专题06模型方法课之将军饮马模型解题方法专练（解析版）（人教版）.docx

专题06模型方法课之将军饮马模型解题方法专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是(　　) A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】 根据轴对称的性质可知，点B关于AD对称的点为点C，故当P为CE与AD的交点时，BP+EP的值最小． 【详解】 解：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC ∴点B关于AD对称的点为点C， ∴BP=CP， ∴当P为CE与AD的交点时，BP+EP的值最小， 即BP+EP的最小值为CE的长度， ∵CE是AB边上的中线， ∴CE⊥AB，BE=， ∴在Rt△BCE中，CE=， 故答案为：B． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质，解题的关键是找到当P为CE与AD的交点时，BP+EP的值最小． 2．如图，已知点P(0，3) ，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2，BC边在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是 （ ） A． B． C．5 D．2 【答案】B 【分析】 过点P作PD∥x轴，做点A关于直线PD的对称点A´，延长A´ A交x轴于点E，则当A´、P、B三点共线时，PA+PB的值最小，根据勾股定理求出的长即可. 【详解】 如图，过点P作PD∥x轴，做点A关于直线PD的对称点A´，延长A´ A交x轴于点E，则当A´、P、B三点共线时，PA+PB的值最小， ∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2， ∴AE=BE=1， ∵P(0，3) ， ∴A A´=4， ∴A´E=5， ∴， 故选B. 【点睛】 本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是作出点A关于直线PD的对称点，找出PA+PB的值最小时三角形ABC的位置． 3．如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题； 【详解】 解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC=PB， ∴PE+PC=PB+PE=BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE=60°， ∵BA=BC，AE=EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC=90°， ∴∠EBC=30°， ∵PB=PC， ∴∠PCB=∠PBC=30°， ∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 4．如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解． 【详解】 解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小 过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H， ∵B（0，2）， ∴B′（0，-2）， ∵C（5，3）， ∴CH= B′H=5， ∴∠CB'H=45°， ∴∠BB' A'=45°， ∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°， ∴OB'=OA'=2， 则此时A'坐标为（2，0）． m的值为2． 故选：C． 【点睛】 此题考查了轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A点位置是解题关键． 5．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【答案】B 【分析】 作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可． 【详解】 解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH， 则AM=MG，AN=NH， ∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH， 由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小， ∵∠BAE=152°， ∴∠G+∠H=28°， ∵AM=MG，AN=NH， ∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN， ∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键． 6．如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（　　　） A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm 【答案】D 【分析】 连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 解：连接AD，MA． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8 cm， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴MA＝MC， ∴MC+DM＝MA+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）． 故选：D． 【点睛】 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键． 7．如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ） A．75° B．90° C．95° D．105° 【答案】C 【分析】 先构造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，当FH+BF最小时，即是BF+CE最小时，此时求出∠AFB的度数即可． 【详解】 解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小， ∵AC=BC， ∴CH=AC， ∵∠HCB=90°，AD⊥BC， ∴AD//CH， ∵∠ACB=50°， ∴∠ACH=∠CAE=40°， ∴△CFH≌△AEC， ∴FH=CE， ∴FH+BF=CE+BF最小， 此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°． 故选：C． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度． 二、填空题 8．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为_____． 【答案】100° 【分析】 分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P ，连P 、P，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长= PP，然后得到等腰△OP1P2中，∠O PP+∠O PP=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OPM+∠OPN=100°． 