第十三章轴对称 (B·能力提升)-【过关检测】2022-2023学年八年级数学上学期单元测试卷(人教版)(解析版).docx

第十三章 轴对称(B·能力提升) 班级： 姓名： 得分： 总分：150分 时间：120分钟 一．选择题（共12小题） 1．下列图形中，轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合． 2．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（　　） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．长方形 【分析】根据轴对称图形的概念求解，确定各个图形有几条对称轴． 【解答】解：A、等腰直角三角形有一条对称轴； B、等边三角形有三条； C、正方形有四条； D、长方形有两条对称轴． 故选：A． 【点评】掌握好轴对称的概念． 轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 3．点（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，﹣1） 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：点（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）， 故选：C． 【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等， 又因为顶角是40°， 所以其底角为＝70°． 故选：D． 【点评】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等． 5．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（　　） A．2 B．6 C．9 D．15 【分析】由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD＝2，可求得其周长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∵AB＝5，BD＝3， ∴AD＝AB﹣BD＝2， ∴△ADE的周长为6， 故选：B． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质和判定，由条件证明△ADE是等边三角形是解题的关键． 6．如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，下列说法中不正确的是（　　） A．∠DAO＝∠CBO B．直线l垂直平分AB、CD C．AD＝BC D．AD＝OD，BC＝OC 【分析】根据轴对称的性质一一判断即可． 【解答】解：∵△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC， ∴∠DAO＝∠CBO，AD＝BC，直线l垂直平分线段AB、CD， 故选项A，B，C正确， 故选：D． 【点评】本题考查轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，属于中考常考题型． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A＝60°， ∴∠ACD＝∠B＝30°， ∵AD＝2， ∴AC＝2AD＝4， ∴AB＝2AC＝8， ∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 8．已知，如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝（　　） A．150° B．30° C．120° D．60° 【分析】先根据平行线及角平分线的定义求出∠CDB＝∠CBD，再根据平角的定义求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可． 【解答】解：∵直线AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵∠CDB＝180°﹣∠CDE＝30°， ∴∠ABD＝30°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线、平角的定义以及角平分线的定义，比较简单． 9．如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【解答】解：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′交直线l于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短． 故选：C． 【点评】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 10．如图所示，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为（　　） A．10个 B．8个 C．6个 D．4个 【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解． 【解答】解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C， AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C， 所以，满足条件的点C的个数是4+4＝8． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解． 11．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到②正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ＝∠PAQ，然后得到∠APQ＝∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确；④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正确． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR＝PS， ∴P在∠A的平分线上，故①正确； ∵PA＝PA，PS＝PR， ∴Rt△APR≌Rt△APS（HL）， ∴AS＝AR，故②正确； ∵AQ＝PQ， ∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠BAC， ∴PQ∥AR，故③正确； 由③得，△PQC是等边三角形， ∴△PQS≌△PCS， 又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确， ∵①②③④都正确， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 12．如图，在等边△ABC中，AD、CE是△ABC的两条中线，AD＝5，P是AD上一个动点，则PB+PE最小值的是（　　） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【分析】如图连接PC，只要证明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为AD的长度． 【解答】解：如图连接PC， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴PB＝PC， ∴PB+PE＝PC+PE， ∵PE+PC≥CE， ∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小， 最小值为CE的长度，即为AD的长为5． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 13．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在答题卡上写出这个单词所指的物品　书　． 【分析】根据轴对称图形的性质，组成图形，即可解答． 【解答】解：如图， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称的性质，作出图形． 14．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是12，BC＝4，则AB的长　8　． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，进而根据等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD． ∵△BCD的周长是12，BC＝4， ∴AB＝BD+CD＝12﹣4＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，若AB＝10，AC＝8，则△AEF的周长是　18　． 【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可得到∠EBD＝∠EDB，所以可得ED＝EB，同理可得DF＝FC，所以△AEF的周长即为AB+AC，可得出答案． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴ED＝EB， 同理可证得DF＝FC， ∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝10+8＝18， 即△AEF的周长为18， 故答案为：18． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到ED＝EB，DF＝FC是解题的关键． 16．如图，四边形ABCD中，∠A＝40°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是AB，AD上的点，当△CMN的周长最小时，则∠MCN＝　100　°． 【分析】作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，连接EM，FN，当E，M，N，F在同一直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，依据四边形内角和定理求得∠BCD＝140°，进而即可求得∠E+∠F＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，即可求得∠MCN＝100°． 【解答】解：如图所示，作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F， 则CM＝EM，CN＝FN， ∴CM+MN+CN＝EM+MN+FN， ∴当E，M，N，F在同一直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长， 四边形ABCD中，∠A＝40°，∠B＝∠D＝90°， ∴∠BCD＝140°， ∴∠E+∠F＝40°， ∵CM＝EM， ∴∠E＝∠MCB， ∴∠CMN＝∠E+∠MCB＝2∠E， 同理，∠CNM＝2∠F， ∴∠CMN+∠CNM＝2（∠E+∠F）＝80°， ∴∠MCN＝100°， 故答案为：100． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，三角形内角和定理，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三．解答题（共20小题） 17．在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数的大小 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABM＝90°，∠BAM＝∠CAM，根据角平分线的定义得到∠ABC＝2∠EBM＝52°，于是得到结论． 【解答】解：∵AB＝AC，M是边BC的中点， ∴∠AMB＝90°，∠BAM＝∠CAM， ∵∠BEM＝∠AED＝64°， ∴∠EBM＝26°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBM＝52°， ∴∠BAM＝90°﹣∠ABM＝38°， ∴∠BAC＝2∠BAM＝76°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键． 18．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案； （2）根据已知能推出2DE+2EC＝12cm，即可得出答案． 【解答】解： （1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝40°， ∴∠AED＝70°， ∴∠C＝∠AED＝35°； （2）∵△ABC周长20cm，AC＝8cm， ∴AB+BE+EC＝12cm， 即2DE+2EC＝12cm， ∴DE+EC＝DC＝6cm． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 19．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）在图中画出△ABC，△ABC的面积是　4　； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为　（﹣4，3）　； （3）已知Q为y轴上一点，若△ACQ的面积为8，求点Q的坐标． 【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （2）利用关于y轴对称点的性质得出答案； （3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案． 【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4﹣×1×2﹣×2×4﹣×2×3＝4； 故答案为：4； （2）点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：（﹣4，3）； 故答案为：（﹣4，3）； （3）∵Q为y轴上一点，△ACQ的面积为8， ∴AQ•4＝8 AQ＝4， 故Q点坐标为：（0，5）或（0，﹣3）． 【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键． 20．已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一点，AE＝AC，AD⊥CE，垂足为D，交BC于点F． （1）如图1，若∠BCE＝30°，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如图2，若AD＝4，求BC的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝2∠EAD＝2∠CAD，得到∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°，推出∠BCA＝90°，于是得到△ABC为直角三角形； （2）如图2，过C作CG∥AB交AD的延长线于点G．于是得到∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G，求得∠BCG＝∠G，根据等式的性质得到AG＝BC，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下： ∵AE＝AC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠CDF＝90°， ∠BAC＝2∠EAD＝2∠CAD， 又∵∠BAC＝2∠B， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B， ∵∠BCE＝30°，∠CDF＝90°， ∴∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°， ∴∠BAF＝∠B＝∠CAD＝30°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝60°， ∴∠BCA＝90°， 即△ABC为直角三角形； （2）如图2，过C作CG∥AB交AD的延长线于点G． 则：∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G， 又∵∠BAF＝∠B， ∴∠BCG＝∠G， ∴CA＝CG，FA＝FB，FC＝FG， ∴AG＝BC， 在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD， ∴AG＝2AD＝2DG， ∴BC＝2AD， ∵AD＝4， ∴BC＝2AD＝8． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件： ①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC （1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？写出所有的情形． （2）选择（1）中的一种情形，写出证明过程． 【分析】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形，首先证明△EBO≌△DCO，可得BO＝CO，根据等边对等角可得∠OBC＝∠OCB，进而得到∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边可得AB＝AC，即可得到△ABC是等腰三角形． 【解答】解：（1）①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形； （2）选①③为条件证明△ABC是等腰三角形； 理由：∵在△EBO和△DCO中， ∵， ∴△EBO≌△DCO（AAS）， ∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBO+∠OBC＝∠DCO+∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 选②③为条件证明△ABC是等腰三角形； 理由：∵∠BEO＝∠CDO，BE＝CD，∠EOB＝∠DOC， ∴△BEO≌△CDO， ∴∠EBO＝∠DCO，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC． 选①④为条件证明△ABC是等腰三角形； 理由：∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠EBO＝∠DCO， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC． 选②④为条件证明△ABC是等腰三角形； 理由：∵∠BEO＝∠CDO，∠EOB＝∠DOC， ∴∠EBO＝∠DCO， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 22．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P、Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC．求∠PCQ的度数． 【分析】设∠A＝α，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠CPQ＝∠A+∠AQP＝2α，∠BQC＝∠A+∠ACQ＝3α，然后根据三角形的内角和定理列方程即可得到结论． 【解答】解：设∠A＝α， ∵AP＝PQ， ∴∠AQP＝∠A＝α， ∴∠CPQ＝∠A+∠AQP＝2α， ∴PQ＝CQ， ∴∠QPC＝∠PCQ＝2α， ∴∠BQC＝∠A+∠ACQ＝3α， ∵CQ＝BC， ∴∠CQB+∠B＝3α， ∵AC＝AB， ∴∠ACB＝∠B＝3α， ∵∠A+∠ACB+∠B＝180°， ∴α+3α+3α＝180°， ∴α＝， ∴∠PCQ＝2α＝． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 23．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F． （1）求证：AD＝CE； （2）求∠DFC的度数． 【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD＝CE，∠ACE＝∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC＝∠FAC+∠ACF＝∠FAC+∠BAD＝∠BAC＝60°． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC． 又∵AE＝BD， ∴△AEC≌△BDA（SAS）． ∴AD＝CE； （2）∵△AEC≌△BDA， ∴∠ACE＝∠BAD， ∴∠DFC＝∠FAC+∠ACF＝∠FAC+∠BAD＝∠BAC＝60°． 【点评】本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解． 24．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形； （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值； （2）分两种情况讨论：①当∠DEC为直角时，②当∠EDC为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值． 【解答】解：（1）根据题意可得 AD＝t，CD＝6﹣t，CE＝2t ∵，∠B＝30°，AC＝6cm ∴BC＝2AC＝12cm， ∵∠C＝90°﹣∠B＝30°＝60°，△DEC为等边三角形， ∴CD＝CE， 6﹣t＝2t， t＝2， ∴当t为2时，△DEC为等边三角形； （2）①当∠DEC为直角时，∠EDC＝30°， ∴CE＝， 2t＝（6﹣t）， t＝； ②当∠EDC为直角时，∠DEC＝30°， CD＝CE， 6﹣t＝•2t， t＝3． ∴当t为或3时，△DEC为直角三角形． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键．