第十一章 三角形单元测试（解析版）（人教版）.docx

第十一章 三角形单元测试 一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形． 【详解】 解：以AB为边的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4个． 故选：D． 【点睛】 本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 2．（2022·福建·厦门双十中学七年级期末）三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm，下列长度中，可能是这个三角形第三条边的是（　　） A．1 cm B．3 cm C．5 cm D．10 cm 【答案】C 【解析】 【分析】 利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可进行判断． 【详解】 解：设第三边边长为x， 则根据三角形三边关系得：6-3<x<6+3， ∴3cm<x<9cm， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查的是三角形的三边关系，利用三边关系进行判断是解题的关键． 3．（2022·福建·厦门双十中学七年级期末）在△ABC中，AD、AE、AF分别是它的高线、角平分线和中线，则下列说法中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据中线定义可判定A，根据当高AD与边AC重合时，则可判定B；根据垂直线段最短可判定C；根据中线定义可知BC=2BF，利用等高的三角形面积与底的关系可判定D． 【详解】 解：A、∵在△ABC中，AF是△ABC的中线，∴BF=CF，正确，故此选项不符合题意； B、∵在△ABC中，AD是△ABC的高，当高AD与边AC重合时，如图，则，故错误，故此选项符合题意； C、∵在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是角平分线，根据垂直线段最短，∴AD≤AE，正确，故此选项不符合题意； D、∵在△ABC中，AF是△ABC的中线，∴BC=2BF，∵S△ABC=，S△ABF=，∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查三角形的高、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义与性质是解题的关键． 4．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图，、都是的角平分线，且，则（       ） A．45° B．50° C．65° D．70° 【答案】B 【解析】 【分析】 由三角形内角和定理解得，再根据角平分线的性质解得，最后根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】 解： 、都是的角平分线， 故选：B． 【点睛】 本题考查角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 5．（2022·重庆巴南·八年级期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变型，至少要再钉上n根木条，这里的n=（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】 【分析】 要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，钉上木条变成三角形即可． 【详解】 解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形； 故选：B． 【点睛】 本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 6．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，BC⊥AE于点C，CDAB，∠DCB=40°，则∠A的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】C 【解析】 【分析】 根据直角三角形两锐角互余可得，再根据两直线平行，内错角相等可得的度数，进而求即可． 【详解】 ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了直角三角形两锐角互余及平行线的性质，熟练掌握知识点且灵活运用是解题关键． 7．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）在△ABC中，，则△ABC的形状是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 利用∠A，∠B，∠C的关系和三角形内角和定理，求出具体的度数，即可求解． 【详解】 解：∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠C+2∠C+∠C=180°， ∴∠C=36°， ∴∠A=∠B=2∠C=72°， ∴△ABC为锐角三角形， 故选：A． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用∠A，∠B，∠C的关系求出具体度数． 8．（2022·福建省福州第一中学七年级期末）如图，在中，，，平分，交于，则的大小是（       ） A．45° B．40° C．54° D．50° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，利用角平分线定义求出答案． 【详解】 解：∵，， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°， ∵平分， ∴∠BAD=, 故选：B． 【点睛】 此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，正确掌握三角形的内角和定理求出∠BAC的度数是解题的关键． 9．（2022·山西晋中·二模）魔方爱好者小聪最近买了一个五魔方（如图），他发现五魔方是一个正十二面体，每个面都是一个正五边形，正五边形每个内角的度数是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出五边形的内角和为，进一步可求出正五边形每个内角的度数为． 