专题08推理能力课之全等辅助线综合压轴题专练（解析版）（人教版）.docx

专题08推理能力课之全等辅助线综合压轴题专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，点，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线，交于点H，交于点G．若，则点G的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M．证明，推出，设，则，构建方程组，解决问题即可． 【详解】 解：过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M． 由作图可知，垂直平分线段， ∴点G是的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点． 故选：D． 【点睛】 本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，在和中，，，，点，，分别是，，的中点．把绕点在平面自由旋转，则的面积不可能是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】 由于已知两个三角形是等腰直角三角形并且构成手拉手模型，所以连接，，的延长线交的延长线于，交于．根据中位线定理以及角的关系证明是等腰直角三角形，再利用三角形的三边关系求出PQ的范围即可解决问题． 【详解】 连接，，的延长线交的延长线于，交于． ∵，，， ∴， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵点，，分别是，，的中点， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不可能是8， 故选：A． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题 3．如图，四边形中，，，，则的面积为______． 【答案】50 【分析】 过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，先证明∠CBE=∠ACD，从而证明∆ ACD≅∆ CBE，进而即可求解． 【详解】 过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E， ∵BE⊥CE， ∴∠BEC=∠CDA=90°， ∴∠CBE+∠BCE=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CBE=∠ACD， 在∆ ACD与∆ CBE中， ∵， ∴∆ ACD≅∆ CBE（AAS）， ∴BE=CD=10， ∴的面积=CD∙BE=×10×10=50， 故答案是50． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键． 4．在中，，点在边上，．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】 将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，从而得FG2＝AE2＋BF2，再证明△ECF≌△GCF，从而得EF2＝AE2＋BF2，进而即可求解． 【详解】 解：将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF， ∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90° ∴∠ACE＝∠BCG． ∵在△ACE与△BCG中， ∵， ∴△ACE≌△BCG（SAS）， ∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG， ∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°． 在Rt△FBG中，∠FBG＝90°， ∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2． 又∵∠ECF＝45°， ∴∠FCG＝∠ECG−∠ECF＝45°＝∠ECF． ∵在△ECF与△GCF中， ， ∴△ECF≌△GCF（SAS）． ∴EF＝GF， ∴EF2＝AE2＋BF2， ∵， ∴BF=， 故答案是：． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质以及旋转变换，二次根式的化简，通过旋转变换，构造全等三角形，是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在轴上运动，以为边作等腰，（点，，呈顺时针排列），当点在轴上运动时，点也随之运动．在点的运动过程中，的最小值为______． 【答案】 【分析】 过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，易证∆CDA≅∆ AEB，从而得AD=BE=OA=5，作点A关于CD的对称点A′，由三角形三边长关系得：当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，利用勾股定理即可求解． 【详解】 如图，过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E， ∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°， ∴∠DCA=∠EAB， 又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC， ∴∆CDA≅∆ AEB（AAS）， ∴BE=AD， ∵， ∴AD=BE=OA=5， 作点A关于CD的对称点A′，连接CA′，则点A′在直线l上，DA′=DA=5，AC=A′C， ∴=OC+A′C， ∵在∆COA′中，OC+A′C≥OA′， ∴当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，此时，OA′=， ∴最小值=． 故答案是：． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称求线段和的最小值问题，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 三、解答题 6．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； （2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3） 【分析】 （1）①由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得Rt△ADC≌Rt△CEB， ②由Rt△ADC≌Rt△CEB，得出AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD． （2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CECD=ADBE． （3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BEAD．证明的方法与（2）相同． 【详解】 解：（1）①证明：于点，于点，， ，， ．又，； ②证明：由①知，，，． ，； （2）证明：于点，于点， ，，．， 又，，，， ； （3）（或，）． 由（2）的方法证得△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=CDCE=BEAD． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质． 7．有如下一道作业题： 如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF． 求证：△BCE≌△DCF． （1）请你完成这道题的证明： （2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接FC． ①求证：∠BFC＝45°． ②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP（如图3）．