第十三章轴对称 (A·基础巩固)-【过关检测】2022-2023学年八年级数学上学期单元测试卷(人教版)(解析版).docx

第十三章 轴对称 (A·基础巩固) 班级： 姓名： 得分： 总分：150分 时间：120分钟 一．选择题（共12小题） 1．下列交通安全标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（　　） A．30° B．50° C．90° D．100° 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C＝∠C′＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°． 故选：D． 3．到三角形的三个顶点距离相等的点是（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 【解答】解：∵OA＝OB， ∴O在线段AB的垂直平分线上， ∵OC＝OA， ∴O在线段AC的垂直平分线上， ∵OB＝OC， ∴O在线段BC的垂直平分线上， 即O是△ABC的三边垂直平分线的交点， 故选：B． 4．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　） A．20° B．40° C．50° D．60° 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝70°， 又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线， ∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C， ∴∠BAP+∠CAQ＝70°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40° 故选：B． 5．若等腰三角形有两条边的长度为5和8，则此等腰三角形的周长为（　　） A．18或21 B．21 C．24或18 D．18 【解答】解：根据题意， ①当腰长为5时，周长＝5+5+8＝18； ②当腰长为8时，周长＝8+8+5＝21． 故选：A． 6．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，AB，CB分别交直线m于点D和点E，且DB＝DE，若∠1＝65°，则∠BDE的度数为（　　） A．115° B．120° C．130° D．145° 【解答】解：如图， ∵DB＝DE， ∴∠2＝∠B， ∴∠3＝2∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠5＝90°﹣∠B， ∵m∥n， ∴∠1+∠5+∠3＝180°， ∴65°+90°﹣∠B+2∠B＝180°， ∴∠B＝25°， ∴∠BDE＝130°， 故选：C． 7．在下列结论中： ①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形． 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确； ②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误； ④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确． 故选：C． 8．已知等腰三角形其中一个内角为70°，那么这个等腰三角形的顶角度数为（　　） A．70° B．70°或55° C．40°或55° D．70°或40° 【解答】解：分两种情况： 当70°的角是底角时，则顶角度数为40°； 当70°的角是顶角时，则顶角为70°． 故选：D． 9．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜32 C．−32＜a＜1 D．a＞32 【解答】解：∵点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限， ∴点P在第四象限， ∴a+1＞0①2a−3＜0②， 解不等式①得，a＞﹣1， 解不等式②得，a＜32， 所以，不等式组的解集是﹣1＜a＜32， 故选：B． 10．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， ∵∠AFB＝90°，EF＝2， ∴AE＝2EF＝4， ∵点E为AD的中点， ∴DE＝AE＝4， ∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠EBD＝30°， ∴BE＝2DE＝8， ∴BF＝BE+EF＝8+2＝10， 故选：D． 11．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ∠ABP=∠EBPBP=BP∠APB=∠EPB， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBC=12S△ABC=12×12＝6， 故选：C． 12．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A．16 B．19 C．20 D．21 【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′． ∵∠CMD＝120°， ∴∠AMC+∠DMB＝60°， ∴∠CMA′+∠DMB′＝60°， ∴∠A′MB′＝60°， ∵MA′＝MB′， ∴△A′MB′为等边三角形 ∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19， ∴CD的最大值为19， 故选：B． 二．填空题（共4小题） 13．若点A（m，﹣3），B（﹣2，n）关于y轴对称，则2m+3n的值为　﹣5　． 【解答】解：∵点A（m，﹣3），B（﹣2，n）关于y轴对称， ∴m＝2，n＝﹣3， ∴2m+3n＝2×2+3×（﹣3）＝﹣5． 故答案为：﹣5 14．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为　19cm　． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm， 又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm， ∴AB+BD+CD＝13cm， 即AB+BC＝13cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm． 故答案为19cm． 15．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′＝70°，则∠B′OG的度数为 　55°　． 【解答】解：根据轴对称的性质得：∠B′OG＝∠BOG 又∠AOB′＝70°，可得∠B′OG+∠BOG＝110° ∴∠B′OG=12×110°＝55°． 16．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　2n﹣1　． 【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝1， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4， A4B4＝8B1A2＝8， A5B5＝16B1A2＝16， 以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1． 故答案是：2n﹣1． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB． （1）求∠CAD的度数； （2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， 又∵∠CAB＝2∠B， ∴∠B＝30°，∠CAB＝60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠DAB＝30°； （2）∵∠DAB＝30°＝∠B， ∴AD＝DB， ∵AC＝EC，∠ACB＝90°， ∴AD＝DE， ∴DE＝DB． 