专题03 运算方法之因式分解综合压轴题专练（解析版）（人教版）.docx

专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC的周长为__． 【答案】12 【分析】 将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）＝120，再利用三角形的三边关系以及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案． 【详解】 解：∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119 ∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120 （a+1）（b+1）（c+1）＝120 ∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边 ∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1． 故可分为以下6种情况： （1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． （2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． （3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． （4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，a+b+c＝12． （5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． （6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． （7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去． 综上可知，△ABC的周长为12． 故答案为12． 【点睛】 本题主要考查因式分解的应用及三角形三边关系，掌握三角形三边关系并分情况讨论是解题的关键． 2．多项式的最小值为________． 【答案】18． 【分析】 利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值． 【详解】 解：， =， =， ∵， ∴的最小值为18； 故答案为：18． 【点睛】 本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值． 3．若实数a，b满足，则代数式的值为_______________． 【答案】6． 【分析】 将所求代数式中的因式分解，再把代入，化简即可． 【详解】 解：， 把代入得， 再把代入得； 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值． 4．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：____________． （2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且，则“跟斗数”b=____________． （3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则____________． 【答案】5 26 19 【分析】 （1）根据题意直接将数值代入即可． （2）根据题意写出“跟斗数”是含有k的式子，再利用，列方程求解即可． （3）根据m+n=100，解设未知数用还有x，y的式子表示m、n为m=10x＋y， n=10(9-x)＋(10-y)，根据题意列式子化简即可． 【详解】 解：（1） （2）∵一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k＋1)，且， ∴ 解得k=2， ∴2(k＋1)=6，∴b=26． （3）∵m，n都是“跟斗数”，且m＋n=100，设m=10x＋y，则n=10(9-x)＋(10-y)， ∴ 【点睛】 本题考查新定义的数，按照题意正确代入是关键，本题是中考的常见题型 5．如图是 A 型卡片（边长a的正方形）、B 型卡片（长为 a、宽为 b的长方形）、C 型卡片（边长为 b的正方形）．现有 4张 A卡片，11张 B卡片，7张 C卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是__________．（只填序号） ①可拼成边长为的正方形； ②可拼成边长为的正方形； ③可拼成长、宽分别为、的长方形； ④用所有卡片可拼成一个大长方形． 【答案】①③④ 【分析】 ①②③利用完全平方公式和多项式乘多项式法则求出要拼成的图形的面积，各项系数即为各型号卡片的个数． ④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2，将此多项式因式分解即可． 【详解】 ①（a+2b）2=a2+4ab+4b2，要用A型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片4张， 所以可拼成边长为a+2b的正方形． ②（2a+3b）2=，要用A型卡片4张，B型卡片12张，C型卡片9张， 因为B型卡片只有11张，C型卡片只有7张， 所以不能拼成边长为2a+3b的正方形． ③（2a+4b）（2a+b）= 可得A型卡片4张，B型卡片10张，C型卡片4张， 所以可拼成长、宽分别为的长方形． ④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2=（4a+7b）（a+b）． 所以所有卡片可拼长长为（4a+7b），宽为（a+b）的长方形． 故答案为：①③④． 