【能力培优】12.3 角的平分线的性质（含答案）.doc

12.3 角的平分线的性质 专题一 利用角的平分线的性质解题 1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC. 2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC． 求证：OB=OC． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，AC=3 cm，求BE的长． 专题二 角平分线的性质在实际生活中的应用 4．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处 C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处 5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________． 6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹） 状元笔记 【知识要点】 1．角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【温馨提示】 1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点． 2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个． 【方法技巧】 1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段． 若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等， 若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，[来源: 若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段． 2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段． 若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系； 若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等； 若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等． 参考答案: 1．证明：∵， ∴AD是的平分线， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵，∴，∴． 2．证明：∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OD=OE， 在Rt△BDO和Rt△CEO中， ∴． ∴OB=OC． 3．解：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠B=90°， 又DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°， 又，∴∠A=60°，∠B=30°， 又∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC=DE， ∴cm． 在Rt△DAE和Rt△DBE中， ∴△DAE≌△DBE（AAS）， ∴ cm． 4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选C． 5．∠A的角平分线上，且距A1cm处 角平分线上的点到角两边的距离相等 6．解：作两个角的平分线，交点P就是所求作的点．