专题04分式单元综合提优专练（解析版）（人教版）.docx

专题04分式单元综合提优专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2021·陕西九年级专题练习）方程 的解是（ ） A．0 B．2 C．3 D．无解 【答案】D 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 解答： 去分母得：1+2(x−3)=4−x， 去括号得：1+2x−6=4−x， 解得：x=3， 经检验x=3是增根，原分式方程无解． 故选D 【点睛】 本题考查解分式方程，解题关键是去分母和验根. 2．（2021·河北八年级月考）如果分式的值为0，那么的值为（ ） A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或0 【答案】B 【分析】 根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】 根据题意，得 |x|-1=0且x+1≠0， 解得，x=1． 故选B． 【点睛】 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 3．（2021·河南）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务．设原计划每天铺设钢轨米，则根据题意所列的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设原计划每天铺设钢轨米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务可列方程． 【详解】 设原计划每天铺设钢轨米，可得：， 故选A． 【点睛】 本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程． 4．（2021·全国九年级专题练习）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可 【详解】 ， 方程两边同乘以，得 ， 移项及合并同类项，得 ， 分式方程的解是非正数，， ， 解得，， 故选A． 【点睛】 此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m的值 5．（2021·浙江七年级专题练习）化简的结果是(    ) A．x+1 B． C．x-1 D． 【答案】A 【分析】 根据同分母分式相减，分母不变，将分子相减，再将分子利用平方差公式分解因式，然后约分即可化简. 【详解】 解：原式=. 故答案为A 【点睛】 此题考查分式的加减法，解题关键在于掌握运算法则. 二、填空题 6．（2018·南昌市第十九中学八年级期末）（2011贵州安顺，14，4分）某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为________________． 【答案】 【分析】 本题需先根据已知条件，设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程，即可求出答案． 【详解】 解：设去年居民用水价格为x元/立方米，根据题意得： 故答案为 【点睛】 本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出题目中的等量关系是本题的关键． 7．（2021·安徽九年级三模）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______． 【答案】1 【分析】 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】 解：方程两边都乘，得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时， 故m的值是1， 故答案为1 【点睛】 本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8．（2021·全国九年级专题练习）甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早分钟到达地，则甲车的速度为_____． 【答案】80 【分析】 设甲车的速度为，则乙车的速度为，根据乙车比甲车早30分钟到达B地列方程求解即可. 【详解】 设甲车的速度为，则乙车的速度为， 依题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为80. 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.注意分式方程要验根. 三、解答题 9．（2021·江苏九年级零模）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问： （1）大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 【答案】（1）大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时；（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里 【分析】 （1）根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得． 【详解】 （1）设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为1.5x公里/时，根据题意，得： =++ 解得：x=40． 经检验：x=40是原方程的解，∴1.5x=60公里/时． 答：大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时； （2）设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意，得： += 解得：y=30． 答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程． 10．（2021·广东九年级专题练习）已知T． （1）化简T； （2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值； （2）由正方形的面积求出边长a的值，代入计算即可求出T的值． 【详解】 （1）T； （2）由正方形的面积为9，得到a＝3，则T． 【点睛】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（2021·广水市教学研究室八年级期末）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元． （1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ （2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？ 【答案】（1）甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟； （2）单独租用一台车，租用乙车合算． 【分析】 （1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据总工作效率得出等式方程求出即可． （2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费4800元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可． 【详解】 解：（1）∴甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据题意得出： ， 解得：x=18，则2x=36． 经检验得出：x=18是原方程的解． 答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟； （2）设甲车每一趟的运费是a元，由题意得： 12a+12（a﹣200）=4800， 解得：a=300． 则乙车每一趟的费用是：300﹣200=100（元）， 单独租用甲车总费用是：18×300=5400（元）， 单独租用乙车总费用是：36×100=3600（元）． ∵3600＜5400，故单独租用一台车，租用乙车合算． 12．（2021·陕西八年级期末）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 【答案】（1）120件；（2）150元． 【详解】 试题分析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫可设为2x件，由已知可得，，这种衬衫贵10元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少为a元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式解答即可. 试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件. 