝10cm，那么 BE＝_____；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠DAF＝_____°． 【答案】5 cm 10 【分析】 熟悉三角形的角平分线、中线、高的概念：三角形的一个角的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；连接顶点和对边中点的线段叫三角形的中线； 三角形的高即从顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念，运用几何式子表示． 【详解】 解：∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm， ∴BE＝5cm， ∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°， ∴∠BAC＝180°−40°−60°＝80°， ∴∠CAD＝40°， ∵AF是高， ∴∠CAF＝90°−60°＝30°， ∴∠DAF＝40°−30°＝10°， 故答案为：5cm；10°． 【点睛】 本题考查了三角形的角平分线、中线和高．此题是一道基础题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系． 12．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠BAC＝135°，则∠EFC的度数是______． 【答案】 【分析】 根据，可得出,又由外角的性质，得到,因为折叠，可以得到,从而得到答案． 【详解】 解：∵在中， ∴ 又∵是外角 ∴ ∵折叠 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形折叠中的角度计算等相关知识点，根据定理内容解题是关键． 13．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点Q在线段上由点向点运动，当点的运动速度为__________厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或． 【分析】 分两种情况讨论，①当，时，②当，时，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点的运动速度． 【详解】 解：设点运动的时间为秒，则，， ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米秒）； ②当，时，与全等， 此时，， 解得， 点的运动速度为（厘米秒）； 故答案为：2或． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 14．如图，在△ABC中，高AD上有一点E，连接BE，CE，AC=BE，∠ACE=∠CBE，若AE=3，CE=4，BC=9，则线段DE的长为_______． 【答案】 【分析】 过点作交于点，根据已知条件和三角形外角性质，先证，进而证明，再利用等面积法求得． 【详解】 过点作交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （ASA）， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角性质，构造全等三角形是解题的关键． 15．如图，在中，，，点为边上一点且不与、重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，当为等腰三角形时，__________．（用含的代数式表示） 【答案】或或 【分析】 当△DEF为等腰三角形时，分EF=DF，ED=EF和DE=EF三种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：由翻折的性质可知：，， 如图，当EF=DF时，则， ∵∠EDF=∠CDE-∠CDB，∠CDB=∠A+∠ACD， ∴， 又∵∠ADC=180°-∠A-∠ACD， ∴， ∴； 当ED=EF时，， ∴， ∴， ∴； 当DE=EF时，， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴综上所述，当△DEF为等腰三角形时，或或， 故答案为：或或． 【点睛】 本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 16．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有_____个． 【答案】8 【分析】 分三种情况①以B为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，②以A为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，，③以AB为底， AB的垂直平分线与两轴的交点即可 【详解】 解：如图所示： ①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点； ②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点， ③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点； 3+3+2＝8， 因此，满足条件的点P有8个， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质、熟练掌握等腰三角形的判定，分三种情况讨论圆与坐标轴的交点以及线段垂直平分线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 17．如图，在中，，是边上的中线，于．若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】 根据题意证明，根据三角形的中位线解答即可． 【详解】 解：，， ， 是边上的中线， ， 即为等腰三角形， 为的中点， 是三角形的中位线， ， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定以及中位线对的应用，解题的关键是掌握中线的概念和性质． 18．如图，△ABC中，∠A＝15°，AB是定长．点D，E分别在AB，AC上运动，连结BE，ED．若BE+ED的最小值是4，则AB的长是_____． 【答案】8 【分析】 作点B关于AC的对称点B'，过B'作B'D'⊥AB，交AC与点E'，连接BE'，B'D'即为BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性质解答即可． 【详解】 解：作点B关于AC的对称点B'，过B'作B'D'⊥AB，交AC与点E'，连接BE' ∵点B关于AC的对称点B'， ∴∠B'AE=∠CAB=15°，BE'= B'E' ∴∠B'AB=30°， ∵B'D'⊥AB， 当点E与E'，点D与点D'重合时，BE+ED时，值最小， ∴B'D'即为BE+ED的最小值， 即B'D'=4， ∵B'D'⊥AB，∠B'AB=30° ∴AB= A'B'=8， 故答案为：8． 【点睛】 此题考查轴对称问题，关键是作点B关于AC的对称点B'，利用轴对称的性质解答即可． 三、解答题(共46分) 19．(本题8分)如图，四边形 ABCD 中，ÐA = ÐC = 90° ，BE ，DF 分别是ÐABC ，ÐADC 的平分线． 试说明 BE // DF ．请补充说明过程，并在括号内填上相应理由． 