求证：BF＝CP+DF． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【分析】 （1）由正方形的性质可知CB=CD，∠BCD=90°，再根据题意推出∠BCE=∠DCF，以及CE=CF，从而利用“SAS”证明全等即可； （2）①根据题意可先证明△BCN≌△DCM，从而推出∠CBN=∠CDM，然后作CG⊥CF交BF于G点，再证明△BCG≌△DCF，即可得到△CFG为等腰直角三角形，从而得出结论；②作CQ⊥CF交BF于Q点，结合①的结论，可得BQ=DF，然后结合题意证明四边形CQFP为平行四边形，即可得到CP=QF，从而证得结论． 【详解】 （1）∵四边形ABCD为正方形， ∴CB=CD，∠BCD=90°，即：∠BCE+∠ECD=90°， ∵△CEF为等腰直角三角形， ∴CE=CF，∠ECF=90°，即：∠ECD+∠DCF=90°， ∴∠BCE=∠DCF， 在△BCE与△DCF中， ∴△BCE≌△DCF（SAS）； （2）①由正方形性质可知，∠BCN=∠DCM=90°， 在△BCN和△DCM中， ∴△BCN≌△DCM（SAS）， ∴∠CBN=∠CDM， 如图，作CG⊥CF交BF于G点，则∠GCF=90°， ∴∠BCG=∠DCF， 在△BCG和△DCF中， ∴△BCG≌△DCF（ASA）， ∴CG=CF， ∴△CFG为等腰直角三角形， ∴∠BFC=45°； ②如图所示，作CQ⊥CF交BF于Q点， 由①可知，△BCQ≌△DCF， ∴BQ=DF， 且由①证明可知，△CQF为等腰直角三角形， ∵FP由FC绕F点旋转90°得到， ∴△CFP为等腰直角三角形， ∴∠P=∠CQF=45°，∠QFP=∠QCP=90°+45°=135°， ∴四边形CQFP为平行四边形， ∴CP=QF， ∵BF= QF +BQ， ∴BF=CP+DF． 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平四边形的判定与性质等，熟练掌握图形的基本性质，掌握几何证明中的常见模型是解题关键． 8．在中，直线经过点，于，于，于．请解答下列问题： （1）如图①，求证：；（提示：过点作于） （2）如图②、图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明； （3）在（1）（2）的条件下，若，，，则______． 【答案】（1）证明见解析；（2）图②：，图③：；（3）9或7． 【分析】 （1）如图①过点作于点，先利用垂直和平行求得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论； （2）同理可得， ，根据线段的和差即可得到结论； （3）先利用勾股定理求出BE，根据（1）（2）的结论代入数据即可得到结论． 【详解】 （1）证明：过点作于点，则． ， ， ∵， ∴ ， ∵，即， ， 又∵在中，， ， ， ． 四边形为矩形， ， ； （2）图②：，图③：； 理由：如图②，过点作交的延长线于，则 同理可得：，， ； 如图③，过点作交的延长线于， 同理可得：，， ； （3）解：如图①， ，，， ∴ ∵， 由（1）得； 如图②同理； 图③不存在， 综上所述，或， 故答案为：9或7． 【点睛】 本题考查了四边形的综合题，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 9．如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于． （1）求证：； （2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析 【分析】 （1）取的中点，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到； （2）成立，在上取，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到． 【详解】 （1）证明：取的中点，连接，如图； 是正方形， ； ， ， ， ∴， 又∵， ， 在和中 ， ， ； （2）解：成立． 在上取，连接，如图， 为正方形， ， ， ，， 又∵， ∴， 在和中 ， ， ． 【点睛】 此题考查了学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解题关键是构造． 10．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析． 【分析】 （1）根据题意补全图形即可． （2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】 （1）补全图形 （2）BE+DF=EF． 证明：延长FE到H,使EH=EF ∵BE⊥AP， ∴AH=AF， ∴∠HAP=∠FAP=45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD， ∠BAD=90° ∴∠BAP+∠2=45°， ∵∠1+∠BAP=45° ∴∠1=∠2， ∴△ABH≌△ADF， ∴DF=BH， ∵BE+BH=EH=EF， ∴BE+DF=EF． 【点睛】 此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线． 11．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）． （1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是　 　，AE与BC的位置关系是　 　． （2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数； （3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值． 【答案】（1）垂直，平行；（2）90°；（3）90°或270° 【分析】 （1）根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明AD与BC垂直，再根据平行线的判定可证明AE与BC平行； （2）利用等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，求出∠ADB＝∠AEC＝135°，所以∠BEC＝∠AEC﹣45°＝90°； （3）根据题意画出图形，由题意知，当△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，所以旋转角为90°或270°． 【详解】 解：（1）如图，设AC与DE交于点H， 在等腰直角△ABC和△ADE中， ∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°， ∵DE⊥AC， ∴∠DAH＝∠EAH＝∠DAE＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°， ∴∠BAD＝∠DAH， ∴AD⊥BC， ∵∠EAH＝∠C＝45°， ∴AE∥BC， 故答案为：垂直，平行； （2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°， 在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°； （3）如图， 因为△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形， 所以旋转角为90°或270°． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握旋转的性质，能够根据题意画出图形． 12．如图1，在等腰中，，，点是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图2，若，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段和之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由） （2）如图3，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系，并说明理由． （3）如图4，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系为______． 