【详解】 解：由题意可知：五边形的内角和是：， ∵正五边形每个内角的度数都相等， ∴正五边形每个内角的度数为：， 故选：C． 【点睛】 本题考查正多边形内角问题，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式，以及正多边形每个内角度数：． 10．（2021·全国·八年级单元测试）在矩形ABCD中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为x、y，则x＋y的和是（       ） A．360°、540°、720° B．360°、540° C．540°、720° D．360°、720° 【答案】A 【解析】 【分析】 分三种情况：①一条直线将矩形分为两个三角形，②一条直线将矩形分为一个三角形和一个四边形，③一条直线将矩形分为两个四边形，再根据三角形和四边形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：分三种情况： ①一条直线将矩形分为两个三角形，如图1所示： 则x＋y＝180°＋180°＝360°； ②一条直线将矩形分为一个三角形和一个四边形，如图2所示： 则x＋y＝180°＋360°＝540°； ③一条直线将矩形分为两个四边形，如图3所示： 则x＋y＝360°＋360°＝720°； ④一条直线将矩形分为1个三角形和1个五边形，如图4所示： 则； 综上所述，x＋y的和是360°或540°或720°， 故选：A． 【点睛】 本题考查了三角形和四边形的内角和，分类讨论是解题的关键． 11．（2020·江苏无锡·七年级期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（            ） A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【答案】C 【解析】 【分析】 本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了． 【详解】 解：依题意可知，二环三角形，S＝360度； 二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度； 二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度； … ∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度． 故选：C． 【点睛】 本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数． 12．（2021·广西·南宁二中七年级期末）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，△MBC中，M是BC上一点，则有，如图②，△ABC中，M是BC上一点，且BM＝BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是1，则△ADN的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 连接CD，有中线的性质得S△ADN＝S△CDN，同理S△ABN＝S△CBN，设S△ADN＝S△CDN＝a，则S△ABN＝S△CBN＝，再求出S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，然后由面积关系求出a的值，即可解决问题． 【详解】 解：连接CD，如图： ∵N是AC的中点， ∴＝＝1， ∴S△ADN＝S△CDN， 同理：S△ABN＝S△CBN， 设S△ADN＝S△CDN＝a， ∵△ABC的面积是1， ∴S△ABN＝S△CBN＝， ∴S△BCD＝S△ABD＝﹣a， ∵BM＝BC， ∴＝， ∴＝＝，＝＝， ∴S△CDM＝3S△BDM，S△ACM＝3S△ABM， ∴S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝， ∵S△ACM＝S四边形CMDN+S△ADN＝S△CDM+S△CDN+S△ADN， 即：＝﹣a+a+a， 解得：a＝， ∴S△ADN＝， 故选：B． 【点睛】 本题考查了中线的性质，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 13．（2022·福建·龙岩二中七年级期中）如图，直线//，点E、M分别为直线上的点，点N为两平行线间的点，连接，过点N作平分，交直线于点G，过点N作，交直线于点F，若，则的角度等于（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 过N点作NH∥AB，则AB∥NH∥CD，由平行线的性质得∠BEN+∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG=360°，进而由NG平分∠ENM和∠BEN=得∠GNM+∠GNM+∠MNF+∠NFG=，再由NF⊥NG推得∠GNM+∠NFG=，进而由外角定理得结果． 【详解】 解：过N点作NH∥AB，则AB∥NH∥CD， ∴∠BEN+∠ENH=∠HNF+∠NFG=180°， ∴∠BEN+∠ENH+∠HNF+∠NFG=360°， ∴∠BEN+∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG=360°， ∵∠BEN=， ∴∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG=， ∵NG平分∠ENM， ∴∠ENG=∠GNM， ∴∠GNM+∠GNM+∠MNF+∠NFG=， ∵NF⊥NG， ∴∠GNM+∠MNF=∠GNF=90°， ∴∠GNM+90°+∠NFG=， ∴∠GNM+∠NFG=， ∵∠NGD=∠GNM+∠MNF+∠NFG， ∴∠NGD-∠MNF=∠GNM+∠NFG=． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的性质，三角形的外角定理，熟练掌握各性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 14．