解：在四边形 ABCD 中， ÐA + ÐABC + ÐC + ÐADC = 360° ∵ÐA = ÐC = 90°(已知) ∴ÐABC +ÐADC= ° ， ∵BE ， DF 分别是ÐABC ， ÐADC 的平分线， ∴Ð1 =ÐABC ， Ð2= ÐADC （ ） ∴Ð1+Ð2= (ÐABC + ÐADC) ∴Ð1+Ð2= ° ∵在△FCD 中， ÐC = 90° ， ∴ÐDFC + Ð2 = 90° （ ） ∵Ð1+Ð2=90° （已证） ∴Ð1=ÐDFC （ ） ∴BE ∥ DF ． （ ） 【答案】见解析 【分析】 根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后根据角平分线的定义可得，∠1+∠2=90°，再根据三角形内角和得到，∠DFC+∠2=90°，等量代换∠1=∠DFC，即可判定BE∥DF． 【详解】 在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°． ∵∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=180°（四边形的内角和是360°）， ∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线， ∴Ð1 =ÐABC ， Ð2= ÐADC（角平分线定义） ∴Ð1+Ð2= (ÐABC + ÐADC) ∴∠1+∠2=90°， 在△FCD中，∠C=90°， ∴∠DFC+∠2=90°（三角形的内角和是180°）， ∵∠1+∠2=90°（已证）， ∴∠1=∠DFC（等量代换）， ∴BE∥DF．（同位角相等，两直线平行 ）． 【点睛】 本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握三角形、四边形的内角和，以及同位角相等，两直线平行． 20．(本题8分)（1）如图①，若∠B+∠D=∠E，则直线AB与CD有什么位置关系？请证明（不需要注明理由）． （2）如图②中，AB//CD，又能得出什么结论？请直接写出结论 ． （3）如图③，已知AB//CD，则∠1+∠2+…+∠n-1+∠n的度数为 ． 【答案】（1）AB//CD，证明见解析；（2）∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D ；（3）(n-1)•180° 【分析】 （1）过点E作EF//AB，利用平行线的性质则可得出∠B=∠BEF，再由已知及平行线的判定即可得出AB∥CD； （2）如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，根据探究（1）的证明过程及方法，可推出∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，则可由此得出规律，并得出∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D； （3）如图，过点M作EF∥AB，过点N作GH∥AB，则可由平行线的性质得出∠1+∠2+∠MNG =180°×2，依此即可得出此题结论． 【详解】 解：（1）过点E作EF//AB， ∴∠B=∠BEF． ∵∠BEF+∠FED=∠BED， ∴∠B+∠FED=∠BED． ∵∠B+∠D=∠E（已知）， ∴∠FED=∠D． ∴CD//EF（内错角相等，两直线平行）． ∴AB//CD． （2）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD， ∴∠B=∠BEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGH，∠HGD=∠D， ∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D， 即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D． 由此可得：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等， ∴∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D． 故答案为：∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D． （3）如图，过点M作EF∥AB，过点N作GH∥AB， ∴∠APM+∠PME=180°， ∵EF∥AB，GH∥AB， ∴EF∥GH， ∴∠EMN+∠MNG=180°， ∴∠1+∠2+∠MNG =180°×2， 依次类推：∠1+∠2+…+∠n-1+∠n=(n-1)•180°． 故答案为：(n-1)•180°． 【点睛】 本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形． 21．(本题10分)某汽配厂接到一批外贸订单急需大量工人生产某配件，工厂人力资源部门计划招聘一批工人．若3名普工和1名高级技工日生产量共500个，2名普工日生产量与1名高级技工的一样多． （1）求普工和高级技工日生产量分别是多少个？ （2）调查发现，人才市场资源丰富，增加了熟练工人供工厂选择，且其日生产量是普工的1.5倍，他们的工资如下表所示．为了最大限度提高产量，公司决定拨款9万元（全部用完）聘请三类工人（每类工人至少1人）共18人．人力资源部门应招聘三类工人各多少人，使得日生产最大？求出此时的日生产量． 工人 普工 熟练工 高级技工 工资（元/人） 3500 5000 6000 【答案】（1）个，个；（2）人力资源部门应招聘普工6人，熟练工3人，高级技工9人，使得日生产最大，此时的日生产量为2850个． 【分析】 （1）设普工和高级技工日生产量分别为个，个，根据题意列二元一次方程组解决问题； （2）设招聘普工人，熟练工人，则高级技工（）人，根据题意列出二元一次方程，由都是正整数，求得整数解，再根据题意求得最值． 【详解】 （1）设普工和高级技工日生产量分别为个，个，依题意，得： ， 解得：， 答：普工和高级技工日生产量分别个，个． （2）设招聘普工人，熟练工人，则高级技工（）人，由题意得： ， 整理得：， 都是正整数， 工厂日生产量为： 当最小时，工厂日生产量最大， 时，工厂日生产量为： 高级技工（人）， （个）． 答：人力资源部门应招聘普工6人，熟练工3人，高级技工9人，使得日生产最大，此时的日生产量为2850个． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的特殊解，根据题意找到等量关系建立方程（组）是解题的关键． 22．(本题10分)如图，点A，M，B在同一直线上，以AB为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC和等边三角形ABD，连接CM，DM，过点M作MN＝DM，交BC边于点G，交DB的延长线于点N． （1）求证：∠BCM＝∠BDM； （2）求∠CMN的度数； （3）求证：AM＝BN． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】 （1）根据和为等边三角形，且为公共边，可以得出条件，，即可证明，由性质即可得出结论； （2）根据，得出，，又根据和为对顶角，可得，再根据和为全等三角形，为平角，利用等量代换即可求出； （3）连接由（1）可知：，即可得，证出为等边三角形，进而证明出，由性质即可得出结论． 【详解】 解：（1）证明：和为等边三角形，且为公共边， ， 又在和中， ， ， ； （2）， ， ， 又和为对顶角， ， 又和为全等三角形，为平角， ，， ， （3）证明：连接，如图所示： 由（1）可知： ，