【详解】 分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P,连接PP，交OA于M，交OB于N，则 O P=OP=OP,∠OPM=∠MPO,∠NPO=∠NPO， 根据轴对称的性质,可得MP=PM,PN=PN，则 △PMN的周长的最小值=PP， ∴∠POP=2∠AOB=80°， ∴等腰△OPP中,∠OPP+∠OPP=100°， ∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OPM+∠OPN=100°， 故答案为100° 【点睛】 此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线 9．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，2cm，现有一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到达占处，则所走的最短路路径长是________cm. 【答案】6 【分析】 蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径． 【详解】 路径一：AB= ； 路径二：AB= ； 路径三：AB= ； ∵ ， ∴ cm为最短路径， 故答案为6 cm. 【点睛】 此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于利用勾股定理进行计算. 10．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF=________度． 【答案】80° 【分析】 据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠A′+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠EAB+∠FAD=50°，即可得出答案． 【详解】 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠C=50°， ∴∠DAB=130°， ∴∠HAA′=50°， ∴∠A′+∠A″=∠HAA′=50°， ∵∠A′=∠EAB，∠A″=∠FAD， ∴∠EAB+∠FAD=50°， ∴∠EAF=130°-50°=80°， 故答案为80°． 【点睛】 本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键． 11．如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1． （1）△ABC的周长等于_____； （2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____． 【答案】12 见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形 【分析】 （1）根据三角形周长公式计算； （2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形． 【详解】 （1）△ABC的周长等于， 故答案为：12； （2）如图： 故答案为：过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形． ． 【点睛】 此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键． 12．如图，在中．，若，，，将折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___． 【答案】20． 【分析】 根据由沿AD对称,得到，进而表示出，最后求周长即可． 【详解】 由沿AD对称得到， 则E与C关于直线AD对称， ， ∴， 如图,连接， 由题意得， ∴， 当P在BC边上，即D点时取得最小值12， ∴周长为，最小值为． 故答案为:20． 【点睛】 本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____． 【答案】 【分析】 以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解． 【详解】 解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F， ∵点A的坐标为（0，6）， ∴OA＝6， ∵点P为OA的中点， ∴AP＝3， ∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP， ∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAP， 在△ABE和△ACP中， ∴△ABE≌△ACP（SAS）， ∴BE＝PC， ∴当BE有最小值时，PC有最小值， 即BE⊥x轴时，BE有最小值， ∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋＝， ∴PC的最小值为， 故答案为． 【点睛】 本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 14．如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是_________． 【答案】80° 【分析】 根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由 ∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案； 【详解】 ∵ PD⊥AC，PG⊥BC， ∴∠PEC=∠PFC=90°， ∴ ∠C+∠EPF=180°， ∵∠C=50°， ∵∠D+∠G+∠EPF=180°， ∴ ∠D+∠G=50°， 由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L ∴∠GPN+∠DPM=50°， ∴∠MPN=130°-50°=80°， 故答案为：80°． 【点睛】 此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 15．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是40，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】13 【分析】 连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 解：连接AD，AM． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴ ， 解得AD=8， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴MA=MC， ∵ ∴AD的长为的最小值， ∴△CDM的周长最短=． 故答案为：13． 【点睛】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 三、解答题 16．一个长方体盒子的长、宽、高分别为7cm、5cm，9cm.一只虫子想在盒子表面上顶点处爬到顶点处，请你设计一条最短的爬行路线，求出最短路线的长，并说明理由. 【答案】15cm 【分析】 画出长方体的表面沿展开图，连接AF分三种情况，利用勾股定理进行解答. 【详解】 把长方体的表面沿不同的棱展开，有三种不同的图形，如图1，图2，图3. 