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）如图，在中，和的角平分线BE，CF相交于点G，过点E作于点M，交CF于点K，则下列结论一定正确的有（       ）个． （1）； （2）； （3）； （4）点P为AB边任意一点，于点Q，PN平分，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】 【分析】 由AB⊥AC，EM⊥BC，得∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠MEC=90°，即可判断（1）正确；由BE、FC分别平分∠ABC、∠ACB，得∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB， 进而求得∠GBC+∠GCB=B=，从而判断（2）正确；由于无法确定∠ABC与∠ACB的大小，∠BEM与∠GKE的大小无法确定；延长PN交AC的延长线于O，先证明∠PNB=∠O，由角平分线得∠ACF=∠O，即可判断（4）正确； 【详解】 解：∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°， 又∵EM⊥BC， ∴∠ACB+∠MEC=90°， ∴∠ABC=∠CEM， 故（1）正确； ∵BE、FC分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB， ∴∠GBC+∠GCB=∠ABC+∠ACB=， ∴， 故（2）正确； ∵ ∴∠BEM=90°-∠EBM=90°-∠ABC，∠GKE=∠CKM=90°-∠KCM=90°-∠ACB， ∵无法确定∠ABC与∠ACB的大小， ∴∠BEM与∠GKE的大小无法确定； 故（3）错误； 如下图，延长PN交AC的延长线于O， ∵PQ⊥BC，AB⊥AC， ∴∠PNQ+∠QPN=90°，∠APO+∠O=90°， ∵PN平分∠APQ， ∴∠QPN=∠APO， ∴∠PNB=∠O， ∵CF平分∠ACB， ∴∠ACF=∠BCF=， ∵∠ACF+∠BCF==2∠ACF，=+=2 ∴∠ACF=∠O， ∴． 故（4）正确； 故答案为：C． 【点睛】 本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线得性质，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上） 15．（2022·四川眉山·中考真题）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为________． 【答案】11 【解析】 【分析】 多边形的内角和定理为，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值． 【详解】 解：根据题意可得：， 解得： ， 故答案为：11． 【点睛】 本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键． 16．（2022·重庆·七年级期中）如图，点、点是直线上两点，，点在直线外，，，，若点为直线上一动点，连接，则线段的最小值是______． 【答案】4.8 【解析】 【分析】 根据垂线段最短可知：当时，有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解的最小值． 【详解】 解：当时，有最小值， ，，，， ， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到最小时的点位置是解题的关键． 17．（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）在中，为中点，，设的面积为，的面积为，若的面积为12，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】 先分别求出S△ABD，S△BCE，再根据S△ABD−S△BCE＝S△AEF−S△CDF，即可求出结果． 【详解】 解：∵S△ABC＝12，AE＝2BE，点D是BC的中点， ∴S△BCE＝×12＝4，S△ABD＝×12＝6， ∴S△ABD−S△BCE ＝S△AEF−S△CDF， ＝6−4 ＝2． 即的值为2； 故答案为：2 【点睛】 本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键． 18．（2022·四川·树德中学七年级期中）在同一平面内，的两边分别与的两边垂直，且比的2倍少，则=________． 【答案】30°或70° 【解析】 【分析】 因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题． 【详解】 解：设∠B是x度，根据题意，得 ①两个角相等时，如图1： ∠B=∠A=x， x=2x-30 解得，x=30， 故∠B=30°， ②两个角互补时，如图2： x+2x-30=180， 所以x=70， 故∠B的度数为：30°或70°． 故答案为：30°或70° 【点睛】 此题主要考查了考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题． 三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分） 19．（2021·湖北·沙市实验中学八年级期中）已知，的三边长为4，9，． （1）求的取值范围． （2）当的周长为偶数时，求． 【答案】（1）5＜x＜13；（2）7，9或11 【解析】 【分析】 （1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论； （2）根据周长为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值． 【详解】 解：（1）∵三角形的三边长分别为4，9，x， ∴9−4＜x＜9＋4，即5＜x＜13； （2）∵5＜x＜13， ∴9＋4＋5＜△ABC的周长＜9＋4＋13， 即：18＜△ABC的周长＜26； ∵△ABC的周长是偶数， ∴△ABC的周长可以是20，22或24， ∴x的值为7，9或11． 【点睛】 本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 20．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）已知一个多边形每个内角都比它相邻外角大60°． (1)求这个多边形的内角和； (2)求这个多边形所有对角线的条数． 