【点睛】 本题主要考查了整式乘法、分解因式与几何图形之间的联系，解题时注意利用数形结合和熟记公式是解题的关键． 二、解答题 6．代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如：现有正方形卡片A类、B类和长方形C类卡片若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，可以先计算，所以需要A、B、C类卡片2张、2张、5张，如图2所示 （1）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要A、B、C类卡片各多少张？并画出示意图． （2）由图3可得等式：____________； （3）利用（2）中所得结论，解决下面问题，已知，，的值； （4）小明利用2张A类卡片、3张B类卡片和5张长方形C类卡片去拼成一个更大的长方形，那么该长方形的较长的一边长为________（用含a、b的代数式表示） 【答案】（1）A、B、C三类卡片各需要1张、3张、4张，图见解析；（2）；（3）45；（4） 【分析】 （1）首先计算出，再根据计算结果对应的卡片类型得出结论； （2）根据图形面积的就算方式即可得出结论； （3）根据题意找到，再通过带值即可求出； （4）利用因式分解的计算过程可得，，即可得出结论． 【详解】 解：（1）如下图：A、B、C三类卡片各需要1张、3张、4张； （2） （3） （4）， 较长的边为：． 【点睛】 本题考查了代数中的等式问题，解题的关键是掌握因式分解、具备数形结合的思想． 7．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b．定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”． （1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3； （2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”． 【答案】（1）6不是尼尔数，39是尼尔数，证明见解析；（2）这两个尼尔数分别是228，39或1092,309． 【分析】 （1）根据“尼尔数”的定义，设P表示的数为x（x是能被3整除的自然数），则，分别令，，解方程，判断x的解是不是能被3整除的自然数即可；证明所有“尼尔数”一定被9除余3时，可设P表示的数为3m，则K可化为9m2＋3，由m为整数得9m2＋3被9除余3； （2）设这两个尼尔数分别是K1，K2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P1，P2分别记为3m1，3m2，则K1－K2＝9m12－9m22＝189，m12－m22＝21，再根据m1，m2都是整数，可解出m1，m2，从而得到K1，K2． 【详解】 (1)设P表示的数为x（x是能被3整除的自然数），则，， ， 令，得，令，得， ∴6不是尼尔数，39是尼尔数． 证明：设P表示的数为3m，则a＝(3m－1)，b＝(3m＋1)， K＝(3m－1)2＋(3m＋1)2－(3m－1)(3m＋1)＝9m2＋3， ∵m为整数，∴m2为整数， ∴9m2＋3被9除余3； (2)设这两个尼尔数分别是K1，K2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P1，P2分别记为3m1，3m2. ∴K1－K2＝9m12－9m22＝189， ∴m12－m22＝21， ∵m1，m2都是整数， ∴， ∴， ∴. ∴这两个尼尔数分别是228，39或1092,309． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用、方程的整数解问题、学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键． 8．若一个四位自然数满足个位数字与百位数字相同，十位数字与千位数字相同，我们称这个四位自然数为“双子数”．将“双子数”的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数，记为“双子数”的“双11数”． 例，，，则 （1）计算3636的“双11数”__________． （2）已知两个“双子数”、，其中，（其中，，，且、、、都为整数），若的“双11数”能被17整除，且、的“双11数”满足，令，求的值． 【答案】（1）18；（2）G（p，q）的值为51或17． 【分析】 （1）直接根据“双子数”m的“双11数”的计算方法即可得出结论； （2）先根据“双11数”F（p）能被17整除，进而判断出p为8989，求出F（q）=2（c+d），再根据F(p)+2F(q)-(4a+3b+2d+c)=0，得出d=，进而求出c，d，即可得出结论． 【详解】 解：（1）由题意知， 3636的“双11数”， 故答案为：18； （2）∵“双子数”p，， ∴F（p）=2（a+b）， ∵“双11数”F（p）能被17整除， ∴a+b是17的倍数， ∵1≤a＜b≤9， ∴3≤a+b＜18， ∴a+b=17， ∴a=8，b=9， ∴“双子数”p为8989，F（p）=34， ∵“双子数”q，， ∴F（q）=2（c+d）， ∵F（p）+2F（q）-（4a+3b+2d+c）=0， ∴34+2×2（c+d）-（4×8+3×9+2d+c）=0， ∴3c+2d=25， ∴， ∵1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d，c、d都为整数， ∴c为奇数，1≤c＜9， 当c=1时，d=11，不符合题意，舍去， 当c=3时，d=8， ∴“双子数”q为3838， ∴， 当c=5时，d=5，不符合题意，舍去， 当c=7时，d=2， ∴“双子数”q为7272， ∴， ∴G（p，q）的值为51或17． 【点睛】 本题是新定义题目，主要考查了完全平方数，整除问题，理解和运用新定义是解本题的关键． 9．