【答案】（1）图形见详解，BC=AB=2BD；（2）BC=BD+BP，理由见详解；（3）BC =BD+BP 【分析】 （1）先补全图形，再连接CD，可得是等边三角形，从而推出BC是PD的垂直平分线，进而即可得到结论； （2）取BC的中点F，连接PF，推出是等腰直角三角形，从而得BF=BP，再证明，进而即可求解； （3）由，可得BD=CF，从而得PF=BP=BF，进而即可得到结论． 【详解】 解：（1）补全图形如下： BC=2BD，理由如下： 连接CD， ∵线段绕点顺时针旋转=60°得到， ∴CP=DP，∠CPD=60°， ∴是等边三角形， ∴∠CDP=∠DCP=60°， ∵点是线段的中点，∠A=60°，AB=AC， ∴是等边三角形，CP⊥AB，∠BCP=∠ACB=30°， ∴∠BCD=60°-30°=30°， ∴BC平分∠PCD， ∴BC是PD的垂直平分线， ∴BD=PB，即：BC=AB=2BD； （2）取BC的中点F，连接PF， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴是等腰直角三角形， ∵P是AB的中点，F是BC的中点， ∴PF是的中位线， ∴PF∥AC， ∴∠PFB=∠ACB=45°，∠BPF=∠A=90°， ∴是等腰直角三角形， ∴BF=BP，BP=PF， ∵∠DPC=∠BPF=90°， ∴∠BPD=∠FPC， 又∵PD=PC， ∴， ∴BD=CF， ∵BC=BF+FC， ∴BC=BD+BP； （3）由第（2）题可知：， ∴BD=CF， ∵∠BAC=∠DPC=120°，PF∥AC，PF=AC， 又∵BP=AB，AB=AC， ∴PF=BP=BF， ∴BC=BF+CF=BD+BP． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 13．[问题背景]（1）如图1，是等腰直角三角形，，直线过点，，，垂足分别为，．求证：； [尝试应用]（2）如图2，，，，，三点共线，，，，．求的长； [拓展创新]（3）如图3，在中，，点，分别在，上，，，若，直接写出的值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）5 【分析】 （1）由“”可证； （2）延长，交于点，过点作于，由（1）可知：，可得，，由直角三角形的性质可求解； （3）通过证明，可求，通过证明，可求，即可求解． 【详解】 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图2，延长，交于点，过点作于， 由（1）可知：， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）如图3，过点作，交的延长线于，延长交于，过点作于，过点作于， ∵， ∴设，， ∴， 由（1）可知：， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键． 14．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． （1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接与的数量关系是______，与的位置关系是________； （2）当点在菱形外部时（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请结合图2的情况予以证明或说理．） （3）如图3，当点在线段的延长线上时，连接，若，求四边形的面积． 【答案】（1）；；（2）成立，见解析；（3） 【分析】 （1）①连接AC，证明△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；②根据菱形对角线平分对角可得，再根据△ABP≌△ACE，可得，继而可推导得出，即可证得CE⊥AD； （2）（1）中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可； （3）连接AC交BD于点O，连接CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由△APE是等边三角形，求得PH，EH的长，再根据，进行计算即可得． 【详解】 （1）①BP=CE，理由如下： 连接AC， ∵菱形ABCD，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵△APE是等边三角形， ∴AP=AE ，∠PAE=60° ， ∴∠BAP=∠CAE， ∴△ABP≌△ACE， ∴BP=CE； ②CE⊥AD ， ∵菱形对角线平分对角， ∴， ∵△ABP≌△ACE， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴CF⊥AD ，即CE⊥AD； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 连接， ∵菱形， 和都是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴（1）中的结论仍然成立； （3）连接交于点，连接，作于， ∵四边形是菱形， ，平分， ， ， ， 由（2）知， ， ， ∵， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴四边形的面积是． 【点睛】 本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确添加常用辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 15．如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，． （1）证明：； （2）如图2，连接，，交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？ 【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当的长度为2或时，为等腰三角形 【分析】 （1）由旋转的性质得AH=AG，∠HAG=90°，从而得∠BAH=∠CAG，进而即可得到结论； （2）①由，得AH=AG，再证明，进而即可得到结论；②为等腰三角形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，（b）当∠GAQ=∠GQA=67.5°时，（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可． 【详解】 解：（1）∵线段绕点A逆时针方向旋转得到， ∴AH=AG，∠HAG=90°， ∵在等腰直角三角形中，，AB=AC， ∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG， ∴； （2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点， ∴AE=AF，是等腰直角三角形， ∵AH=AG，∠BAH =∠CAG， ∴， ∴∠AEH=∠AFG=45°， ∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：； ②∵，点，分别为，的中点， ∴AE=AF=2， ∵∠AGH=45°，为等腰三角形，分3种情况： （a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°， ∴AH平分∠EAF， ∴点H是EF的中点， ∴EH=； （b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°， ∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴∠EHA=∠EAH， ∴EH=EA=2； （c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去， 综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键． 16．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写