【答案】(1)720°(2)9 【解析】 【分析】 （1）设这个多边形为n边形，根据多边形外角和为360度，结合条件一个多边形每个内角都比它相邻外角大60°列出方程求解即可； （2）根据n边形一个顶点有（n-3）条对角线求解即可． (1)解：设这个多边形为n边形， 由题意得：， 解得， ∴这个多边形的内角和为 (2)解：由（1）得这个多边形为六边形， ∴从六边形的一个顶点出发一共有6-3=3条对角线， ∴这个多边形所有对角线的条数为条． 【点睛】 本题主要考查了多边形内角和与外角和问题，多边形对角线问题，熟练掌握多边形内角和与外角和以及多边形对角线的知识是解题的关键． 21．（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）如图，在中，AD是高，AE是角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)14°(2)9° 【解析】 【分析】 先求∠DAC=30°，再求∠BAC=180°-32°-60°=88°，根据角的平分线计算∠EAC=，求得∠DAE=14°． (2)根据∠DAE====，代入计算即可． (1)∵AD是高，AE是角平分线，，， ∴∠DAC=30°，∠BAC=180°-32°-60°=88°， ∴∠EAC=， ∴∠DAE=∠EAC -∠DAC=44°-30°=14°． (2)∵∠DAE= = = =，， ∴∠DAE=9°． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，直角三角形性质，角的平分线意义，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形性质是解题的关键． 22．（2022·江西萍乡·八年级期末）如图，在中，点D为上一点，将沿翻折得到，与相交于点F，若平分，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】 【分析】 （1）利用三角形内角和定理求出，再利用折叠和角平分线的性质证明，即可证明； （2）利用三角形内角和定理求出，再利用对顶角相等证明，再利用三角形内角和定理即可求出． (1)证明：∵，， ∴, ∵AE平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， (2)解：， ∴， ∵，且， ∴． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的性质，对顶角相等，（1）的关键是求出，证明；（2）的关键是求出． 23．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米． (1)请用含的式子表示第三条边长； (2)第一条边长能否为10米？为什么？ (3)直接写出的取值范围． 【答案】(1)52-4m(2)不能，理由见解析(3) 【解析】 【分析】 （1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长； （2）当m=10时，三边长分别为10，28，12，根据三角形三边关系即可作出判断； （3）根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出m的取值范围． (1)∵第二条边长为（3m﹣2）米， ∴第三条边长为50﹣m﹣（3m﹣2）=（52﹣4m）米； (2)当m=10时，三边长分别为10，28，12， 由于10+12＜28，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米； (3)根据题意，三角形两边之和大于第三边得： ， 解得＜m＜9． 【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键． 24．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，在6×10的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知△ABC的每个顶点都在格点上． (1)画出△ABC中BC边上的高线AE； (2)在△ABC中AB边上取点D，连接CD，使； (3)直接写出△BCD的面积是__________． 【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3) 【解析】 【分析】 （1）利用网格线过A作BC的垂线即可； （2）利用网格线的特点，取格点D，满足，则D即为所求作的点； （3）利用三角形的面积公式直接计算即可． (1)解：如图，即为BC上的高． (2)如图，利用网格特点，可得， ∴D即为所求作的点，满足． (3)． 【点睛】 本题考查的是画三角形的高，三角形的面积的计算，熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键． 25．（2022·江苏镇江·七年级期中）【问题提出】在△ABC中，点P是线段BC的中点．在图1中，过点P画一条直线平分△ABC的面积． 【问题探究】育才中学“思维畅想”社团的同学们又研究了这样一个问题：如图2，在△ABC中，点P是线段BC的中点．若点E是线段BP上一点（不与点B、P重合），能否过E作直线平分△ABC的面积？小明给出了如下画法： （1）作线段AC的中点D；（2）连接DE、BD；（3）过B作BMDE交AC于点M；（4）连接EM，则直线EM平分△ABC的面积． 小明画法正确吗？请你说明理由． 【问题延伸】在四边形ABCD中，点P是AD上一点，请选择图3或图4过点P作直线PQ平分四边形ABCD的面积． 【答案】问题提出：见解析；问题探究：能说明，理由见解析；问题延伸：见解析． 【解析】 【分析】 问题提出：作直线AP即可； 问题探究：由作法可得，S△BDC=S△ABC，根据等底等高的三角形面积相等可证S△BDE=S△MDE ，进而可得S△EMC= S△ABC； 问题延伸：图3：连接AC，作BEAC，则四边形ABCD的面积等于△ADE的面积，取DE的中点F，连接PF，作AQPF，连接PQ，则PQ即为所求；图4：连接AC，作DEAC，交BC的延长线于E，则四边形ABCD的面积等于△ABE的面积，取BE的中点F，连接PF，作AQPF，连接PQ，则PQ即为所求； 【详解】 问题提出：连接AP，直线AP即为所求； 问题探究：由作法可得，S△BDC=S△ABC， ∵BM∥DE， ∴S△BDE=S△MDE ， ∴S△EMC= S△EMD+ S△ECD= S△BDE+ S△EC