18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F． （1）证明：△ADF是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长， 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°， ∴∠F＝∠BDE， 而∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA， ∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形； （2）∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵∠B＝60°，BD＝4， ∴BE=12BD＝2， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝AD+BD＝6， ∴EC＝BC﹣BE＝4． 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）△ABC的面积为　5　； （2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′． （3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹） 【解答】解：（1）S△ABC＝3×4−12×2×2−12×1×4−12×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5． 故答案为：5； （2）如图，△A′B′C′即为所求； （3）如图，点P即为所求． 20．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）若AB＝2，求△AFD的面积． 【解答】解：（1）∵AE是BC边上的高， ∴AE⊥BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴AE⊥AD，即∠DAE＝90°， ∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线， ∴AF＝EF＝DF， ∵AE与AF关于AG对称， ∴AE＝AF， 则AE＝AF＝EF， ∴△AEF是等边三角形； （2）记AG、EF交点为H， ∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称， ∴∠EAG＝30°，AG⊥EF， ∵AB与AG关于AE对称， ∴∠BAE＝∠GAE＝30°，∠AEB＝90°， ∵AB＝2， ∴BE＝1、DF＝AF＝AE=3， 则EH=12AE=32、AH=32， ∴S△ADF=12×3×32=334． 21．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数． 【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB， ∵△CMN的周长为15cm， ∴AB＝15cm； （2）∵∠MFN＝70°， ∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°， ∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF， ∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°， ∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°， ∵AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°． 22．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h． （1）若点P在一边BC上[如图①]，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h； （2）当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由． 【解答】解：（1）如图1，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP+S△APC ∴12BC•AM=12AB•PD+12AC•PF 即 12BC•h=12AB•h1+12AC•h2 又∵△ABC是等边三角形 ∴BC＝AB＝AC， ∴h＝h1+h2； （2）点P在△ABC内时，h＝h1+h2+h3，理由如下： 如图2，连接AP、BP、CP，则 S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP ∴12BC•AM=12AB•PD+12AC•PE+12BC•PF 即12BC•h=12AB•h1+12AC•h2+12BC•h3 又∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝AC． ∴h＝h1+h2+h3； 点P在△ABC外时，h＝h1+h2﹣h3． 理由如下：如图3，连接PB，PC，PA 由三角形的面积公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC， 即12BC•AM=12AB•PD+12AC•PE−12BC•PF， ∵AB＝BC＝AC， ∴h1+h2﹣h3＝h， 即h1+h2﹣h3＝h． 23．如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ （2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，t×1+12＝2t， 解得：t＝12， ∴当t＝12时，M，N两点重合， 此时两点在点C处重合； （2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形． 理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∠C=∠B∠AMC=∠ANBAC=AB， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y， ∵CM＝NB， ∴y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN． 24．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE． （1）求证：CE＝CF； （2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中， ∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF． ∴CE＝CF． （2）解：GE＝BE+GD成立． ∵△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF． ∴∠ECD+∠ECB＝∠ECD+∠FCD． 即∠ECF＝∠BCD＝90°． 又∠GCE＝45°， ∴∠GCF＝∠GCE＝45°． ∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG． ∴EG＝GF． ∴GE＝DF+GD＝BE+GD． （3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G， 在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°， 又∠CGA＝90°，AB＝BC， ∴四边形ABCG为正方形． ∴AG＝BC＝12． 已知∠DCE＝45°，根据（1）（2）可知，ED＝BE+DG， 设DE＝x，则DG＝x﹣4， ∴AD＝AG﹣DG＝16﹣x，AE＝AB﹣BE＝12﹣4＝8． 在Rt△AED中 ∵DE2＝AD2+AE2，即x2＝（16﹣x）2+82 解得：x＝10． ∴DE＝10．