对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数，将交换后的数与原数求和后再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F（n）＝，如n＝5678，对调数字后得＝7856，所以F（n）＝＝134． （1）直接写出F（2021）＝　 　； （2）求证：对于任意一个四位数n，F（n）均为整数； （3）若s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），当3F（t）－F（s）的值能被8整除时，求满足条件的s的所有值． 【答案】（1）41；（2）见解析；（3）3816或3847或3829 【分析】 （1）根据题意列式计算即可； （2）设n＝1000a＋100b＋10c＋d，则＝1000c＋100d＋10a＋b，（a、b、c、d为整数且a≠0），然后根据题意列式计算即可证明； （3）先求得F（s）＝10a＋b＋38，F（t）＝10b＋a＋13，进而可求得3F（t）－F（s）＝29b－7a＋1，再根据3F（t）－F（s）的值能被8整除，可得5b＋a＋1的值能被8整除，再根据1≤a≤5，5≤b≤9可得27≤5b＋a＋1≤51，进而可得5b＋a＋1＝32，40，48，由此可求得或或，最终即可求得满足条件的s的所有值． 【详解】 解：（1）F（2021）＝＝41， 故答案为：41； （2）设n＝1000a＋100b＋10c＋d，则＝1000c＋100d＋10a＋b，（a、b、c、d为整数且a≠0） 所以F（n）＝ ＝ ＝10a＋b＋10c＋d， ∵a、b、c、d为整数且a≠0， ∴10a＋b＋10c＋d为整数， ∴对于任意一个四位数n，F（n）均为整数； （3）∵s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数）， ∴F（s）＝ ＝ ＝10a＋b＋38， F（t）＝ ＝ ＝10b＋a＋13， ∴3F（t）－F（s）＝3（10b＋a＋13）－（10a＋b＋38） ＝29b－7a＋1， ∵3F（t）－F（s）的值能被8整除， ∴29b－7a＋1的值能被8整除， ∴24b－8a＋5b＋a＋1的值能被8整除， ∴5b＋a＋1的值能被8整除， ∵1≤a≤5，5≤b≤9， ∴27≤5b＋a＋1≤51， ∵5b＋a＋1的值能被8整除， ∴5b＋a＋1＝32，40，48， ∴或或， ∴s＝3816或3847或3829． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用以及有理数的整除，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果是解决本题的关键． 10．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式； （2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果； （3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？ 【答案】(1)；（2）画图见解析，；（3）266． 【分析】 (1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可； (2)根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果； (3)根据题意列出方程，求出即可． 【详解】 解：(1)用面积和差计算得：； 用长方形面积公式计算得：； 可得等式为：； (2) 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示： 根据面积公式可得，； (3) （2）中拼成的长方形周长为66，则， 解得，， ∴，即， 图1中小长方形的面积为24，则， 则， ； 拼成的长方形面积是266． 【点睛】 本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键． 11．材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除； 材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数，百位和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”．将这个“双倍数”的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数”，记． 例如，，所以2461不是“双倍数”：，，所以2685是“双倍数”， ， （1）判断2997，6483是否为“双倍数”，并说明理由； （2）若，均为“双倍数”，的千位数字是5，个位数字大于2，的百位数字是7，且能被9整除，是完全平方数，求的最大值． 【答案】（1）2997是“双倍数”，6483不是“双倍数”；理由见解析；（2）的最大值7791． 【分析】 （1）利用题干中“双倍数”定义计算即可求解； （2）设s的个位数字是d，十位数字是c，则百位数字是10+2d-c（d＞2），可得s=5000+100（10+2d-c）+10c+d且5+10+2d-c+d+c=15+3d能被9整除，依此可得d=4或d=7，利用“双倍数”的定义和F（m）的公式，分类讨论计算出F（s）和F（t），依据已知和数位上数字的特征计算后，比较大小，取最大值即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴2997是“双倍数”， ∵， ∴6483不是“双倍数”； （2）设s的个位数字是d，十位数字是c，则百位数字是10+2d-c（d＞2）， ∴s=5000+100（10+2d-c）+10c+d且5+10+2d-c+d+c=15+3d能被9整除， ∵d＞2， ∴d=4或d=7， ①d=4时，有10+2d=2×（5+4）=18， ∴此时十位数，百位数均为9， ∴s=5994，s′=4995， F（s）=（s+s′）÷111=99， 设t=1000a+700+10b+-a，则t′=1000（+-a）+100b+70+a， ∴F（t）=（t+t′）÷111=b+， 则4F（s）+F（t）=4×99+b+=b+， ∵b+，是完全平方数，且b是整数， ∴b=9， ∴t的十位数字是9， 则7+9=16， ∴千位和个位上的数字之和是8， ∴t的最大值是7791； ②d=7时，有10+2d=2×（5+7）=24， ∵百位和十位上的数字之和最大为18， ∴不符合题意． 