由题意可得：，解得，经检验是原方程的根. （2）设每件衬衫的标价至少是元. 由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：（元） 由题意可得： 解得：，所以，，即每件衬衫的标价至少是150元. 考点：1、分式方程的应用 2、一元一次不等式的应用. 13．（2021·全国）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】（1）;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1. 【分析】 （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答. 【详解】 （1）方程两边同时乘以得 解得 经检验，是原分式方程的解. （2）设？为， 方程两边同时乘以得 由于是原分式方程的增根， 所以把代入上面的等式得 所以，原分式方程中“？”代表的数是-1. 【点睛】 本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程；  ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 14．（2020·广西八年级期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母A代替了原代数式的一部分，如下： （1）求代数式A，并将其化简； （2）原代数式的值能等于吗？请说明理由． 【答案】（1）A＝；（2）不能，理由见解析. 【分析】 （1）根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可； （2）令原代数式的值为-1，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可． 【详解】 （1）， （2）不能， 理由：若能使原代数式的值能等于﹣1，则，即x＝0， 但是，当x＝0时，原代数式中的除数，原代数式无意义． 所以原代数式的值不能等于﹣1． 【点睛】 考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键. 15．（2021·广东九年级专题练习）先化简，再将代入求值. 【答案】1. 【分析】 直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案． 【详解】 原式 将代入得： 【点睛】 此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 16．（2021·全国九年级专题练习）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌的足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元 （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ （2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？ 【答案】（1）一个A品牌的足球需50元，一个B品牌的足球需80元；（2）该中学此次最多可购买30个B品牌足球 【分析】 （1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可； （2）设此次可购买a个B品牌足球，则购买A品牌足球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，可列出关于a的不等式，解不等式即可解决问题． 【详解】 解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，由题意得： ，解得：x＝50， 经检验：x＝50是原方程的解，x+30＝80． 答：一个A品牌的足球需50元，一个B品牌的足球需80元． （2）设此次可购买a个B品牌足球，则购买A品牌足球（50﹣a）个，由题意得： 50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3240，解得a≤30． ∵a是整数，∴a最大等于30， 答：该中学此次最多可购买30个B品牌足球． 【点睛】 本题考查的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、列出相应的方程和不等式是解答的关键． 17．（2021·全国九年级专题练习）已知关于x的分式方程， (1)若方程的增根为x=1，求m的值 (2)若方程有增根，求m的值 (3)若方程无解，求m的值． 【答案】（1）m=-6;(2) 当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；（3）m的值为﹣1或﹣6或1.5 【详解】 试题分析：方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程； （1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得； （2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得； （3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得. 试题解析：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得 2（x+2）+mx=x-1， 整理得（m+1）x=﹣5， （1）∵x=1是分式方程的增根， ∴1+m=﹣5， 解得：m=﹣6； （2）∵原分式方程有增根， ∴（x+2）（x﹣1）=0， 解得：x=﹣2或x=1， 当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6； （3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1； 当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5， 综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键. 18．（2021·全国八年级课时练习）若a，b为实数，且，求3a﹣b的值． 【答案】2 【分析】 根据题意可得，解方程组可得a,b,再代入求值. 【详解】 解：∵， ∴， 解得， ∴3a﹣b=6﹣4=2． 故3a﹣b的值是2． 【点睛】 本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质. 19．（2021·全国八年级课时练习）若a＞0，M=，N=． （1）当a=3时，计算M与N的值； （2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）M＝，N＝；（2）M＜N；证明见解析. 【分析】 （1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可； （2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可． 【详解】 （1）当a=3时，M，N； （2）方法一：猜想：M＜N．理由如下： M﹣N． ∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴，∴M﹣N＜0，∴M＜N； 方法二：猜想：M＜N．理由如下： ． ∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴，∴，∴M＜N． 【点睛】 本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键． 20．（2021·全国九年级专题练习）若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值． 【答案】x＝3或－3是原方程的增根；m＝6或12. 【详解】 试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可. 试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0， 所以x＝3或x＝－3是原方程的增根． 原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3. 当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6； 当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3， 解得m＝12. 综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3. 当x＝3时，m＝6； 当x＝－3时，m＝12. 点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．