图1 图2 图3 如图1，在中，，，， 所以； 如图2，在中，，，； 如图3，在中，，，. 图3中的最长，图1中的最短. 所以蚂蚁应沿图1路线爬行到顶点处， 所以最短路线长15cm. 【点睛】 此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出图形然后分情况讨论. 17．如图，在等腰三角形ABC中，底边，的面积是，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点． （1）当周长的最小时，请在图中作出满足条件的（保留作图痕迹，不要求写出画法）． （2）周长的最小值是___________． 【答案】（1）图见解析；（2）5.5 【分析】 （1）根据三角形周长公式和两点之间线段最短来分析，进而再利用简单的作图方法即可作图； （2）根据三角形面积公式求出AD，再根据中点定义求出BD即可求解． 【详解】 （1）如图所示；连接AM， ∵EF是AB的线段垂直平分线 ∴AM＝BM ∴△BDM的周长＝BM＋DM＋BD 又AM＝BM ∴△BDM的周长＝AM＋DM＋BD ∵BD是定值 ∴当A、M、D三点在一条直线上时，AM＋DM值最小，即△BDM的周长最小， （2）∵△ABC是等腰三角形 又点D为BC边上的中点， ∴AD是△ABC BC边上的高， ∵，，的面积是， ∴BD＝1.5cm，AD＝4cm ∴△BDM的周长最小值＝AM＋DM＋BD＝AD＋BD＝5.5cm 【点睛】 本题考查轴对称—最短路线问题，线段存在平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形周长公式和面积公式等知识，解题的关键是运用所学知识求得△BDM的周长最小值＝AM＋DM＋BD 18．如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）作出关于轴的对称图形； （2）写出点，，的坐标； （3）在轴上找一点，使最短（不写作法）． 【答案】（1）见解析；（2），，；（3）见解析 【分析】 （1）根据轴对称的性质确定点，顺次连线即可得到图形； （2）根据点的位置直接得解； （3）连接与y轴交于一点即为点P，连接PC，此时AP+PC最短． 【详解】 解：（1）如图所示，为所求作． （2）由图可得，，，． （3）如图所示，点即为所求作． 【得解】 此题考查轴对称的性质，轴对称作图，点的坐标，最短路径问题，正确理解轴对称的性质作出图形是解题的关键． 19．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（−4，5），B（﹣3，1），C（−2，3）． （1）画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1，其中点B1的坐标是________； （2）若点M是x轴上的动点，在图中画出使△B1CM周长最小时的点M． 【答案】（1）图形见解析；B1（3，2）；（2）见解析 【分析】 （1）分别找到A、B、C点关于y轴的对称点，然后连接即可； （2）找C关于x轴的对称点C′，连接交x轴于一点M，根据两点之间线段最短，可知此时的M即为使周长最小时的点M． 【详解】 解：（1）如图所示；根据图形可知B1(3，2)， 故答案为：(3，2)； （2）如图所示：找C关于x轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，， 连接交x轴于一点M，根据两点之间线段最短，可知此时的M即为使周长最小时的点M． 【点睛】 本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识． 20．如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短 【分析】 （1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可： （2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值． 【详解】 解：如图所示， （1）①射线BC，直线l即为所求； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P、Q、线段AP、PQ即为所求； （2）根据作图可知： 过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P， ∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5． 依据为：垂线段最短． 故答案为：5，垂线段最短． 【点睛】 本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键． 21．如图，小明在A处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处． （1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l上画出喝水处点P的位置； （2）在直线l上任取一点Q（点Q不与点P重合），连接，试说明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）要使PA＋PB最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P； （2）在直线l上任取另一点Q，连接PA、QA、QB．根据轴对称的性质得到PA＝PA′，QA＝QA′．根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】 解：（1）如图，点P即为所求． （2）如图，在直线l上任取一点Q，连接． ∵点A与关于直线l对称，点P，Q在直线l上， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】 本题考查了轴对称，以及三角形的三边关系，正确确定如何使线段的和最小是关键． 22．要在一条笔直的公路l边上建一个快递配送点，方便为同侧的A，B两个居民小区发送快件． （1）试确定快递配送点P的位置，使它分别到A，B的两个居民小区的距离相等，请在如图中，画出点P的大致位置； （2）试确定快递配送点M的位置，使它到A，B的两个居民小区的距离之和最短．请在如图中画出点M的大致位置； （3）如图，D是内一点，连接．延长交于点E． ∵在中，①， 在中，②； ∴①＋②得； ∴． 如果在A，B两个居民区之间规划一个正方形生态保护区，送快件的路线不能穿过该区域．请同学们用以上这个结论，在图中画出快递配送点Q的大致位置，使得它到两个居民小区路程之和最短． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】 （1）根据线段垂直平分线点性质点P在线段AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，与l的交点即为所求； （2）根据两点之间线段最短的性质，作点A关于l的对称点A1，连接BA1与l的交点Q即为所求； （3）如图，作点A关于l的对称点A2，连接DA2，BD，DA2与l交于点Q，由已知可得QE+BE＞QD+BD，可得QD+BD是点B到点Q的最短距离，点Q即为所求． 【详解】 （1）如图，点P即为所求： （2）如图，点M即为所求： （3）如图，点Q即为所求： 【点睛】 本题考查轴对称——最短路径，熟练掌握轴对称性质是解题关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出向右平移4个单位长度后得到的； （3）如果点是内部的一点，则经过上述两次变换后，在内部的对应点的坐标是__________； （4）在轴上存在一点，使的值最小，请在图中标出点，并直接写出点的坐标__________． 【答案】（