综上所述，t的最大值是7791． 【点睛】 本题主要考查了完全平方数，因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题意并能熟练应用题干中的定义和公式是解题的关键． 12．对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数”的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”，记，． 例如：，． ，． （1）计算__________；__________． （2）对“夹心数”，令，当时，求的值． （3）若“夹心数”满足与均为完全平方数，求的值． 【答案】（1）3，6；（2）m=121；（3）m=121，583，484． 【分析】 （1）根据题中的定义和例题提供的算法，即可算出结果； （2）设代入 并进行化简后，根据 s=36的已知条件，求出a、b的值，即可求出m的值； （3）结合（2）的相关结论，求出a、b的值，即可求出符合条件的m的值． 【详解】 解：（1） 故答案为：3；6． （2）设 则 ∴ ∵s=36， ∴ ∵且 a、 b、a+b都是正整数， ∴ ∴，解得， ． ∴ （3）由（2）得， ∵a、b、a+b都是1到9的正整数， ∴ ∵是完全平方数， ∴ 又∵是偶数， ∴不合题意，舍去． ∴ 当a+b=2时，a=b=1，此时，，符合题意； 当a+b=8时， 若a=7，b=1，此时，不合题意，舍去； 若a=6，b=2，此时，不合题意，舍去； 若a=5，b=3，此时，符合题意； 若a=4，b=4，此时，符合题意． ∵ ∴符合条件的 【点睛】 本题考查了新定义运算、因式分解、方程组、不等式等知识点和分类讨论的数学思想，围绕新定义的运算法则进行计算是解题的基础，分类讨论时做到不重复不遗漏是关键． 13．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“特异数”，将的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数的和与的商记为．例如，是“特异数”，不断将的百位数字调到个位可得，，． （1）求，； （2）已知，（，，为整数），若、均为“特异数”，且可被整除，求的最大值． 【答案】（1）F（456）=15，F（321）=6；（2）F(s)•F(t)的最大值为384． 【分析】 （1）根据F（m）的定义式，分别将m=456和m=321代入F（n）中，即可求出结论． （2）由s=100x+32，t=256+y结合F（s）+F（t）可被整除，即可得出关于x，y的二元一次方程，解出x，y的值，再根据“特异数”的定义结合F（m）的定义式，即可求出F（s），F（t）的值，求出最大值即可． 【详解】 解：（1）F（456）=(456+564+645)÷111=15， F（321）=(321+213+132)÷111=6； （2）∵、均为“特异数”， ，， ∴F(s)=(100x+32+320+x+203+x) ÷111=5+x(1)， ∵， ∴， 当1时， F(t)=÷111=13+y， 当5时， F(t)=÷111=4+y()， ∴F(s)+ F(t)=， 由于可被整除，， ①当时，或， ∴当且当时成立，则F(s)•F(t)=(5+x)• (13+y)=； ②当、7、8、9时，或或15， ∴当时，，或，或，， 此时F(s)•F(t)=81或77或72； 当时，，或，， 此时F(s)•F(t)=384或143； 综上，F(s)•F(t)的最大值为384，此时，． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F（m）的定义式，求出F（456），F（321）的值，（2）根据s=100x+32，t=256+y结合F（s）+F（t）可被整除，得出x，y的二元一次方程组． 14．阅读理解： 在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以请类比以上的解题过程，解决下列问题： （初步尝试）比较大小：______；_____ （知识应用）比较整式和的大小关系，并请说明理由． （拓展提升）比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【答案】[初步尝试]≥，≤；[知识应用]≥；[拓展提升] 【分析】 [初步尝试]两式相减，仿照题干中的方法比较即可； [知识应用]两式相减，将结果因式分解，再比较即可； [拓展提升]两式相减，利用完全平方公式变形，再比较即可． 【详解】 解：[初步尝试] ， ∴≥； ， ∴≤； [知识应用] = = =≥0 ∴≥； [拓展提升] = = = = 当a=1，b=时，原式=0， ∴≥0， ∴． 【点睛】 此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，以及整式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解本题的关键． 15．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题． 例如：分解因式 求代数式的最小值，． 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：